上海市普陀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題1．函數(shù)的定義域是_________．【正確答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為.2．函數(shù)的最小正周期是_________．【正確答案】/【分析】根據(jù)公式計(jì)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為.故答案為.3．已知集合，且，則實(shí)數(shù)a的值是_________．【正確答案】-3【分析】根據(jù)得出是方程的解，將代入方程中進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以是方程的解，即，解?經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以.故答案為.4．扇形所在圓的半徑長為1，所對(duì)的圓心角大小為，則扇形的面積為_________．【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用扇形面積公式直接計(jì)算作答.【詳解】依題意，扇形的面積.故答案為.5．指數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則實(shí)數(shù)a的值是_________．【正確答案】3【分析】確定a的取值范圍，再分類求出最大值作答.【詳解】指數(shù)函數(shù)中，且，即且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)a的值是3.故3.6．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_________．【正確答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由，得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故答案為.7．已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_________．【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出時(shí)的解析式作答.【詳解】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為.故8．方程的解集是_________．【正確答案】【分析】分類討論的范圍即可求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以綜上所述：方程的解集為.故答案為.9．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，定義表示小于等于x的最大整數(shù)，例如，則方程的解的個(gè)數(shù)是_________．【正確答案】1【分析】根據(jù)的意義列出不等式，求出x的取值范圍，并分段求出即可求解作答.【詳解】方程，化為，而，所以，所以，解得.當(dāng)時(shí)，，又，則，解得，無解；當(dāng)時(shí)，，又，則，解得，無解；當(dāng)時(shí)，，又，則，解得，因此，所以方程的解為，即方程解的個(gè)數(shù)有1個(gè).故1.10．某河道水上游覽航線一經(jīng)開放就受到公眾喜愛，其中有一條航線是：從碼頭A出發(fā)順流而下到碼頭B，然后不做停留原路返回到碼頭A（不計(jì)調(diào)頭時(shí)間）．假設(shè)游船在靜水中的船速恒定不變，且整個(gè)航程中途不做?？浚韵陆Y(jié)論正確的是_________（填序號(hào)）．①水流速度越大整個(gè)航程所需時(shí)間越長；②水流速度越大整個(gè)航程所需時(shí)間越短；③水流速度大小不會(huì)影響整個(gè)航程所需時(shí)間．【正確答案】【分析】設(shè)AB的距離為S，游船在靜水中的速度為v，水流的速度為，求出整個(gè)航程所需的時(shí)間即可求解.【詳解】設(shè)碼頭A到碼頭B的距離為S，游船在靜水中的速度為v，水流的速度為，則A到B為順流，所需的時(shí)間為，原路返回碼頭A所需的時(shí)間為，整個(gè)航程所需的時(shí)間為，所以當(dāng)水流的速度越大，整個(gè)航程所需的時(shí)間越長，故①正確，②③錯(cuò)誤.故①.11．已知函數(shù)的表達(dá)式是，若，且成立，則的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再利用此性質(zhì)脫去法則“f”，并解三角不等式作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，即是R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上都是增函數(shù)，因此在上單調(diào)遞增，而，因此，即，整理得，又，即，于是或，解得或，所以的取值范圍是.故12．已知函數(shù)的表達(dá)式是，若對(duì)于任意都滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【正確答案】【分析】把函數(shù)化成關(guān)于的二次型函數(shù)，再換元利用二次函數(shù)取最大值的條件求出a的范圍作答.【詳解】依題意，，，令，對(duì)于任意都滿足，則有，即當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，于是函數(shù)，在時(shí)取得最大值，因此，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故思路點(diǎn)睛：涉及求含正(余)的二次式的最值問題，可以換元或整體思想轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間或其子區(qū)間上的最值求解.二、單選題13．“”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【正確答案】D，與沒有關(guān)聯(lián)，取特值，利用充分和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，“”是“”的既非充分又非必要條件.故選:D.本題考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)的示意圖是（

