2009~2013年高考真題備選題庫(kù)第4章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1節(jié)平面向量的概念及其線(xiàn)性運(yùn)算考點(diǎn)平面向量的概念與線(xiàn)性運(yùn)算1．（2013廣東，5分）設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：本題主要考查平面向量知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、推理論證能力．顯然①②正確；對(duì)于③，當(dāng)μ＜|a|sina，b時(shí)，不存在符合題意的單位向量c和實(shí)數(shù)λ，③錯(cuò)；對(duì)于④，當(dāng)λ＝μ＝1，|a|＞2時(shí)，易知④錯(cuò)．答案：B2．（2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，5分）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則·＝________.解析：本題考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，是基本題目，意在考查考生的運(yùn)算求解能力．選向量的基底為，，則＝－，＝＋eq\f(1,2)，那么·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)))·(－)＝2.答案：23（2013江蘇，5分）．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．解析：本題考查向量的基本定理、向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力．＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)(＋)＝－eq\f(1,6)＋eq\f(2,3)，所以λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．（2010安徽，5分）設(shè)向量a＝(1,0)，b＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直解析：|a|＝eq\r(12＋02)＝1，|b|＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)；a·b＝1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)；(a－b)·b＝a·b－|b|2＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，故a－b與b垂直．答案：D5.（2010山東，4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1)，此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0)，圓在x軸上沿正向滾動(dòng)，當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于(2,1)時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析：如圖，作CQ∥x軸，PQ⊥CQ，Q為垂足．根據(jù)題意得劣弧Deq\x\to(P)＝2，故∠DCP＝2弧度，則在△PCQ中，∠PCQ＝(2－eq\f(π,2))弧度，|CQ|＝cos(2－eq\f(π,2))＝sin2，|PQ|＝sin(2－eq\f(π,2))＝－cos2，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2－|CQ|＝2－sin2，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1＋|PQ|＝1－cos2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2－sin2，1－cos2)，此即為向量的坐標(biāo)．答案：(2－sin2,1－cos2)6．如圖，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則·＝________.解析：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則·＝·2＝22＋2·＝2×32＋0＝18.答案：187．（2011浙江，4分）若平面向量α，β滿(mǎn)足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為eq\f(1,2)，則α與β的夾角θ的取值范圍是________．解析：對(duì)于以向量α，β為鄰邊的平行四邊形的面積S0＝eq\f(1,2)|α||β|·sin〈α，β〉×2＝|β|sin〈α，β〉＝eq\f(1,2)，因此sin〈α，β〉＝eq\f(1,2|β|)∈[eq\f(1,2)，1]，因此α與β的夾角θ的取值范圍是[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]．答案：[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]8．（2010浙江，4分）已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．解析：由于α⊥(α－