第5章有限域的概念第5章有限域的概念群環(huán)整環(huán)中的因子分解由整環(huán)構(gòu)造域第5章有限域的概念通過前面的學習，我們已經(jīng)知道對于給定的兩個整數(shù)a和b，利用帶余數(shù)除法一定會找到一個整數(shù)q以及一個非負整數(shù)r，使得a=qb+r，在后面的學習過程中，還會發(fā)現(xiàn)，這個規(guī)則對于多項式，高斯整數(shù)等也是成立的。于是，人們?yōu)榱藢⑦@樣一大類的研究對象進行統(tǒng)一處理，引入了一個新的概念－歐氏環(huán)。如此，就可以在歐氏環(huán)中做我們所熟知的除法，因子分解等等，許多的結(jié)論我們不必再分別對整數(shù)，多項式，高斯整數(shù)等一一驗證，只要知道是歐氏環(huán)，那么相應的結(jié)論就是正確的。第5章有限域的概念類似這樣的一套由具體到抽象的理論是由一些偉大的數(shù)學家迦羅瓦，阿貝爾等將我們所熟知的數(shù)上的一些理論加以高度概括，提煉出來的結(jié)果－稱之為近世代數(shù)又稱之為抽象代數(shù)。和我們已經(jīng)接觸到的經(jīng)典代數(shù)中的初等代數(shù)、高等代數(shù)和線性代數(shù)不同，其研究對象不再是代數(shù)方程和線性方程組，而是代數(shù)系統(tǒng)。第5章有限域的概念定義：設S是任意一個集合，并記S×S×…×S為所有有序?qū)?s1,s2,…,sn)，si

S，1≤i≤n，所構(gòu)成的集合，則稱由S×S×…×S到S的映射為集合S上的（n元）代數(shù)運算，并稱由集合S以及定義在集合S上的一個或多個代數(shù)運算構(gòu)成的系統(tǒng)為代數(shù)系統(tǒng)或代數(shù)結(jié)構(gòu)。注：在這個定義中，要求有序?qū)?s1,s2,…,sn)

S×S×…×S的像必須在集合S中，即運算要滿足封閉性。第5章有限域的概念例如，由整數(shù)集合Z以及定義在其上的整數(shù)加法運算“+”所構(gòu)成的系統(tǒng)就是一個代數(shù)系統(tǒng)；而由整數(shù)集合Z和整數(shù)加法運算“+”以及乘法運算“×”所構(gòu)成的系統(tǒng)也是一個代數(shù)系統(tǒng)。第5章有限域的概念本章為了引出有限域的概念，將首先介紹兩個代數(shù)系統(tǒng)：群和環(huán)，包括它們的定義及相關(guān)性質(zhì)，最后給出有限域的定義及其構(gòu)造方法。5.1群群的概念子群、陪集與拉格朗日定理5.1群群的概念定義5.1.1：設G是定義了二元運算“?”的非空集合，如果在集合G中：1）

a,b,c

G，有(a?b)?c=a?(b?c)2）存在一個特殊的元素e，使得

a

G，有e?a=a?e=a

3）

a

G，可以找到一個特殊的元素a-1

G，使得a?a-1=a-1?a=e則稱{G,?}為群，并稱元素e為群{G,?}的單位元，稱a-1為元素a的逆元。

注：群的條件：結(jié)合律、單位元（幺元）、逆元5.1群群的概念若群{G,?}中的運算“?”為大家已知，則可將群{G,?}簡記為G。同時由于群{G,?}中的運算滿足結(jié)合律，故可以在群{G,?}中用記號a1?a2?…?an表示n個元素a1,a2,…,an做運算的結(jié)果。5.1群群的概念定義5.1.2：若對群{G,?}中任意的元素a，b，有a?b=b?a即運算“?”滿足交換律，則稱該群為阿貝爾（或可換）群。

5.1群群的概念例5.1.1：證明(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群，(Z,×)不構(gòu)成群。證明：由整數(shù)加法的運算性質(zhì)知加法運算滿足封閉性(即任意兩個整數(shù)做加法還是整數(shù))，結(jié)合律與交換律，同時容易驗證：1）整數(shù)0是整數(shù)集合在加法運算下的單位元；2）對任意的整數(shù)a，都可以找到其對應地逆元-a。因而(Z,+)構(gòu)成阿貝爾群。雖然容易驗證整數(shù)集合在乘法運算下有單位元1，但是對任意的整數(shù)a≠1都找不到其對應的逆元。因而(Z,×)不構(gòu)成群。

5.1群群的概念按照經(jīng)典代數(shù)中的習慣，通常我們把群{G,?}中的運算“?”稱為乘法或加法，記為“×”或“+”，并相應地把群G稱為乘法群或加法群。特別地，在加法群中，用-a表示a的逆元，稱其為a的負元；而以0表示加法的單位元，稱其為加法群的零元。注：這里所說的乘法群中的乘法或加法群中的加法并不一定都是數(shù)的相乘或者相加，更多的則是表示“抽象加法”或“抽象乘法”的含義。5.1群群的概念例5.1.2：給定由模4的全體剩余類構(gòu)成的集合Z4={[0],[1],[2],[3]}，則可對Z4定義加法“+”運算：[i]+[j]=[i+j]。該“+”運算可用如下運算表來完全刻劃在如上定義的“+”運算下，{Z4,+}構(gòu)成群。+[0][1][2][3][0][0][1][2][3][1][1][2][3][0][2][2][3][0][1][3][3][0][1][2]5.1群群的概念事實上，由上述運算表易知1）Z4對該加法“+”運算封閉；“+”滿足結(jié)合律；2）由于對任意的元素[a]Z4，都有[0]+[a]=[0+a]=[a+0]=[a]+[0]=[a]因而[0]為Z4中的加法零元；5.1群群的概念3）而對Z4中任意的元素[a]，都可以找到Z4中的元素-[-a]，使得[-a]+[a]=[-a+a]=[0]=[a+(-a)]=[a]+[-a]因而Z4中的每個元素都有負元，具體地[0]的負元是自身，[1]的負元為[-1]=[3][2]的負元是[-2]=[2]，[3]的負元為[-3]=[1]因而{Z4,+}構(gòu)成了加法群，稱之為整數(shù)模4的剩余類加群。利用同樣的證明過程，可以得到整數(shù)模n的剩余類加群{Zn,+}。

