2023-2024學年重慶市渝中區(qū)高一上冊期末數學學情檢測模擬試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】解得，根據交集含義即可得到答案.【詳解】，解得，故，則，故選：C.2．在平面直角坐標系中，角的頂點在坐標原點，始邊在軸的非負半軸，終邊過點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據三角函數的定義求解即可.【詳解】解：根據題意，結合三角函數定義得，所以故選：C3．“”是“冪函數在上單調遞減”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．既不充分也不必要 D．充要【正確答案】D【分析】由題知，解得，再根據充要條件的概念判斷即可.【詳解】解：因為冪函數在上單調遞減，所以，解得，所以“”是“冪函數在上單調遞減”的充要條件.故選：D4．已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據抽象函數的定義域,對數型復合函數的性質列不等式組即可求得.【詳解】因為的定義域為，則，解得，則，所以的定義域為.故選：B5．中文“函數”一詞，最早是由近代數學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，也即函數指一個量隨著另一個量的變化而變化．下列選項中，既是奇函數，又在定義域上是增函數的是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】利用指數函數，冪函數和三角函數的奇偶性和單調性求解即可.【詳解】選項A：令，，因為且在上是增函數，所以在上是減函數，在上是增函數，故既是奇函數，又在定義域上是增函數，A正確；選項B：的定義域為，由冪函數的圖像和性質可得在上單調遞增，故不具有奇偶性，在定義域上是增函數，B錯誤；選項C：，定義域為，由正弦函數的圖像和性質可得是奇函數，在上單調遞減，在上單調遞增，C錯誤；選項D：，由冪函數的圖像和性質可得是奇函數，在定義域上不單調，D錯誤；故選：A6．已知定義在上的函數滿足，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由可得，解方程組求即可.【詳解】由可得，所以由解得，故選：A7．（

）A．1 B． C． D．【正確答案】D【分析】利用兩角和與差的余弦公式將轉化為，進行展開，對于分子則是結合二倍角正弦公式及完全平方式進行化簡，最后再約分即可.【詳解】故選：D.8．已知函數有唯一零點，若，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由題可知函數為奇函數且單調遞增，進而可得函數的對稱中心為，且在R上單調遞增，進而即得.【詳解】因為，對于函數定義域為R，且，，所以函數為奇函數，又時，單調遞增，所以時，單調遞增，所以函數在R上單調遞增，所以的對稱中心為，且在R上單調遞增，因為，故，，因為，，所以，所以，所以，，故.故選：D.二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．B．第一象限角一定是銳角C．在與角終邊相同的角中，最大的負角為D．【正確答案】AC【分析】利用正弦函數的單調性判斷A，利用象限角的概念判斷B，寫出與角終邊相同的角為，再根據判斷C，利用弧度制及正弦余弦的正負判斷D.【詳解】因為在上單調遞增，所以，A正確；表示第一象限角，當時，不是銳角，B錯誤；與角終邊相同的角為，當時是最大負角，最大負角為，C正確；因為，所以，，所以，D錯誤；故選：AC10．已知函數，則（

）A．函數的最小正周期B．函數在上單調遞增C．函數在上的值域為D．函數的圖像關于直線對稱【正確答案】BD【分析】作出函數的大致圖象，然后逐項分析即得.【詳解】因為，作出函數的大致圖象，函數的最小正周期，故A錯誤；由圖象可知函數的增區(qū)間為，故函數在上單調遞增，故B正確；當時，，，故C錯誤；因為，所以函數的圖像關于直線對稱，故D正確.故選：BD.11．已知函數是定義域為的單調函數，且滿足對任意的，都有，則（

）A．B．若關于的方程（）有2個不相等的實數根，則C．若函數的值域為，則實數的取值范圍為D．若函數滿足對任意的實數，且，都有成立，則實數的取值范圍為【正確答案】ABD【分析】先利用已知條件求出函數的解析式，選項A，將代入計算即可，選項B將根代入中化簡即可，選項C由值域為任意實數得到滿足條件的不等式，解出即可，選項D利用函數單調性建立不等式組解出即可.【詳解】令，則，函數是定義域為的單調函數，因為，所以，解得，所以．對于選項A：，故A正確；對于選項B：若關于的方程（）有2個不相等的實數根，則，即，因為，所以，所以，故B選項正確；對于選項C：函數的值域為，則，即或，故C不正確，對于選項D：由函數滿足對任意的實數，且，都有成立，所以函數在上單調遞增，所以，故D選項正確，故選：ABD.12．若對任意的實數，都存在以，，為三邊長的三角形，則正實數的可能取值為（

