繩船模型中的速度和加速度關(guān)系深度分析摘要：速度合成和分解中，繩子兩端繩上的點(diǎn)的速度沿繩子方向的分量才相等，而不是繩子兩端的物體的速度沿繩子方向的分量相等。同時(shí)，繩子兩端的點(diǎn)的加速度沿繩子方向的分量也不是單純意義上的相等，本文通過繩船模型定量給出速度及加速度的關(guān)系。關(guān)鍵詞：速度加速度分解相等繩桿端速度分解模型中，在繩子不松弛的情況下，在同一時(shí)刻必須具有相同的沿桿繩方向的分速度[1]。這里的速度分量指，繩子兩端點(diǎn)的速度沿繩子方向分量，而不是繩子兩端物體的速度分量。繩子兩端點(diǎn)的速度與繩子兩端物體的速度有很大的區(qū)別，如圖1所示，數(shù)值方向的動(dòng)滑輪模型，繩子端點(diǎn)C的速度是繩子兩端物體（滑輪）速度的兩倍。本文將通過繩船模型詳細(xì)說明速度關(guān)系。圖1在教學(xué)過程中，學(xué)生從速度關(guān)系直接類比加速度關(guān)系，繩子兩端的點(diǎn)的加速度沿繩方向分量相等，這樣的理解顯然是不對(duì)的。如圖2所示，物體繞圓心o作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r，速率為v，分析繩子兩端的點(diǎn)的加速度沿繩方向分量的關(guān)系?繩子一端物體的加速度，這個(gè)加速度為物體的合加速度，此加速度沿半徑方向的分量為，繩子一端圓心的加速度0，此加速度沿半徑方向的分量為0，顯然繩子兩端的點(diǎn)的加速度沿繩方向的分量不相等。本文將通過繩船模型詳細(xì)說明加速度關(guān)系。1、單繩船模型中速度關(guān)系如圖3所示，人用輕質(zhì)細(xì)繩通過定滑輪牽引小船靠岸，如果收繩的速度為，則在繩與水平方向夾角為的時(shí)刻，船頭到滑輪的距離為，船的速度有多大[2]？分析：船在水面在直線運(yùn)動(dòng)，實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)，這個(gè)合運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)效果，一是使小船沿繩拉力方向以速度運(yùn)動(dòng)，二是使小船隨繩的一端繞滑輪做順時(shí)針方向的圓周運(yùn)動(dòng)。靠近船頭繩上的速度和船的速度一樣，由于繩子不松軟，所以沿繩方向速度分量相等：①由①式變形得船的速度：

②2、單繩船模型中加速度關(guān)系如圖3所示，如果人拉繩子以恒定的加速度向前奔跑，則在繩與水平方向夾角為的時(shí)刻，船頭到滑輪的距離為，船的速度有多大？錯(cuò)誤的理解，由于繩子不松軟，所以沿繩方向加速度分量相等。類比速度關(guān)系可得加速關(guān)系：③這樣理解加速度關(guān)系顯然是不對(duì)的，如果，則，但是由速度關(guān)系可知，大小不變，變大，變小，變大，從而小船的加速度不為零。正確理解，利用加速度的定義式，將船的速度表達(dá)式帶入其中：④其中

將上面兩個(gè)表達(dá)式帶入④得：

⑤上面的表達(dá)式變形得：⑥此表達(dá)式的物理意義十分明顯，小船加速度沿著繩方向的分量，等于人沿繩方向的加速度與小船垂直于繩子方向速度對(duì)應(yīng)的法向加速度之和。3、雙繩船模型中速度關(guān)系如圖4所示，人用輕質(zhì)細(xì)繩通過定滑輪牽引小船靠岸，輕繩一端固定在墻面，再繞過兩個(gè)滑輪，如果收繩的速度為，則在繩與水平方向夾角為的時(shí)刻，船頭到滑動(dòng)的距離為，船的速度有多大？錯(cuò)誤的理解，由于繩子不松軟，所以沿繩方向速度分量相等。⑦

模型變了，但是這樣的結(jié)果和單繩船模型中速度關(guān)系一致，顯然這不是正確的。在極限情況下，，，但是由上述關(guān)系可知，，顯然上述關(guān)系式錯(cuò)誤。正確的理解是，沿繩方向速度分量相等，是指繩子上兩段端點(diǎn)的對(duì)地速度沿繩方向速度分量相等，如圖4所示，繩子上靠近船上的點(diǎn)的速度和船的速度不一樣。如圖5所示，在傾斜繩子上，靠近小船上的A點(diǎn)，A點(diǎn)的對(duì)地速度：⑧其中：所以A點(diǎn)的速度沿繩方向速度分量為：，此速度應(yīng)該等于繩另一端速度，即：⑨上式變形就得到船的速度：

⑩4、雙繩船模型中加速度關(guān)系如圖4所示，如果人拉繩子以恒定的加速度向前奔跑，則在繩與水平方向夾角為的時(shí)刻，如果收繩的速度為，船頭到滑動(dòng)的距離為，船的速度有多大？利用加速度的定義式，將船的速度表達(dá)式帶入其中：?其中

將上面兩個(gè)表達(dá)式帶入?得：

?上面的表達(dá)式變形得：?船的加速度為，此加速度沿繩方向的分量為，繩另一端的加速度為，顯然這兩個(gè)分量不相等。繩桿端速度分解模型中，在繩子不松弛的情況下，沿繩方向加速度分量滿足什么關(guān)系呢？如圖6所示，在傾斜繩子上，靠近小船上的A點(diǎn)，A點(diǎn)的對(duì)地加速度為：

?其中：繩上A點(diǎn)的加速度沿繩方向的分量為，由?可知，繩上A點(diǎn)的加速度沿繩方向的分量等于人沿繩方向的加速度與A點(diǎn)垂直于繩子方向速度對(duì)應(yīng)的法向加速度之和。5、結(jié)束語

繩子長(zhǎng)度為，在不松弛的情況下，繩子兩端速度如圖7所示，繩子兩端加速度如圖8所示。

由繩子上兩端點(diǎn)的速度沿繩子方向速度分量相等得速度關(guān)系為：

?繩子一端點(diǎn)的加速度沿繩子的分量等于繩子另一端的加速度與該點(diǎn)切向速度對(duì)應(yīng)的向心加速度之和，所以加速度關(guān)系為：

?本文通過討論得出，繩子兩端上的點(diǎn)的速度沿繩子方向的速度分量相等，而不是繩子兩端物體的速度沿繩子方向速度分量相等。繩子兩端的點(diǎn)的加速度沿繩子方向的加速度分量不一定相等，繩子一端點(diǎn)的加速度沿繩子的分量等于