5.1群群的概念一般地，在乘法群中，一個元素a

G作n次運算的結(jié)果可以記為an=aa???a同時稱an為a的n次冪；而在加法群中，一個元素a

G作n次運算的結(jié)果則可以記為na=a+a+???+a5.1群群的概念并且類似于普通的數(shù)的集合中的加法和乘法運算，群中的加法和乘法運算具有如下性質(zhì)對于乘法：a-n=(a-1)n，anam=an+m，(am)n=anm對于加法：(-n)a=n(-a)，na+ma=(n+m)a，m(na)=(mn)a在n=0時，作如下約定：在乘法記號中a0=e；在加法記號中0a=0，其中最后一個“0”為加法群中的零元。

5.1群群的概念定義5.1.3：設a為群G中的元素，則稱使得an=e的最小正整數(shù)n為元素a的階，記為|a|，如果這樣的n不存在，則稱a的階為無限（或稱是零）。由定義5.1.3可知，群中單位元的階是l，而其他任何元素的階都大于1，例如在非零有理數(shù)乘法群中，單位元1的階是1，而元素-1的階是2，其余元素的階均為無限。5.1群群的概念定義5.1.4：群G中的元素個數(shù)稱為G的階，通常記為|G|。5.1群群的概念例5.1.3：集合G={1,-1,i,-i}關(guān)于數(shù)的普通乘法作成群，即4次單位根群。其中群G的階為4，元素l的階是l，-1的階是2，而虛單位根i與-i的階都是4。5.1群群的概念定義5.1.5：設S為定義了代數(shù)運算“?”的任一非空集合。若在集合S中，運算“?”滿足封閉性與結(jié)合律，則稱{S,?}為半群。5.1群群的概念例5.1.4：設A={1,2,3,4}，而令S為A的全部子集構(gòu)成的集合（通常稱之為A的冪集），則易知{S,∩}及{S,∪}都是半群。

5.1群子群、陪集與拉格朗日定理給定群G，我們可以從群G中找到一些特殊的子集，使其對于群G中所定義的運算也能夠構(gòu)成群。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.6：如果群G的子集H對于群G的運算也構(gòu)成了群，則稱H為群G的子群，并稱群G的除了{e}和G之外的子群為G的真子群。例如容易驗證所有偶數(shù)構(gòu)成的集合就是整數(shù)加法群的真子群。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.7：如果群G中存在一個子集H，使得子集H中的任意元素b，都可以表示為H中某個特殊的元素a的冪次，則稱子集H為群G的循環(huán)子群，而稱元素a為H的生成元，記為H=(a)。特別地，若H=G，則稱群G為循環(huán)群。注：對于乘法群來說，元素a的冪次表示為am；對于加法群來說，元素a的冪次表示為na。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理例5.1.5：容易驗證整數(shù)模4的剩余類加群Z4中的任意元素都可以由元素[1]做若干次運算而得到，即[1]是Z4的生成元。

顯然循環(huán)群的乘法滿足交換律，故循環(huán)群都是可換群。同時一個循環(huán)群的生成元很可能不止一個。例如容易證明[3]也是整數(shù)模4的剩余類加群Z4的生成元。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理推論5.1.1：由群G中一個固定的元素a的所有冪次所構(gòu)成的子群，稱為由a生成的子群，記為(a)。注：子群(a)必然是循環(huán)群，并且若這個子群的階是有限的，則此子群的階就是元素a的階，而若子群的階是無限的，則元素a的階也是無限的。

5.1群子群、陪集與拉格朗日定理半群群阿貝爾群循環(huán)群封閉性√√√√結(jié)合律√√√√單位元√√√逆元√√√交換律√√生成元√5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義（子群）（補充）：群G的子集H稱為子群，若1）1

H；2）若x,y

H，則xy

H，即H在運算下封閉；3）x

H，則x-1

H。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理（補充）：群G的子集H是一個子群當且僅當H非空，且對任意x,y

H有xy-1

H。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理（補充）：群G的任意一簇子群的交集還是G的子群。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.8（集合的積）：設X和Y是群G的兩個非空子集，于是子集X與Y

的積記為XY={xy|x

X,y

Y}特別地，如果Y={y}是一個單元素集，而子集X={x1,x2,…}，那么子集X和Y的積為XY={x1y,x2y,…}此時我們記XY為Xy，并稱Xy為元素y右乘X的積。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.9：設H為群G的子群，a

G，則稱群G的子集aH={ax|x

H}為群G關(guān)于子群H的一個左陪集，而稱Ha={xa|x

H}為群G關(guān)于子群H的一個右陪集。同時稱a為代表元。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理5.1.1：設H為群G的子群，則a，b

G，Ha=Hb與下面兩個條件等價1）a

Hb

2）ab-1

H5.1群子群、陪集與拉格朗日定理證明：（證明思路）本題要證明如下結(jié)論：Ha=Hb?a

Hb?ab-1

H因此，我們分成三步來證明：1）a

Hb?ab-1

H2）Ha=Hb?a

Hb2.1）a

Hb→Ha=Hb2.2）

Ha=Hb→a

Hb，即：Ha=Hb→ab-1

H5.1群子群、陪集與拉格朗日定理1）證明ab-1∈H?a

Hb：設ab-1

H，則存在h

H，使得ab-1=h于是a=hb

Hb即a

Hb由于以上每步的推導都是可逆的，因此ab-1∈H?a

Hb5.1群子群、陪集與拉格朗日定理2.1）證明a

Hb→Ha=Hb：設a

Hb，則存在h∈H使得a=hb因而h-1a=h-1hb=b即b=h-1a

首先x

Ha，存在h1

H使得x=h1a=h1(hb)=(h1h)b5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由子群H對乘法運算的封閉性得到h1h

H，因而x=(h1h)b

Hb故Ha

Hb其次

y

Hb，存在h2

H使得y=h2b=h2(h-1a)=(h2h-1)a由子群H對乘法運算的封閉性得到h2h-1

H5.1群子群、陪集與拉格朗日定理因而y=(h2h-1)a

Ha故Hb

Ha綜上，得到Ha=Hb5.1群子群、陪集與拉格朗日定理2.2）證明Ha=Hb→ab-1

H：設Ha=Hb，則ha

Ha，都存在h’