）A． B．1 C． D．2【正確答案】BCD【分析】由題可得恒成立，令，可得對任意恒成立，然后結合對勾函數及不等式的性質即得.【詳解】因為，，所以，所以恒成立，令，則對任意恒成立，因為當時，，所以，，故.故選：BCD.方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數，即將問題轉化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空題13．已知扇形的弧長為，圓心角為，則該扇形的面積為______．【正確答案】##【分析】利用扇形弧長公式和面積公式即可求得結果.【詳解】由題意知，圓心角為，弧長為，設扇形半徑為，根據弧長公式得，則扇形面積.故14．______．【正確答案】1【分析】利用兩角和的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以．故1.15．定義在上的函數滿足，且，則______．【正確答案】【分析】根據題意確定函數的周期即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以函數以為周期，所以，因為，令得，所以，所以，故答案為:.16．已知定義在上的函數滿足：①；②函數為偶函數；③當時，，若關于的不等式的整數解有且僅有6個，則實數的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據函數性質可知函數關于，對稱，且周期為4，再利用上的解析式，畫出函數圖象，有數形結合即可求得實數的取值范圍.【詳解】由函數為偶函數可知，函數關于對稱，且，即，又，關于對稱，所以，即，可得函數的周期，當時，可得其圖象如下所示：由對稱性可知，當時滿足不等式的整數解有3個即可，根據圖示可得，解得，即故四、解答題17．（1）已知，求的值；（2）計算：．【正確答案】（1）（2）【分析】(1)根據正切找到正余弦的關系，代入求出，化簡原式求解.(2)根據公式化簡求解.【詳解】（1）即又因為，所以所以（2）因為所以18．已知函數．(1)求的值；(2)求的單調遞增區(qū)間．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換將函數化簡成，即可計算出的值；（2）利用整體代換法即可求得單調遞增區(qū)間．【詳解】（1）由可得，所以即（2）由可知，時，的單調遞增，即，所以的單調遞增區(qū)間為19．已知．(1)若是的一個內角，且，求的值；(2)已知，，，求的值．【正確答案】(1)(2)【分析】(1)根據誘導公式化簡函數解析式，根據三角形內角的取值范圍即可求的值；(2)利用余弦的兩角和公式求解.【詳解】（1）由題可得，所以，因為，且是的一個內角，所以.（2）因為，所以，則，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以因為，所以，所以，所以.20．已知函數（且）．(1)判斷的單調性并用定義法證明；(2)若，求在上的值域．【正確答案】(1)當時，單調遞增，當時，單調遞減，證明見解析.(2)【分析】（1）任取且，作差判斷符號即可判斷單調性；（2）由可得，根據將轉化成一元二次函數形式，利用一元二次函數的圖像和性質求解即可.【詳解】（1）當時，單調遞增；當時，單調遞減，證明如下：任取且，，因為，所以當時，，則，即，單調遞增；當時，，則，即，單調遞減.（2）因為即解得或（舍去），所以，，所以，由（1）得當時單調遞減，所以當時，，令，則，一元二次函數對稱軸為，所以在上單調遞減，且，，所以在上的值域為.21．已知函數．(1)當時，判斷的奇偶性并證明；(2)若函數的圖象上存在兩點，，其關于軸的對稱點，恰在函數的圖象上，求實數的取值范圍．