定積分微積分在幾何上有兩個基本問題1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。xy0xy0xyo直線幾條線段連成的折線曲線？曲邊梯形的面積4.5.1曲邊梯形的面積直線x

0、x

1、y

0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊三角形）面積S是多少？xyO1方案1方案2方案3為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代曲”。

y=f(x)baxyOA1A1A1A

A1.用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得A

A1+A2用兩個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A

A1+A2+A3+A4用四個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4

y=f(x)baxyOA

A1+A2+

+An

將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過程求yx2所圍成的曲邊梯形圖形（1）分割把區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間：過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作（2）以直代曲（3）作和（4）逼近分割以曲代直作和逼近

當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點xi對應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi)△x來近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近似值演示后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。后白中學夏玉青觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系?？偨Y(jié)求解過程

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1個分點．得n個小區(qū)間：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．把曲邊梯形分成n個窄曲邊梯形．任取xi

[xi

1，xi

]，以f(x

i)Dxi近似代替第i個窄曲邊梯形的面積．區(qū)間[xi

1,xi

]的長度Dxi

xi

xi

1

．曲邊梯形的面積近似為：A

曲邊梯形的面積近似為：A

．

y=f(x)baxyOx1xi-1xixn-1x2xif(xi)x1x2f(x1)f(x2)f(xi)

xi在[a,b]中任意插入n-1個分點．得n個小區(qū)間：

[xi

1,xi

](i=1,2,···,n)．區(qū)間[xi

1,xi

]的長度Dxi

xi

xi

1

．小結(jié)（曲邊梯形的面積求法）定義

二、定積分的定義記為被積函數(shù)被積表達式積分變量積分下限積分上限積分和注意：定理1定理2三、存在定理曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值

四、定積分的幾何意義

幾何意義：解例1

利用定義計算定積分例2利用定義計算定積分解在[0,1]上連續(xù)，故f(x)在[0,1]上可積為方便計，將[0,1]n

等分，左側(cè)取點等比數(shù)