H，使得ha=h’b即ab-1=h-1h’

H進而ab-1

H綜上，結(jié)論成立。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理（補充）：設H為群G的子群，則a，b

G，aH=bH與下面兩個條件等價1）a

bH

2）b-1a

H5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理5.1.2：設H為群G的子群，a，b

G，則1）a

Ha2）右陪集Ha與Hb或者相等或者相交為空集，即Ha=Hb或Ha∩Hb=Φ5.1群子群、陪集與拉格朗日定理證明：1）因為H為群G的子群，所以H中有單位元e，使得a

G，有a=ea

Ha5.1群子群、陪集與拉格朗日定理2）若Ha∩Hb≠Φ，則存在x

Ha∩Hb由x

Ha，可以得到Hx=Ha而由x

Hb，又可以得到Hx=Hb所以Ha=Hb5.1群子群、陪集與拉格朗日定理3）因為每個右陪集Ha都是G的子集，所以這些右陪集的并也是G的子集，即另一方面，g

G，由1)知g

Hg，而顯然有所以5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由g的任意性得到所以5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由定理5.1.2我們看到：1）每個右陪集的代表元都含在該右陪集內(nèi)；2）任兩個右陪集要么相等，要么不相交；3）將不重復的全部右陪集并起來恰好等于整個群G，即群G的所有不重復的右陪集構(gòu)成了G的一個劃分。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.10：設H為群G的子群，由上述定理決定的G的劃分稱為G的一個右陪集分解。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理特別地，由上可見群G的右陪集分解具有如下特點：1）分解式中必含有子群H（即以單位元為代表的右陪集），而其余的右陪集都不是G的子群；備注：因為當a

H時，因為a

He，因此Ha=H；當時，Ha不封閉。否則，存在h,g

H，ha=g，即即Ha不封閉，與H為子群矛盾。故此時Ha不是子群。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理2）右陪集分解式中出現(xiàn)的右陪集彼此都不相交；3）分解式中每個右陪集的代表元都可以適當替換。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理設H為群G的子群，若記SR={Ha|a

G},SR為H的所有不重復的右陪集組成的集合，SL={cH|c

G}，SL為H的全部不重復的左陪集組成的集合。則左陪集將與右陪集具有完全相似的性質(zhì)。同時有如下結(jié)論5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理5.1.3：設H為群G的子群，則SR與SL之間存在雙射。證明：（證明思路）按照如下步驟證明：1）構(gòu)造一個關(guān)系φ2）證明φ是映射：x1=x2→

φ(x1)=φ(x2)3）證明φ是滿射：原象都存在4）證明φ是單射：x1≠x2→φ(x1)≠φ(x2)的逆否命題：

φ(x1)=φ(x2)→x1=x25）得到φ是雙射5.1群子群、陪集與拉格朗日定理1）關(guān)系的構(gòu)造：作φ:SR→SL其中φ(Ha)=a-1H5.1群子群、陪集與拉格朗日定理2）證明φ必是映射：

Ha，Hb

SR，若Ha=Hb則ab-1

H即存在h

H，使得

ab-1=h即

b-1=a-1h進而b-1

a-1H故a-1H=b-1H即φ(Ha)=φ(Hb)這說明φ是個映射。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理3）證明φ必是滿射：

cH

SL，存在Hc-1

SR使

φ(Hc-1)=(c-1)-1H=cH所以φ必是滿射。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理4）證明φ必是單射：設

φ(Ha)=a-1H若a-1H=b-1H，則ab-1H=H即存在h1，h2

H，使得ab-1h1=h2，即ab-1=h2h1-1進而a=h2h1-1b即

h2-1a=h1-1b，故Ha=Hb所以φ必是單射。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理5）綜上知φ必是雙射。綜上，命題得證。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由定理5.1.3我們知道集合SR與SL中的元素個數(shù)相同。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定義5.1.11：若H為群G的子群，則稱H的右（左）陪集的個數(shù)為H在G中的指數(shù)，記為[G:H]。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理引理5.1.1：設H為群G的子群，則H與H的任一個右陪集Ha之間都存在雙射。證明：設φ:H→Ha，其中h

H，有φ(h)=ha1）h

H，作為h在φ下的象ha是唯一確定的，所以φ是映射。2）ha

Ha，顯然ha有原象h，所以φ是滿射。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理3）設φ(h1)=h1a，φ(h2)=h2a若

h1a=h2a則h1aa-1=h2aa-1即h1=h2所以φ必是單射。綜上知φ是雙射。

5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由引理5.1.1可知，子群的互不相等的右陪集不相交且彼此都含有相同數(shù)目的元素。5.1群子群、陪集與拉格朗日定理定理5.1.4（拉格朗日定理）：設H為群G的子群，若|G|=N，|H|=n且[G:H]=j則N=nj5.1群子群、陪集與拉格朗日定理證明：因為[G:H]=j，即H在群G中的右陪集只有j個，從而有G的右陪集分解：G=Ha1∪Ha2∪Ha3∪…∪Haj其中Ha1=H由引理5.1.1知，|Ha1|=|Ha2|=|Ha3|=…=|Haj|=n所以|G|=|Ha1|j即N=nj5.1群子群、陪集與拉格朗日定理由等式N=nj知子群H的階n是G的階N的因子，于是有如下推論：5.1群子群、陪集與拉格朗日定理推論5.1.2：設G為有限群，則a∈G，其階m必是|G|的因子，即|a|||G|。證明：設以元素a生成G的一個循環(huán)子群H=(a)，則由拉格朗日定理知|H|||G|但|H|=m，所以m||G|即|a|||G|

5.2環(huán)在基礎代數(shù)中我們所及的數(shù)的集合，例如整數(shù)集、實數(shù)集與有理數(shù)集，都定義了兩種不同的二元運算：加法和乘法。在這一節(jié)中我們定義一個與這些數(shù)的代數(shù)系統(tǒng)具有相似運算性質(zhì)的代數(shù)結(jié)構(gòu)：環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義多項式環(huán)5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.1：設在非空集合R中定義了兩個二元運算“+”與“·”，如果在集合R中1）{R,+}構(gòu)成阿貝爾群；2）{R,·}構(gòu)成半群；3）乘法“·”對加法“+”滿足左、右分配律，即a,b,c