【正確答案】(1)偶函數(2)【分析】（1）結合對數運算，根據奇偶性的定義判斷即可；（2）由題知函數關于軸對稱的函數為，進而將問題轉化為方程有兩個實數根，進一步結合對數運算得以在上有兩個實數根，再結合換元法，二次函數性質,數形結合求解即可.【詳解】（1）解：當時，，定義域為，，所以，為偶函數.（2）解：函數的定義域為，設函數關于軸對稱的函數為，設是上的任意一點，則在函數圖象上，即，所以，因為函數的圖象上存在兩點，，其關于軸的對稱點，恰在函數的圖象上，所以方程恰有兩個實數根，即恰有兩個實數根，，所以，恰有兩個實數根，即在上恰有兩個實數根，所以在上恰有兩個實數根，令，則在上恰有兩個實數根，所以函數與圖象恰有兩個交點，因為，當時，，所以，作出其函數圖象如圖所示，由圖可知，當時，函數與圖象恰有兩個交點，所以，實數的取值范圍為．22．已知定義在實數集上的函數滿足，且對任意，，恒有．(1)求；(2)求證：對任意，，恒有：；(3)是否存在實數，使得不等式對任意的恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【正確答案】(1)(2)見解析(3)【分析】(1)根據設，令即可求解；(2)令，有，再令即可證明；（3）根據函數的單調性以及用換元法，轉化為分類討論二次函數在給定區(qū)間的最值求解.【詳解】（1）由題可知，，令可得.（2）因為，所以令，則有，因為，分別令可得，所以，得證.（3）由（2）可得，所以，則函數在定義域上單調遞減，且，所以，即恒成立，令,因為，所以，所以，且，所以，所以，也即恒成立，令，對稱軸為，若，則在單調遞減，則，所以解得，若，即，則在單調遞增，單調遞減，則，所以此時無解，若，即，則在單調遞增，單調遞減，則，所以此時無解，若，即，則在單調遞增，則，所以此時無解，綜上，的取值范圍為.2023-2024學年重慶市渝中區(qū)高一上冊期末數學學情檢測模擬試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】利用公式可求角的弧度數【詳解】角對應的弧度數為故選：C2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【正確答案】B【分析】根據給定條件利用含有一個量詞的命題的否定方法寫出結論作答.【詳解】全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”故選：B3．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】化簡集合，然后用補集的定義即可求解【詳解】由解得，由可得，即，解得故，，所以故選：B4．方程的解所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】構造函數，利用零點存在性定理可解.【詳解】記，函數在定義域上單調遞增，因為，所以函數在區(qū)間內有零點，即方程的解在區(qū)間內.故選：C5．已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】由題可得，解之即得.【詳解】∵在上單調遞增，∴，解得，故實數的取值范圍是故選：C6．已知，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】D【分析】比較大小，可先與常見的常數進行比較，然后根據函數的單調性進行比較大小【詳解】則有：故有：故選：D7．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意可得，，由二倍角公式結合誘導公式代入化簡即可求解.【詳解】.故選：A.8．已知函數是定義在R上的偶函數，若對于任意不等實數，，，不等式恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由條件對于任意不等實數，，不等式恒成立可得函數在上為減函數，利用函數性質化簡不等式求其解.【詳解】∵

