2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征（二）二、用樣本的標準差估計總體的標準差

數據的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述。

為了表示樣本數據的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差或者它的算術平方根.（1）方差：設在一組數據，x1，x2，…，xn中，各數據與它們的平均數x的差的平方分別是

來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差，一組數據方差越大，則這組數據波動越大。那么我們用它們的平均數，即（2）標準差：我們把數據的方差的算術平方根叫做這組數據的標準差，它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量。計算標準差的算法：例1.計算數據5，7，7，8，10，11的標準差.例2.從某燈泡廠生產的一批燈泡中隨機地抽取10只進行壽命測試，得數據如下（單位：h）:1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496使用函數型計算器或計算機的Excel軟件求樣本的平均數x和樣本的標準差。解：打開Excel工作表，在一列輸入數據，如將10個數據輸入A1到A10單元格中.

（1）利用求和∑計算它們的和；（2）用函數AVERAGE(A1:A10)求它們的平均數；（3）用函數VARPA(A1:A10)求它們的方差；（4）用開方函數Sqrt(方差)計算它們的標準差.例3.從甲、乙兩名學生中選拔一人乘積射擊比賽，對他們的射擊水平進行測試，兩人在相同的條件下各射擊10次，命中環(huán)數如下﹕甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，8，4；乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.（1）計算甲、乙兩人射擊命中環(huán)數的平均數和標準差；（2）比較兩人的成績，然后決定選擇哪一人參賽.解：（1）計算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲、乙兩人平均成績相等，但s乙<s甲，這表明乙的成績比甲的成績穩(wěn)定一些，從成績的穩(wěn)定性考慮，可以選乙參賽。（3）標準差和頻率直方圖的關系

從標準差的定義可知，如果樣本各數據都相等，則標準差得0，這表明數據沒有波動幅度，數據沒有離散性；若個體的值與平均數的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數據的波動幅度也很大，數據的離散程度很高，因此標準差描述了數據對平均數的離散程度。AB樣本數據3333311355平均數33標準差01.79頻率分布直方圖數據沒有離散度數據離散程度很高的平均數為，（2）新數據方差為

．，方差仍為．（1）新數據的平均數為，方差為．的平均數為（3）新數據如果數據的平均數為，方差為，則方差的運算性質：練習：（3）若k1,k2,…,k8的方差為3，則2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的方差為________43212AB（7）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均值和方差分別為________9.5，0.016五、回顧小結：1．用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：用樣本平均數估計總體平均數。用樣本方差、標準差估計總體方差、標準差。樣本容量越大，估計就越精確。2．方差、標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小，反映了一組數據變化的幅度．1．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產量如下（單位：t/hm2），試根據這組數據估計哪一種水稻品種的產量比較穩(wěn)定。品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8解：甲品種的樣本平均數為10，樣本方差為[(9.8－10)2+(9.9－10)2+(10.1－10)2+(10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.乙品種的樣本平均數也為10，樣本方差為[(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+(9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.

因為0.24>0.02，所以，由這組數據可以認為甲種水稻的產量比較穩(wěn)定。2．為了保護學生的視力，教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差。天數151~180181~210211~240241~270271~300301~330331~360361~390燈泡數1111820251672解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)這些組中值的方差為[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16×(315－2