R，有a·(b+c)=a·b+a·c且(b+c)·a=b·a+c·a則稱{R,+,·}為環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.1：在環(huán){R,+,·}中，取集合R為整數(shù)集Z，“+”和“·”為整數(shù)的加法和乘法運算，則容易驗證{R,+,·}構(gòu)成環(huán)，稱之為整數(shù)環(huán)，記為Z。同理還可以得到有理數(shù)環(huán)，實數(shù)環(huán)，復數(shù)環(huán)，由于這四個環(huán)都是由數(shù)的集合組成的，故均稱之為數(shù)環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.2：設集合Z[i]={a+bi|a,b

Z}則按照整數(shù)加法運算，集合Z[i]也構(gòu)成了環(huán)，稱為高斯整數(shù)環(huán)。注：高斯整數(shù)是指實數(shù)和虛數(shù)部分都是整數(shù)的復數(shù)。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.3：模m的剩余類環(huán){Zm,+,·}，前邊我們曾討論了模m的剩余類加群{Zm,+}，這里再為Zm定義一個乘法“·”：[i]·[j]=[i·j]于是可以驗證{Zm,+,·}構(gòu)成一個環(huán)。為了便于理解，這里特取m=7，接下來證明{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義證明{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。事實上：1）{Z7,+}正是模7剩余類加群；2）{Z7,·}是半群：由下邊的乘法運算表可知{Z7,·}對乘法運算封閉，且滿足結(jié)合律；·[0][1][2][3][4][5][6][0][0][0][0][0][0][0][0][1][0][1][2][3][4][5][6][2][0][2][4][6][1][3]5][3][0][3][6][2][5][1]4][4][0][4][1][5][2][6][3][5][0][5][3][1][6][4][2][6][0][6][5][4][3][2][1]5.2環(huán)環(huán)的定義3）a,b,c

Z7，有[a]·([b]+[c])=[a]·[b+c]

=[a·(b+c)]

=[a·b+a·c]

=[a·b]+[a·c]

=[a]·[b]+[a]·[c]同理([b]+[c])·[a]=[b]·[a]+[c]·[a]因而{Z7,+,·}構(gòu)成環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義環(huán){R,+,·}在集合R上定義了兩個二元運算，并且這兩個二元運算通過分配律建立了彼此的聯(lián)系，但同時注意到集合R對于乘法只要求構(gòu)成半群（即乘法滿足封閉性和結(jié)合律），所以為環(huán)在乘法方面留下了很大的發(fā)展空間，一旦某些乘法再滿足其它一些條件，就可以得到一些特殊類型的環(huán)。首先引入如下定義：5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.2：若環(huán)R中存在非零元素a和b，使得a·b=0則稱a是R的一個左零因子，b是R的一個右零因子，進一步地，若環(huán)R中的元素a既是左零因子，又是右零因子，則稱a為零因子。注：此處等式右邊的0指的是加法的零元。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.4：容易驗證在環(huán){Z6,+,·}中，有[2]·[3]=[0]因而[2]是Z6的一個左零因子，同時[3]是Z6的一個右零因子，又由[3]·[2]=[0]知[2]也是Z6的一個右零因子，[3]也是Z6的一個左零因子，而因而[2]和[3]都是Z6的零因子。但是觀察例5.2.3中環(huán){Z7,+,·}的乘法運算表，我們會發(fā)現(xiàn)找不到這樣的非零元素a與b，故環(huán){Z7,+,·}中既無左零因子，也無右零因子。5.2環(huán)環(huán)的定義注：在環(huán)R中1）左零因子和右零因子這兩個概念彼此依賴，有左零因子有右零因子；2）若a是R的左零因子，一般a未必同時是R的右零因子；3）若環(huán)R是交換環(huán)（見定義5.2.4），則R的每個左（或右）零因子都是零因子。5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.3：若環(huán)R中沒有左零因子（自然也就沒有右零因子），則稱環(huán)R為無零因子環(huán)。進一步地給出如下定義：5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.4：1）若環(huán){R,+,·}中具有乘法運算的單位元，則稱環(huán){R,+,·}為有單位元環(huán)。2）若環(huán){R,+,·}中的乘法運算滿足交換律，則稱環(huán)R為可換環(huán)/交換環(huán)（交換環(huán)需不需要含單位元目前有爭議）。3）一個不含零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)。4）若環(huán){R,+,·}中的非零元在乘法運算下構(gòu)成群，則稱環(huán){R,+,·}為除環(huán)。5）可交換的除環(huán)稱為域。5.2環(huán)環(huán)的定義定義（整環(huán)）（補充）：交換環(huán)R稱為整環(huán)（IntegralDomain），若1≠0，且乘法消去律成立：當ca=cb，c≠0時，a=b。注：1）此定義說明整環(huán)需要含有單位元（目前有爭議）；2）假設乘法單位元1不等于加法單位元0是用以除去平凡的環(huán){0}。整環(huán)是整數(shù)環(huán)的抽象化，它很好地繼承了整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì)，使我們能夠更好地研究整除理論。5.2環(huán)環(huán)的定義定理（補充）：每個域都是整環(huán)。證明：假設ab=ac，其中a≠0。兩邊乘以a-1得到a-1ab=a-1ac所以b=c得證。5.2環(huán)環(huán)的定義注意：1）環(huán)中的乘法單位元顯然不只代表整數(shù)1，例如{Z7,+,·}中的單位元為[1]。2）并不是每個環(huán)都有單位元，例如偶數(shù)環(huán)。3）若環(huán)R中有單位元,則這個單位元必是唯一的。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.5：所有數(shù)環(huán)以及剩余類環(huán)Zm都是可換環(huán)。整數(shù)環(huán)，模m剩余類環(huán)(m為素數(shù)時)都是整環(huán)；模m剩余類環(huán)(m為合數(shù)時，有零因子)不是整環(huán)。5.2環(huán)環(huán)的定義接下來，有必要對域的概念及性質(zhì)做進一步地強調(diào)。首先，域是定義了兩個二元運算：加法和乘法的非空集合。1）該集合對加法構(gòu)成了阿貝爾群，其加法的零元記為0；2）集合中的所有非零元對乘法也構(gòu)成了阿貝爾群，其乘法的單位元記為e，且0≠e。3）兩個二元運算乘法和加法通過分配律a(b+c)=ab+ac聯(lián)系在一起。前面曾介紹的很多數(shù)環(huán)都是域(稱為數(shù)域)，例如有理數(shù)域Q，實數(shù)域R，復數(shù)域C。5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.5：只包含有限個元素的域稱為有限域，或迦羅瓦（Galois）域。