函數是定義在R上的偶函數，∴，∴不等式可化為∵

對于任意不等實數，，不等式恒成立，∴

函數在上為減函數，又，∴

，∴

，∴不等式的解集為故選：C.二、多選題9．已知某扇形的周長為，面積為，則該扇形圓心角的弧度數可能是（

）A． B． C． D．【正確答案】AC【分析】設出扇形的半徑和弧長，先利用扇形面積公式和周長求出半徑和弧長，再利用弧長公式進行求解.【詳解】設扇形的半徑為，所對弧長為，則有，解得或故或，故選：AC10．下列各組函數中，兩個函數是同一函數的有（

）A．與 B．與C．與 D．與【正確答案】CD【分析】根據函數相等的兩要素：定義域和對應關系相同，進行判斷.【詳解】對于A，，所以對應關系不相同，不是同一函數，A錯誤；對于B，定義域為，定義域為，定義域不相同，不是同一函數，B錯誤；對于C,當時，當時，所以，是同一函數，C正確；對于D，定義域都為，對應關系相同，是同一函數，D正確，故選:CD.11．函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，對于函數，下列說法正確的是（

）A．是的一個周期 B．的圖象關于直線對稱C．在區(qū)間上單調遞減 D．的圖象關于點對稱【正確答案】ABD【分析】首先得到函數，計算函數的最小正周期，即可判斷A；再采用代入的方法，根據三角函數的性質，判斷BCD.【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數，A.函數的最小正周期是，所以是的一個周期，故A正確；B.當時，，的圖象關于直線對稱，故B正確；C.當，，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，故C錯誤；D.，所以函數的圖象關于點對稱，故D正確.故選：ABD12．已知函數，則下列結論正確的是（

）A．函數的定義域為 B．函數的值域為C．函數是奇函數 D．函數在上為減函數【正確答案】ABC【分析】根據指數函數的性質，結合偶函數定義、單調性的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，所以函數的定義域為，故A正確；B：，由，所以函數的值域為，故B正確；C：因為，所以函數是奇函數，所以C正確；D：因為函數是增函數，因為，所以函數是減函數，所以函數是增函數，故是增函數，故D不正確，故選：ABC.三、填空題13．__________．【正確答案】【分析】利用對數運算性質即可求解【詳解】故14．已知冪函數為偶函數，則該函數的增區(qū)間為_______．【正確答案】【分析】根據冪函數的定義，結合偶函數的定義求出，然后利用冪函數的性質進行求解【詳解】因為是冪函數，所以或，當時，，因為，所以函數是奇函數，不符合題意，當時，，因為，所以函數是偶函數，符合題意，故該函數的增區(qū)間為故15．某班有40名同學參加數學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組．已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為，，，同時參加數學和化學小組的有人，同時參加物理和化學小組的有人，則同時參加數學和物理小組的人數為

_______．【正確答案】4【分析】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，根據容斥原理可求出結果.【詳解】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，同時參加數學和物理小組的人數為，因為每名同學至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學的人數為，如圖所示：由圖可知：，解得，所以同時參加數學和化學小組有人.故416．已知都是正實數，滿足，記，設，則的最小值為_____________.【正確答案】2【分析】將用表示，寫出分段函數的表達式，利用函數的單調性求最小值即可求解.【詳解】由，因為，由可得，因為，所以，所以當，即時，，當，即時，，所以，因為，所以，當時，，當時，單調遞減，所以，所以的最小值為2，故答案為:2.四、解答題17．已知集合，，.(1)求；(2)若，求m的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】先求出集合A，由交集和并集的定義即可得出答案；（2）由可得，討論和，求解即可.【詳解】（1），所以.（2）因為，所以，若，則，解得：，若，則，解得：，所以m的取值范圍為.18．在平面直角坐標系中，已知角的頂點為原點，始邊為軸的非負半軸，終邊經過點.(1)求的值；(2)求旳值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函數定義求出，用誘導公式化簡求值式后代入可得；(2)根據正、余弦的二倍角公式進行化簡,代入角的三角函數值即可.【詳解】（1）由三角函數定義可得:，所以，..（2）.19．已知定義在上的函數.(1)判斷函數的奇偶性；(2)若不等式對任意恒成立，求實數m的取值范圍．【正確答案】(1)奇函數；(2)【分析】（1）利用奇偶函數的定義即可判斷；（2）利用函數的單調性和奇偶性列不等式即可【詳解】（1）因為，所以函數是定義在上的奇函數；（2）中，函數單調遞減，單調遞增，故在上單調遞增，故原不等式化為，∴即恒成立，∴，解得，所以實數m的取值范圍20．已知函數．(1)求函數的對稱軸；(2)當時，求函數的值域．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式把函數解析式化簡為，用整體代入法求函數的對稱軸；（2）根據的范圍，確定的范圍，進而利用正弦函數的性質求得函數的值域.【詳解】（1），由，得函數的圖像的對稱軸方程（2）時，有，得，∴，得，所以當時，函數的值域為.21．某手機生產商計劃在2023年利用新技術生產某款新手機，通過市場分析，生產此款手機全年需投入固定成本20萬元，每生產（千）部手機，需另投入成本萬元，且，由市場調研知，每部手機售價0.05萬元，且全年內生產的手機當年能全部銷售完.(1)求出2023年的利潤（萬元）關于年產量（千）部的函數關系式；（利潤銷售額成本）(2)2023年產量為多少時，該生產商所獲利潤最大?最大利潤是多少?【正確答案】(1)(2)當(千)部時，最大利潤