）A． B．C． D．【正確答案】A【分析】由為奇函數(shù)，排除B，D，又因?yàn)?，排除C，即可得出正確答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，令，由，所以為奇函?shù)，排除B，D.又因?yàn)椋耘懦鼵.故選：A.15．在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【正確答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)椋煽傻茫?，即，所以，所以，所以或，因?yàn)椋?，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選：D.16．已知對(duì)任意正數(shù)a、b、c，當(dāng)時(shí)，都有成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）．A． B．C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，把化為，并將它視為a的函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求得，再構(gòu)造函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)求解作答.【詳解】由，，得，，于是，，令，函數(shù)在上遞減，在上遞增，顯然，因此，令函數(shù)，，令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，即，于是，因?yàn)閷?duì)任意正數(shù)a、b、c，當(dāng)時(shí)，都有成立，則，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C思路點(diǎn)睛：涉及多變量函數(shù)，結(jié)合給定條件采用消元、以其中的某個(gè)變量為自變量，另外的變量為參數(shù)，依次推理求解即可.三、解答題17．已知集合，，求．【正確答案】.【分析】解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式化簡集合A，解分式不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.【詳解】依題意，解不等式，得，解得，則，解不等式，得，解得，則，所以.18．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用平方關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系計(jì)算作答.（2）利用（1）中信息，結(jié)合二倍角的正余弦公式求解作答.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，，所以.（2）由（1）知，，所以19．如圖，四邊形中，．(1)求線段的長；(2)求四邊形面積的最大值．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）在中，由余弦定理計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，在中，由余弦定理和基本不等式計(jì)算可得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，即，由解得，所以；（2）設(shè)，在中，由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以.又，，所以，所以，故四邊形ABCD的面積的最大值為.20．在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發(fā)生的周期性漲落現(xiàn)象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化．下圖記錄了某港口某一天整點(diǎn)時(shí)刻的水深y（單位：米）與時(shí)間x（單位：時(shí)）的大致關(guān)系：假設(shè)4月份的每一天水深與時(shí)間的關(guān)系都符合上圖所示．(1)請(qǐng)運(yùn)用函數(shù)模型，根據(jù)以上數(shù)據(jù)寫出水深y與時(shí)間x的函數(shù)的近似表達(dá)式；(2)根據(jù)該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于3.5米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載貨物，吃水（即船底到水面的距離）6米，計(jì)劃明天進(jìn)港卸貨．①求該船可以進(jìn)港的時(shí)間段；②該船今天會(huì)到達(dá)港口附近，明天0點(diǎn)可以及時(shí)進(jìn)港并立即開始卸貨，已知卸貨時(shí)吃水深度以每小時(shí)0.3米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水3米．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)卸貨方案，在保證嚴(yán)格遵守該港口安全條例的前提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計(jì)停靠碼頭和駛離碼頭所需時(shí)間）．【正確答案】(1)；(2)①0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口；②該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).【分析】（1）根據(jù)給定的圖形，求出函數(shù)模型中的各個(gè)參數(shù)作答.（2）①根據(jù)給定條件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函數(shù)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解作答.【詳解】（1）觀察圖形知，，解得，，，解得，顯然函數(shù)的圖象過點(diǎn)，即，又，因此，所以函數(shù)表達(dá)式為.