5.2環(huán)環(huán)的定義環(huán)無零因子環(huán)整環(huán)有單位元環(huán)除環(huán)可換環(huán)/交換環(huán)域有限域非零元有乘法逆元乘法有單位元非零元在乘法在構(gòu)成群乘法可交換5.2環(huán)環(huán)的定義補充：目前關(guān)于可換環(huán)和整環(huán)的定義有歧義。半群群Abel群環(huán)無零因子環(huán)可換環(huán)含幺環(huán)整環(huán)除環(huán)域5.2環(huán)環(huán)的定義定理5.2.1：若p是素數(shù)，則模p的剩余類環(huán)Zp構(gòu)成域。證明：首先模p的剩余類環(huán)Zp是不含零因子的可換環(huán)，即整環(huán)。否則設[a]是Zp的任意一個零因子，則存在[b]Zp，且[b]≠[0]使得[a][b]=[0]由[b]≠[0]，得到p?b5.2環(huán)環(huán)的定義而由[a][b]=[ab]=[0]又知p|ab故p|a即[a]=[0]，也即Zp的零因子只有[0]，故Zp是整環(huán)。其次易知Zp有單位元[1]。5.2環(huán)環(huán)的定義最后由域的定義只需證明每個非零元素[a]都有逆元即可。為此，

[x]Zp，作映射f:[x]→[a][x]則由乘法運算的封閉性知[a][x]Zp，即f(Zp)Zp若f(Zp)=Zp則必定可以找到一個[x]Zp，使得[a][x]=[1]，即[x]=[a]-15.2環(huán)環(huán)的定義下面證明f(Zp)=Zp由于f(Zp)={[a][x]|[x]Zp}故當[x]取遍Zp時，[a][x]取遍Zp；且若[x1]≠[x2]，則由剩余類環(huán)Zp無零因子知[a][x1]≠[a][x2]因而|

f(Zp)|=|Zp|即集合f(Zp)與Zp有相同個數(shù)的元素，因而結(jié)合f(Zp)Zp，就得到f(Zp)=Zp5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.6（子環(huán)）：若環(huán)R的一個子集S在環(huán)R的加法和乘法運算下也構(gòu)成環(huán)，則稱S為R的子環(huán)。類似地可以給出如下子整環(huán)，子除環(huán)和子域的定義。5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.7：若整環(huán)（除環(huán)或域）R的子集S在整環(huán)（除環(huán)或子域）R的加法和乘法運算下也構(gòu)成整環(huán)（除環(huán)或域），則稱S為整環(huán)（除環(huán)或域）R的子整環(huán)（子除環(huán)或子域）。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.6：容易驗證整數(shù)模6的剩余類環(huán)Z6中的子集S={[0],[2],[4]}構(gòu)成了Z6的子環(huán)，且該子環(huán)還是一個域，其中[4]為單位元，而[2]與[2]互為逆元。

5.2環(huán)環(huán)的定義定義5.2.8（理想）：設I是環(huán)R的一個子環(huán)，若a

I，r

R，都有ra

I（或ar

I），則稱I是R的一個左理想（或右理想）；若a

I，r

R，都有ar

I且ra

I，則稱I是R的一個理想（理想子環(huán)的簡稱）。注：由理想的定義可知，理想的乘法具有“吸收性”。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.7：任一個環(huán)R至少都有如下兩個理想：{0}—零理想，R—單位理想，統(tǒng)稱為環(huán)R的平凡理想，而將其它理想（若存在）稱之為環(huán)R的真理想。5.2環(huán)環(huán)的定義例5.2.8：容易驗證偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的理想。

5.2環(huán)多項式環(huán)在基礎代數(shù)中，我們將多項式f(x)表示為a0+a1x+…+anxn其中系數(shù)ai的通常為實數(shù)或復數(shù)；并將x看成是變元，即可以把x替換成任意的數(shù)α，進而得到數(shù)a0+a1α+…+anαn本小節(jié)我們將把所熟悉的多項式的概念和運算作以下簡單推廣。5.2環(huán)多項式環(huán)設R是任意環(huán)，則環(huán)R上的多項式可以表示為f(x)=a0+a1x+…+anxn其中n為非負整數(shù)，系數(shù)ai為環(huán)R上的元素，x是不屬于環(huán)R的一個符號，稱為環(huán)R上的不定元（或稱未定元）。約定當系數(shù)ai=0時，項aixi可以不寫，在此約定下，上面的多項式也可以等價地表述為f(x)=a0+a1x+…+anxn+0xn+1+…+0xn+h其中h為任意正整數(shù)。5.2環(huán)多項式環(huán)這樣，對環(huán)R上的兩個多項式f(x)=a0+a1x+…+anxng(x)=b0+b1x+…+bmxm進行比較時，就可以假設他們都具有相同的冪指數(shù)。環(huán)R上的兩個多項式相等的充要條件可以表示為：f(x)=g(x)ai=bi，0≤i≤n5.2環(huán)多項式環(huán)兩個多項式f(x)與g(x)的加法與乘法運算分別定義為f(x)+g(x)=(a0+b0)+(a1+b1)x+…+(an+bn)xn

