2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．考試作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域或書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)3.2結(jié)束。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．82．函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．3．已知，下列不等式錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．4．下列解析式中，y不是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．6．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）①與； ②與；③與； ④與．A．①② B．①③ C．③④ D．①④7．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知，，且，則的最小值是（）A．10 B．15 C．16 D．18二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部迭對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，，若，則m的值可以是（）A．0 B．1 C．3 D．310．若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．411．若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．2 B．0 C．－8 D．－1012．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于，下列說法正確的是（）A． B．C．函數(shù)是偶函數(shù) D．有2個(gè)實(shí)數(shù)根三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．命題“，”的否定是______．14．已知函數(shù)，則______．15．函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為a，b，則______．16．定義：表示不超過x的最大憨數(shù)，如，則函數(shù)的值域?yàn)開_____．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）集合，．（1）求；（2）求．18．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，且，．（1）求的解析式；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明．19．（本小題滿分12分）設(shè)條件，條件．（1）在條件q中，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．20．（本小題滿分12分）（1）已知，求的解析式；（2）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．21．（本小題滿分12分）某公司要設(shè)計(jì)如圖所示的一張矩形宜傳廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左、中、右三個(gè)矩形欄目，這三個(gè)矩形欄目的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5cm，怎祥確定廣告矩形欄目長(zhǎng)與寬的尺寸（單位：cm），使整個(gè)矩形廣告牌面積最??？22．（本小題滿分12分）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)在R上的解析式；（2）若在上有最大值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高一期中考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．C含有個(gè)元素的集合的真子集個(gè)數(shù)為，的真子集個(gè)數(shù)為，即7．2．B依題意，解得且，所以的定義域?yàn)椋?．C∵，∴，故A對(duì)；∵，∴，故B對(duì)；∵，且，∴，故D對(duì)；∵，故，故C錯(cuò)．4．A對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，或，由函數(shù)的定義可得中的y不是x的函數(shù)；由函數(shù)的定義知，，中的y是x的函數(shù)，故選A．5．A由函數(shù)的解析式可得，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．6．C①與的定義域是，而，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，，這兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則不同，故這兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；③與的定義域是，并且，對(duì)應(yīng)法則也相同，故這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)；④與是同一函數(shù)；所以是同一函數(shù)的是③④．故選C．7．B若函數(shù)是上的減函數(shù)，則，解得，故選B．8．D，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．9．AD由可知，或，由，解得或．故選AD．10．AB由解得．因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以只需，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，a可以取1，2．故選AB．11．BCD不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式為，恒成立，所以符合題意；當(dāng)時(shí)，的解集為，則，解得．綜上，a的取值范圍是，故選BCD．12．ABC對(duì)于選項(xiàng)A：∵，∴，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B：∵或1，都是有理數(shù)，∴，故選項(xiàng)B正確．對(duì)于選項(xiàng)C：①若x為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，∴，，即；②若x為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，∴，，即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)是上的偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)D：方程等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程不成立；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程成立，所以方程只有一個(gè)實(shí)根1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABC．13．，14．．15．因?yàn)楹瘮?shù)，所以根據(jù)韋達(dá)定理可知，兩個(gè)零點(diǎn)a，b滿足，，所以．16．當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．17．解：（1），∴．（2），．18．解：（1）由題意得，即，所以，解得，所以．（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，且，有因?yàn)?，所以，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，命題得證．19．解：（1）當(dāng)時(shí)，條件，即，解得，故x的取值范圍為．（2）由題知，條件，條件，即，∵p是q的充分不必要條件，故是的真子集，∴，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．20．解：（1）令，則，所以，即函數(shù)．（2）設(shè)，則由，得，即，所以解得所以．21．解：設(shè)矩形欄目的長(zhǎng)為，寬為，則，∴，∴整個(gè)矩形廣告牌的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為（其中，），∴整個(gè)矩形廣告牌的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)．故當(dāng)矩形欄目的長(zhǎng)為2000cm，寬為100cm時(shí)，可使整個(gè)矩形廣告牌的面積最