數(shù)值計算與最優(yōu)化》復(fù)習(xí)1一．填空題TOC\o"1-5"\h\z1、 Matlab中，清除屏幕的命令是(clc )。2、y=100:-4:1,length(y)=( 25 )。3、設(shè)y有5位有效數(shù)字，絕對誤差限為(0.5x10-4 )。4、 設(shè)pi的相對誤差限W0.000125,pi的有效數(shù)字位為(4 )。5、 x二i(i=1,2,3),f(x)二x八3,f(x,x,x)=( 6 )。i ii 1 2 36、 用拋物型求積公式計算11(x4+2x+1)dx的值為( 8/3 )。-17、 f(x)=x3-6x2+5x+1=0的Ne毗on迭代公式為(x=x-(x八3-6x八2+5x+1)/(3x八2-12X+5) )。k+1kkkkkk8、 A-qI的最大特征值為n,A的最大特征值為(n+q )。9、Euler方法的局部離散誤差為(0(h2) )。10、 B的最小特征值為m,Bt-zI的最大特征值為( 1/m-z )。)。11、用松馳迭代法解方程組，要求迭代收斂，松馳因子應(yīng)滿足( 0<w<2)。12、4次Ne毗on-cotes求積公式的代數(shù)精度為(5 )。二．判斷題、四階Runge-Kutta方法的局部離散誤差為0(h5)。 (V)2、非線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)只能是非線性函數(shù)，約束函數(shù)可以為非線性函數(shù)。 (x3、clear是Matlab中清內(nèi)存變量命令。 (V)4、Gauss型求積公式的代數(shù)精度不一定比Newton-cotes求積公式代數(shù)精度高。 (V)三．計算題1、已測得直角三角形的斜邊c和一直角邊a的近似值為c*=5,a*=3，若最大可能的誤差分別是土0.15和土0.12，試求直角邊所對應(yīng)的角A可能的絕對誤差？解：A=arcsin(a/c)~ 1 —一a8a '-c2-a2 &ccc2-a2E(A)=帚*E(d)+^AE(C)=0.00273弧度da dc2、設(shè)x0=-1,X]=0,x2=1,x3=2，對函數(shù)y=1+e一x建立三次Lagrange插值，并求出x=1.5時的值,估計出誤差的范圍。解：L0(x)=-x(x-1)(x-2)/6 L1(x)=(x+1)(x-1)(x-2)/2L2(x)=-(x+1)x(x-2)/2 L3(x)=(x+1)x(x-1)/6Y(x)=(1+e)L0(x)+2L1(x)+(1+1/e)L2(x)+(1+1/e2)L3(x) y(1.5)=1.2446

3、利用復(fù)化l/3simpson公式計算1=J1(x3+x+1)dx，取n=10,并與真值進行對比。0解：真解為7/4。H=0.1I=h/3*(f1+f11+4*(f2+f4+f6+f8+f10)+2*(f3+f5+f7+f9))=1.73764、求方程x2-x-1=0在x0=1附近的根，試給出三個迭代公式，并判斷每一種迭代公式的收斂性,選一種收斂的迭代公式迭代3步，比較每一步的結(jié)果。解：迭代公式如下：第一種：x,=x2-1 一階導(dǎo)數(shù)2x>1，迭代不收斂n+1n第二種：x第二種：x=、；x+1n+1 vn一階導(dǎo)數(shù)亠V1,迭代收斂2x+1一階導(dǎo)數(shù)-1僅一階導(dǎo)數(shù)-1僅2=1,迭代不收斂n+1nn對第二種方法：X0=1X1=1.414X2=1.5535、給定實驗數(shù)據(jù)如下：X.-2-101234iy.-22-70251546利用最小二乘擬合求三次擬合多項式。解：設(shè)三次多項式為：s(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3Xiyixi2xi3xi4xi5xi6xiyixi2yixi3yi-2-224-816-326444-88176-1-71-11-117-7700000000001211111222254816326410204031592781243729451354054461664256102440961847362944工7413591371126749552927983574于是得到正規(guī)方程為：7a0+7a1+35a2+91a3=417a0+35a1+91a2+371a3=29235a0+91a1+371a2+1267a3=79891a0+371a1+1267a2+4955a3=3574解方程得:a0=0.8095,a1=2.0198,a2=-2.5,a3=1.1944S(x)=0.8095+2.0198x-2.5x2+1.1944x3

6、利用LU分解求下列方程組的解{r-xX+X3=3X]+x2+x3=6X1+X2-2X3=-3要求求出L和U矩陣并給出求解過程。解：100L=0.5100.5112-11u=01.50.500-3LY=b y=[3,4.5,-9]'UX=y X=[1,2,3]'7、利用單純形法求解minz=5x+21x13x-x+6x-x=21 2 3 4s.t?2x+x+2x-x=11 2 3 5x；j=1，2,3,4,5j解：直接用單純形求解（x4,x5為基變量）:C502100X1x2x3x4x5b1-16-1021120-11Zj00000入j502100無解。于是，先考慮引入自由變量x6和x7Minz=x6+x7s.t.x1-x2+6x3-x4+x6=2x1+x2+2x3-x5+x7=1xi>0C000C0000X1x2x3x4X61-16-1X71120Zj208-1入j-20-81X3入基x6出基X31/6-1/61-1/60X72/34/301/3-1Zj2/34/301/3-1入j-2/3-4/30-1/31利用單純形求該問題的最優(yōu)解（x6,x7為基變量）。X2入基x7出基011x5x6x7b01021/3-10111/2-11131-1-11/601/3-1/311/31/4-1/311/32/30C502100X1x2x3x4x5bX31/401-1/8-1/83/83/2X21/2101/4-3/41/41/2Zj21/4021-21/8-21/863/8入j-1/40021/821/8最優(yōu)解x6=x7=0在此基礎(chǔ)上，再求原問題的解X31/4X31/401-1/8-1/81/81/83/8X21/2101/4-3/4-1/43/41/4Zj00000000入j0000011minz=x6+x7=0XI入基x2出基X30-1/21-1/41/41/4X11201/2-3/21/2Zj5-1/221-11/4-9/431/4入j01/2011/49/48、給定微分方程：y'x^x+l,y(O)=l,OWxWl,試寫出改進的Euler公式和隱式Euler公式,令h=0.2,求出每一種方法的結(jié)果。解：改進的Euler公式:y二y+h/2(f(x,y)+f(x,y+hf(x,y)))n+1nnnn+1nnnY=y+h/2(x2+x+1+x2+x+1)n+1nnnn+1n+1=y+h/2(x2+x+1+(x+h)2+x+h+1)nnnnn=y+hx2+hx+h2x+h/2(h2+h+2)nnnnY0=1;Yl=y0+0.2/2(0.2'2+0.2+2)=1.224Y2=1.5040Y3=1.8560Y4=2.2960Y5=2.8400隱式Euler公式：y二y+hf(x,y)n+1nn+1n+1Y=y+h(x2+x+1)n+1nn+1n+1Y0=1Y1=1.2480Y2=1.5600Y3=1.