f(x)g(x)=c0+c1x+…+cn+mxn+m其中，5.2環(huán)多項式環(huán)容易驗證環(huán)R上的多項式集在定義了如上的多項式的和與乘積運算之后構(gòu)成環(huán)。稱之為環(huán)R上的多項式環(huán)，記為R[x]。R[x]中的零元是系數(shù)全為零的多項式，這個多項式稱為零多項式，記為0。5.2環(huán)多項式環(huán)定義5.2.9：設f(x)=a0+a1x+…+anxn為環(huán)R上的一個非零多項式，故可設an≠0，并稱an為多項式f(x)的首系數(shù)，a0為f(x)的常數(shù)項，而n稱為f(x)的次數(shù)，記n=deg(f(x))=deg(f)并約定deg(0)=-∞次數(shù)≤0的多項式稱為常數(shù)多項式。若環(huán)R有單位元1且f(x)的首系數(shù)為1，就稱f(x)為首一多項式。5.2環(huán)多項式環(huán)多項式的分類和性質(zhì)：類型子類型形式次數(shù)常數(shù)多項式零多項式f(x)=0-∞零次多項式f(x)=a00非常數(shù)多項式不可約多項式f(x)=a0+a1x+…≥1可約多項式f(x)=a0+a1x+…≥15.2環(huán)多項式環(huán)例5.2.9：多項式環(huán)Z7[x]中，多項式f(x)=6x5+5x4+x2+4的次數(shù)deg(f(x))=5首系數(shù)為6，常數(shù)項為4。由于多項式f(x)的首系數(shù)不為1，因而f(x)不是首一多項式。5.2環(huán)多項式環(huán)定理5.2.2：設f(x)和g(x)R[x]，則deg(f(x)+g(x))≤max(deg(f(x)),deg(g(x)))deg(f(x)·g(x))≤deg(f(x))+deg(g(x))若R是整環(huán)，則

deg(f(x)·g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))5.2環(huán)多項式環(huán)例5.2.10：多項式環(huán)Z6[x]中，多項式f(x)=2x3+x2+4，g(x)=3x2+x+3則deg(f(x))=3，deg(g(x))=2而f(x)+g(x)=2x3+4x2+x+1f(x)g(x)=5x4+x3+3x2+4xdeg(f(x)+g(x))=3=max(deg(f(x)),deg(g(x)))deg(f(x)·g(x))=4<deg(f(x))+deg(g(x))=55.2環(huán)多項式環(huán)而在多項式環(huán)Z7[x]中，多項式f(x)=6x5+5x4+x2+4，g(x)=3x4+5x2+x+5則deg(f(x))=5，deg(g(x))=4而f(x)+g(x)=6x5+x4+6x2+2f(x)g(x)=4x9+x8+2x7+6x6+x3+4x2+6deg(f(x)+g(x))=5=max(deg(f(x)),deg(g(x)))deg(f(x)·g(x))=9=deg(f(x))+deg(g(x))5.2環(huán)多項式環(huán)若我們將環(huán)R中的元素看成是常數(shù)多項式，則R可以看成是R[x]的一個子環(huán)，且容易證明R[x]將具有與環(huán)R完全相似的性質(zhì)，即5.2環(huán)多項式環(huán)定理5.2.3：設R是一個環(huán)，則R[x]是可換環(huán)當且僅當R是可換環(huán)；R[x]是有單位元的環(huán)當且僅當R有單位元；R[x]是整環(huán)當且僅當R是整環(huán)。5.2環(huán)多項式環(huán)并且與整數(shù)環(huán)上的素數(shù)相對應，在域F上的多項式環(huán)F[x]上可以定義既約多項式（或稱為不可約多項式）。5.2環(huán)多項式環(huán)定義5.2.10（不可約多項式）：設f(x)是次數(shù)大于零的多項式，若除了常數(shù)和常數(shù)與多項式f(x)本身的乘積以外，f(x)再不能被域F上的其它多項式除盡，則稱f(x)為域F上的既約多項式或不可約多項式。5.2環(huán)多項式環(huán)定義（不可約多項式）（補充）：設F是域，則非常數(shù)多項式f(x)F[x]在F[x]中是不可約的當且僅當在F[x]中沒有如下的因子分解：f(x)=g(x)h(x)其中deg(g),deg(h)<deg(f)。注：以上定理說明deg(g),deg(h)>0，即g(x)和h(x)不能為常數(shù)多項式，否則條件deg(g),deg(h)<deg(f)得不到滿足。5.2環(huán)多項式環(huán)注：由此定義我們可以看出：1）f(x)是不可約多項式的充要條件為f(x)不能再分解為兩個次數(shù)比f(x)的次數(shù)更低的多項式的乘積。2）f(x)是否可約與所討論的域有很大關(guān)系。例如f(x)=x2+1在實數(shù)域上是不可約的，但在復數(shù)域上可分解為f(x)=(x+i)(x-i)但不論在哪一個域上，凡是一次首一多項式都是不可約多項式。5.2環(huán)多項式環(huán)與數(shù)論部分中整數(shù)的帶余除法以及唯一分解定理類似，下面我們不加證明地給出域F的多項式環(huán)F[x]中的帶余除法以及唯一分解定理。5.2環(huán)多項式環(huán)定理5.2.4：設f(x)和g(x)F[x]，g(x)≠0，則存在多項式q(x)和r(x)F[x]，使得f(x)=q(x)g(x)+r(x)其中deg(r(x))<deg(g(x))注：在整環(huán)和域中，這種分解形式是唯一的。5.2環(huán)多項式環(huán)定理5.2.5：域F的多項式環(huán)F[x]中的每一個首一多項式必定可以分解為首一不可約多項式的乘積，并且當不考慮因式的順序時，這種分解是唯一的。5.3整環(huán)中的因子分解在數(shù)論中我們討論了整數(shù)環(huán)的唯一分解定理，在前一節(jié)中我們又看到這樣這個定理對于多項式也是成立的，而他們的共性在于它們都是有單位元的整環(huán)，為此本節(jié)我們討論有單位元的整環(huán)中元素的分解問題。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念唯一分解整環(huán)5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念在本節(jié)我們把整數(shù)環(huán)中的整除、因子以及素數(shù)等進行推廣。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念定義5.3.1：設D是有單位元的整環(huán)，則a,b