（2）①依題意，，整理得，即有，即，解得或，所以該船可以在0點(diǎn)到4點(diǎn)以及12點(diǎn)到16點(diǎn)進(jìn)入港口.②由①的結(jié)論知，該船明日0點(diǎn)即可進(jìn)港開始卸貨，設(shè)自0點(diǎn)起卸貨小時(shí)后，該船符合安全條例的最小水深為，如圖，函數(shù)與的圖像交于點(diǎn)，即卸貨5小時(shí)后，在5點(diǎn)該船必須暫時(shí)駛離港口，此時(shí)該船的吃水深度為4.5米，令，即，，解得，顯然，該船在11點(diǎn)可返回港口繼續(xù)卸貨，5小時(shí)后完成卸貨，此時(shí)為16點(diǎn)，綜上所述，方案如下：該船在0點(diǎn)進(jìn)港開始卸貨，5點(diǎn)暫時(shí)駛離港口，11點(diǎn)返回港口繼續(xù)卸貨，16點(diǎn)完成卸貨任務(wù).思路點(diǎn)睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點(diǎn)定A，求出周期定，由圖象上特殊點(diǎn)求.21．已知函數(shù)與的定義域?yàn)镽，若對(duì)任意區(qū)間，存在且，使，則是的生成函數(shù)．(1)求證：是的生成函數(shù)；(2)若是的生成函數(shù)，判斷并證明的單調(diào)性；(3)若是的生成函數(shù)，實(shí)數(shù)，求的一個(gè)生成函數(shù)．【正確答案】(1)證明見解析；(2)函數(shù)在R上單調(diào)遞增；(3).【分析】（1）由生成函數(shù)的定義，判斷是否滿足，即可證明；（2）由題意可得，由可得，結(jié)合單調(diào)函數(shù)的定義即可求解；（3），且，設(shè)，則，由生成函數(shù)的定義可得，分兩種情況討論即可.【詳解】（1），且，，由，得，則滿足，所以是的生成函數(shù)；（2）因?yàn)槭堑纳珊瘮?shù)，所以對(duì)任意區(qū)間且，使，即，由，得，又，所以，即，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增；（3），且，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?duì)任意區(qū)間且，使且，滿足，即，此時(shí)是的一個(gè)生成函數(shù).同理，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?duì)任意區(qū)間且，使且，滿足，即，此時(shí)也是的一個(gè)生成函數(shù).綜上：是的一個(gè)生成函數(shù).關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解新定義“生成函數(shù)”的性質(zhì)，以學(xué)習(xí)過的函數(shù)相關(guān)的知識(shí)為基礎(chǔ)，通過一類問題共同特征的“數(shù)學(xué)抽象”，引出新的概念，然后在快速理解的基礎(chǔ)上，解決新問題.上海市普陀區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題1．兩個(gè)非零平面向量的夾角的取值范圍是____________．【正確答案】【分析】根據(jù)平面向量的夾角的定義即可得夾角的取值范圍.【詳解】由題意兩個(gè)非零平面向量的夾角的取值范圍是，故2．函數(shù)的最小正周期為___________．【正確答案】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的周期公式即可求得答案.【詳解】由題意函數(shù)的最小正周期為，故3．若，且，則的坐標(biāo)為____________．【正確答案】或【分析】根據(jù)向量共線設(shè)，再結(jié)合向量的模求解即可.【詳解】由，可設(shè)，則，由，得，解得，故或，故或4．已知，點(diǎn)D滿足，若，則_________．【正確答案】【分析】由平面向量基本定理結(jié)合可得，即可求出的值.【詳解】由，得，所以，即，所以，所以，，故．故答案為.5．若方程的兩根為與，則___________．【正確答案】【分析】根據(jù)兩角和差的正余弦公式化簡后轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)即可得解.【詳解】由題意，，，故6．若，且與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由已知得且不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，，且與的夾角為鈍角，所以且不共線，則，解得且，即.故答案為.7．若，點(diǎn)D在第一象限且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【正確答案】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合已知可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)其在第一象限即可求得答案.【詳解】由題意得，設(shè)，由可得，則，故，故D點(diǎn)坐標(biāo)為，由于D在第一象限，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故8．定義在上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P到x軸的距離為____________．【正確答案】3【分析】設(shè)交點(diǎn)，則，聯(lián)立和，變形整理即可求得答案.【詳解】由題意設(shè)交點(diǎn)，則因?yàn)?，則，令，即，所以，即，解得（負(fù)值舍去），即點(diǎn)P到x軸的距離為3，故39．在邊長為的正六邊形中，點(diǎn)為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍是___________．【正確答案】【分析】利用數(shù)量積的幾何意義去求的取值范圍即可解決.【詳解】正六邊形中，過點(diǎn)作于，