D，1）若c=ab，則稱a是c的因子，并稱a可整除c，記作a|c。2）若a|b且b|a，則稱a與b相伴，記作a~b。3）若a與b之積ab為單位元，則稱a與b互為逆元，此時也稱a與b皆為可逆元（或稱a與b為單位）。4）若c=ab，且a與b都不是可逆元，則稱a是c的真因子。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念例5.3.1：整數(shù)環(huán)中兩個整數(shù)相伴的充要條件為：這兩個整數(shù)相等或只差一個負號；在多項式環(huán)中兩個多項式相伴的充要條件為：這兩個多項式相差一個常數(shù)多項式；高斯整數(shù)環(huán)Z[i]中的可逆元為1，i，故兩個高斯整數(shù)相伴的充要條件為：這兩個高斯整數(shù)相差1或i，例如-3+i~1+3i。思考：大家能總結(jié)相伴所需的一般性條件嗎？5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念由定義5.3.1可得以下基本事實，其中集合U(D)表示整環(huán)D中的所有可逆元構(gòu)成的集合（因其是乘法群，故也稱作單位群）：1）由于

a

D，均有0=a·0，a=a·1，因而任意元素都是0的因子，而單位元l是任意元素的因子。2）由于若u

U(D)，則a

D，均有a=u(u-1a)，因而可逆元是任意元素的因子。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念3）由于a,b,c

D，若a|b且b|c，則a|c，因而整除關(guān)系滿足傳遞性。4）兩元素相伴，則它們相差一個可逆元因子：設a~b，則a|b且b|a，即存在元素u和v使得b=ua，a=vb因而b=uvb，由于D中有單位元且無零因子，因而由b(1-uv)=0，即得uv=1，所以u和v都是可逆元。5）相伴關(guān)系是等價關(guān)系。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念6）可逆元無真因子，且所有可逆元都與單位元l相伴：若u

U(D)，u=ab，則u-1u=u-1ab=a(u-1b)=(u-1a)b=1即a與b都是可逆元，因而可逆元無真因子；又

u

U(D)，有u-1u=1，而u-1為可逆元，故由4）知u與1相伴。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念定義5.3.2：設D是有單位元的整環(huán)，且D*為D中的所有非零元構(gòu)成的集合，則a,b

D，p

D*\U(D)，若由等式p=ab，可知a

U(D)，或b

U(D)，則稱p是不可約元或既約元；若由p|ab，可知p|a或p|b，則稱p是素元。注：1）“\”表示集合的減法運算；2）由以上定義可知，既約元或者素元一定不是可逆元；3）既約元沒有真因子。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念例5.3.2：在多項式環(huán)中的既約元與素元均指不可約多項式；在整數(shù)環(huán)中，既約元與素元均是指全體素數(shù)；但在高斯整數(shù)環(huán)中，素數(shù)就不一定是既約元了。例如，2是素數(shù)，且2=(1+i)·(1-i)，而高斯整數(shù)環(huán)中的可逆元只有1與i，故1+i與1-i均不是可逆元，故2在Z[i]中不是既約元，顯然也不是素元。

5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念對于一般的有單位元的交換環(huán)，既約元與素元往往是兩個不同的概念。例如：在Z6中，[2]是素元，但不是既約元，因為[2]=[2][4]，從而[2]和[4]是[2]的真因子。

，其中3是不可約元，但是3不是素元，因為：5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念但是如果在有單位元的整環(huán)中，既約元與素元的關(guān)系有以下定理：5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念定理5.3.1：設D是有單位元的整環(huán)，則D中的素元必是既約元。證明：設p是素元且p=ab，則由p=ab可得p|ab，而由p是素元可得p|a或p|b若p|a，則由p=ab可得a|p，即p~a，因而b

U(D)。若p|b，則由p=ab可得b|p，即p~b，因而a

U(D)。即a與b中總有一個可逆元，所以p是既約元。

5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念那么，定理5.3.1的逆定理是否成立呢？為了給出定理5.3.1的逆定理成立的條件（即既約元是素元的條件），我們需要引出如下定義：注：定理5.3.1給出了素元是既約元的條件，這里我們所說的逆定理是指要研究既約元是素元的條件。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念定義5.3.3：設D是有單位元的整環(huán)，a,b

D，若存在d

D使得以下兩個條件成立，則稱d是a和b的最大公因子。1）d|a，d|b；2）d’

D，若d’|a且d’|b，則d’|d。注：最大公因子跟我們在數(shù)論部分所說的最大公因數(shù)類似，但是有區(qū)別。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念由定義5.3.3可以得到最大公因子的以下簡單性質(zhì)：5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念引理5.3.1：a與b的任意兩個最大公因子是相伴的。證明：若d是a與b的最大公因子，則u

U(D)，ud也是a與b的最大公因子，即a與b的任意兩個最大公因子是相伴的。注：上述引理表明最大公因子不唯一，因而以下當a與b的最大公因子存在時，以(a,b)表示a與b的任意一個最大公因子。

5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念引理5.3.2：(a,(b,c))~((a,b),c)。證明：設dl=(a,(b,c))，d2=((a,b),c)，則dl|a且dl|(b,c)進而dl|a，dl|b則dl|(a,b)又dl|c，因而d1|((a,b),c)=d2類似d2|d1，所以d2～d1，即(a,(b,c))~((a,b),c)5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念引理5.3.3：c(a,b)~(ca,cb)=(ac,bc)。證明：令d=(a,b)，d1=c(a,b)=cd，d2=(ca,cb)，則d1=cd|ca和d1=cb得d1|d2令d2=ud1，ca=xd2，則ca=xud1=xucd故a=xud5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念類似地，若令cb=yd2，可得b=yud因而ud|(a,b)=d得u~1由d2=ud1可知，d2|d1所以d1～d2，即c(a,b)~(ca,cb)=(ac,bc)5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念引理5.3.4：若(a,b)~1，(a,c)~1，則(a,bc)~1。證明：由于(a,bc)=((a,ac),bc)，又由引理5.3.2知((a,ac),bc)~(a,(ac,bc))即存在v

U(D)，使得((a,ac),bc)=v(a,(ac,bc))由引理5.3.3知(ac,bc)~c(a,b)，即存在m

U(D)，使得(ac,bc)=mc(a,b)5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念而由(a,b)~1，知存在u

U(D)，使得(a,b)=u因而(ac,bc)=mcu進而(a,bc)=v(a,(ac,bc))=v(a,mcu)=v(a,muc)又(a,c)~1，故存在w

U(D)，使得(a,c)=w。5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念下證(a,c)~(a,muc)首先由(a,c)=w知w|a，w|c因而w|a，w|muc即w是a與muc的公因子，因而w|(a,muc)又令(a,muc)=s，則s|a，s|muc5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念由于mu為可逆元，因而s|c故s|(a,c)，即(a,c)~(a,muc)故存在x

U(D)，使得x(a,c)=(a,muc)，因而(a,bc)=v(a,muc)=vx(a,c)=xvw由于x，v與w，都是可逆元，因而它們的乘積仍然是可逆元，故(a,bc)~15.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念定理5.3.2：設D是有單位元的整環(huán)，若a,b

D，(a,b)存在，則D中的每個既約元也是素元。證明：設p是D中的既約元，并設p|ab，若p不是素元，則p?a且p?b若p?a，令(p,a)=d，則d|a且d|p即在D中存在元素c與e，使得a=dc且p=de5.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念由p是D中的既約元，得到d

U(D)或e

U(D)若e

U(D)，則d=pe-1，因而a=pe-1c即p|a矛盾，故d

U(D)，即d=(p,a)~15.3整環(huán)中的因子分解一些基本概念同理若p?b，則(p,b)~1由引理5.3.4知(p,ab)~1另一方面，由p|ab，可知(p,ab)~p結(jié)合(p,ab)~1，知p~1這與p不是可逆元矛盾。此矛盾表明p|a或p|b。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)本小節(jié)主要討論環(huán)中的一個元素能否唯一地分解為既約元之積的問題，這與方程求解問題關(guān)系密切。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)定義5.3.4：設D是有單位元的整環(huán)，若a

D*\U(D)1）a可分解為有限個既約元之積，即a=p1p2…ps，其中pi，i=1,2,…,s，為既約元。2）若a=p1p2…ps=q1q2…qt，其中pi，1≤i≤s，qj，1≤j≤t，均為既約元，則s=t，且適當調(diào)換次序后可以使得pi~qi（1≤i≤s），則稱D是唯一分解整環(huán)(UniqueFactorizationDomain,UFD)。由定理5.3.2知唯一分解整環(huán)有以下重要性質(zhì)：5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)定理5.3.3：設D是唯一分解整環(huán)，則D中任何兩個不全為0的元素均有最大公因子，因而D中每一個既約元也是素元。

5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)定理5.3.4：設D是有單位元的整環(huán)，則以下三個命題等價：1）D是唯一分解整環(huán)。2）D滿足下列兩條件：a）D中的任意真因子序列a1,a2,…,ai,…(其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限項。b）D中任何兩元素均有最大公因子。3）D滿足下列兩條件：a）D中的任意真因子序列a1,a2,…,ai,…(其中ai+1是ai的真因子)只能含有有限項。b）D中每一既約元都是素元。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)證明：1)→2)：由于D是唯一分解整環(huán)，a1只能分解為有限個既約元之積，因而a1的真因子序列只有有限項，條件a)滿足，由定理5.3.3知條件b)也滿足。2)→3)：由定理5.3.3可得。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)3)→1)：設a是D*\U中任一元素，首先證明a可分解為有限個既約元之積。若a是既約元，則得證；否則a可分解為a=p1a1，其中p1為既約元。再對a1作同樣的分解，則或a1是既約元（結(jié)論得證），或a1=p2a2，其中p2為既約元（繼續(xù)分解）。如此，可得真因子序列a,a1,…。由條件a)該序列必終止于有限項，設as=ps+1是既約元，則a=p1p2…psps+1。再證分解式的唯一性：設a=p1p2…ps=q1q2…qt。對分解式中因子的個數(shù)s作數(shù)學歸納。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)s=1時a=p1為既約元，不可能再分解為兩個以上的既約元的乘積，故t=1，a=p1=q1。假設結(jié)論對s-1成立。當a=p1p2…ps=q1q2…qt時，p1|q1q2…qt，由于p1是素元，故必有某個qk使p1|qk，由于qi的次序可任意排列，不妨設p1|q1，于是q1=up1，又q1也是既約元，故u

U(D)，即p1~q1，將q1=up1代入a的分解式，并消去p1得到a’=p2p3…ps=(uq2)q3…qt，由歸納假設，得s=t，并適當排列次序后可得pi~qi（2≤i≤s）。因此結(jié)論對任何正整數(shù)s均成立。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)例5.3.3：由高等代數(shù)知識知整數(shù)環(huán)Z和數(shù)域F上的多項式環(huán)均滿足唯一分解整環(huán)的定義，因而都是唯一分解整環(huán)，且每一既約元都是素元。而環(huán)，即由所有形如的元素構(gòu)成的集合中，并不是任意兩個元素都有最大公因子，因而不是唯一分解整環(huán)。例如取則容易驗證(a,b)就不存在。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)在非唯一分解環(huán)內(nèi)，通常的一些代數(shù)方程的性質(zhì)不一定成立。例如，容易驗證在Z12中，[2],[4],[8],[10]都是二次方程x2-4=0的根，即二次方程x2-4=0的根不只有兩個根而有4個根。但是，在唯一分解整環(huán)內(nèi)容易證明有如下結(jié)論：5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)引理5.3.5：在唯一分解整環(huán)內(nèi)，n次代數(shù)方程最多有n個根。利用這一性質(zhì)可以證明以下定理。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)定理5.3.6：域的乘群的任何有限子群是循環(huán)群。證明：設G是域F的有限子乘群，令m是G中所有元素的階的最小公倍數(shù)，由拉格朗日定理：G中任意元素的階均為群G的階的因子，因而若設c為G中階為m的元素（為什么可以這樣假設？理由見下一章），則m≤|G|另一方面，G中的元素均滿足方程xm-l=0，而多項式f(x)=xm-l

F[x]在F上最多有m個不同的根，故|G|≤m，由此得|G|=m，所以G=(c)。5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)下面介紹兩種特殊的唯一分解整環(huán)：1、主理想整環(huán)（PrincipalIdealDomain,PID）2、歐幾里得整環(huán)5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)1、主理想整環(huán)如果理想中的一切元素都是由一個元素的倍數(shù)及其線性組合生成，則稱這個理想為主理想，具體定義如下：5.3整環(huán)中的因子分解唯一分解整環(huán)1、主理想整環(huán)定義5.3.5：在可換環(huán)R中，由一個元素a

R所生成的理想I(a)={ra+na|r

R,n

Z}稱為環(huán)R的一個主理想，稱元素a為該主理想的生成元。注：運算ra表示環(huán)中的乘法運算，na表示加法的冪次運算。5.3整環(huán)中的因子分解唯一