則，，，，由圖可知，在方向上的投影的取值范圍是，所以，，即，故的取值范圍為.故答案為.10．若，則的取值范圍是_______________．【正確答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合輔助角公式，化簡得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)椋傻?，所?故答案為.11．如圖，在中，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】設(shè)，由，可得：再由，可得：，則，最后由可得解.【詳解】設(shè)的面積為，為中點(diǎn)，又C、P、Q三點(diǎn)共線，，即則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.本題考查了向量的模的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算及三角形的面積公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.12．在中，，且，則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】運(yùn)用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出關(guān)于的表達(dá)式，作恒等變換，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的值域.【詳解】，由正弦定理得，。又，，；令，，則，；故答案為.二、單選題13．在中，“”是“”的

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】先判定充分性，然后判定必要性【詳解】在中，，三角形中大邊對(duì)大角，則由正弦定理可得，，，，充分性成立，由正弦定理可得，，則三角形中大邊對(duì)大角，則，必要性也成立故選本題主要考查了充分條件和必要條件的成立，在三角形中運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解，注意在三角形內(nèi)角的取值范圍．14．若所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則P是的（

）．A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【正確答案】C【分析】設(shè)中點(diǎn)為D，根據(jù)向量等式結(jié)合向量的線性運(yùn)算可推出點(diǎn)共線。，結(jié)合三角形重心性質(zhì)，可得答案.【詳解】設(shè)中點(diǎn)為D，

由可得，即點(diǎn)共線，且，則P為的重心.故選：C15．某人要作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長度分別是，則該三角形（

）．A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形 D．有可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形【正確答案】C【分析】設(shè)的邊上的高分別為,由此可令，，由余弦定理即可判斷三角形形狀.【詳解】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且邊上的高分別為,則,令，則，故，故A為鈍角，又，A為三角形最大角，故該三角形為鈍角三角形，故選：C16．銳角三角形中，是邊上的高，若，則可表示為（

）．A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)題意，求得向量在方向上投影的數(shù)量為，進(jìn)而求得，即可求解.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，根?jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，可得向量在方向上投影的數(shù)量為，所以.故選：D.三、解答題17．如圖，摩天輪上一點(diǎn)P在時(shí)刻t（單位:分鐘)距離地面的高度y(單位:米)滿足，已知該摩天輪的半徑為50米，圓心O距地面的高度為60米，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每3分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)P的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處.（1）根據(jù)條件寫出y關(guān)于t的函數(shù)解析式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長時(shí)間點(diǎn)P距離地面的高度超過85米?【正確答案】（1）；（2）分鐘【分析】（1）根據(jù)題意得到，，當(dāng)時(shí)，，解得答案.（2）解不等式得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意：，故，，，故.當(dāng)時(shí)，，即，，故..（2），故，.解得，解得，故有分鐘長的時(shí)間點(diǎn)P距離地面的高度超過85米.本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18．已知兩個(gè)平面向量與的夾角為，且記.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求與的夾角.【正確答案】（1）；（2）；【分析】（1）根據(jù)得，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可得答案；（2）由題知，進(jìn)而計(jì)算得，，，進(jìn)而結(jié)合夾角公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由得，即：，解得：，所以當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以，所以與的夾角為本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，夾角的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于熟練掌握模的公式，夾角公式等.19．在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)若，求實(shí)數(shù)與的值；(2)若，，且，則當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）以為基底可表示出，再以為基底表示出，進(jìn)而得到的值；（2）設(shè)，以為基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，結(jié)合的范圍可得結(jié)果.【詳解】（1）

，，；，，，，，.（2）

設(shè)，則，，，，即的取值范圍為.20．已知數(shù)．(1)將函數(shù)解析式化為的形式；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)將的圖象先向左平移個(gè)單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.若關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用降冪公式、誘導(dǎo)公式以及輔助角公式可化簡函數(shù)的解析式；（2）利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出函數(shù)在上的最大值和最小值，由參變量分離法可得出，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）利用三角函數(shù)圖象變換求出函數(shù)的解析式，