第第頁專題07規(guī)律探究一（過關）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．觀察下列算式：12?02=1+0=1;42?32=4+3=7若字母n表示正整數，請把第n個等式用含n的式子表示出來：．【答案】n【詳解】解：觀察式子可發(fā)現n2故答案為：n22．觀察2，12，27，…，發(fā)現這組數是按一定規(guī)律排列的．如果將第1個數記為a1，第2個數記為a2，…，第n個數記為an，這組數滿足1【答案】2【詳解】解：由題意可得：a1=2，a2∵1a∴11∴a4∵1a∴127+故答案為：2133．觀察一組按規(guī)律排列的代數式：a+2b，a2?2b3,【答案】a【詳解】解：∵當n為奇數時，?1n+1當n為偶數時，?1n+1∵每個式子的第一項中a的次數是式子的序號；第二項中b的次數是序號的2倍減1，∴第n個式子是an故答案為：an4．觀察下列等式：11×4=131?14；14×7=【答案】2024【詳解】解：1＝1＝1＝1＝20246075故答案為：202460755．在下面各正方形中的四個數之間都有一定的規(guī)律，根據此規(guī)律，m的值是．

【答案】65【詳解】解：由前四個正方形內數的規(guī)律可知：每個正方形左上、左下、右上三個數是連續(xù)的三個自然數，而每個正方形右下的數=左上的數×左下的數+右上的數，故m=7×8+9=65．故答案為：65．6．觀察下列數，按規(guī)律在橫線上填上適當的數；0，?3，8，?15，24，?35，．【答案】48【詳解】解：觀察一組數：0，?3，8，?15，24，?35，…發(fā)現規(guī)律：第n個數是?1n+1所以第7個數是?17+1故答案為：48．7．定義：若a是不為1的有理數，則11?a稱為a的差倒數．如2的差倒數為11?2=?1．現有若干個數，第一個數記為a1，a2是a1的差倒數，a3是【答案】?【詳解】∵a1∴a2a3a由此可以看出?13，34因為2023÷3=674?1，，所以a2023故答案為：?18．觀察下列數：1x2，?1x3，1【答案】?【詳解】解：由1x2，?1x3第n個數是：(?1)n則第十個數為(?1)10+1?1x10+1故答案為：?19．觀察下列一組數：12、35、12、717、926……，它們是按一定規(guī)律排列的，那么第11個數是【答案】21122【詳解】觀察數據可知，分子是從1開始連續(xù)的奇數，分母是從1開始連續(xù)自然數的平方多1，則第n個數是2n?1n第11個數是2×11?111故答案為：21122；2n?110．已知：20=1，21=2，22=4，23【答案】7【詳解】解：∵20=1，21=2，22∴201+2+4+6+8∴20+2故答案為：7．11．我國古代數學的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中，用如圖的三角形解釋二項式a+bn的展開式的各項系數，此三角形稱為“楊輝三角”．觀察如圖的楊輝三角，按照前面的規(guī)律，則a+b5的展開式中從左起第三項的系數為

【答案】10【詳解】解：由“楊輝三角”可得：下一行最左邊和最右邊是1，中間數是上一行上面相鄰兩數的和，所以a+b5所以從左起第三項的系數為10，故答案為：10．12．觀察這組數：23,69,【答案】n【詳解】解：第一個數為1×23第二個數為2×33×3第三個數為3×43×3×3第四個數為4×53×3×3×3……，∴以此類推可知第n個數的分母是n個3相乘，分子是nn+1，即這一組數的第n個數是n故答案為：nn+113．觀察下列各式：21×322……請利用你所得結論，化簡代數式21×3+2【答案】3【詳解】∵21×3=11?∴2∴2==1+=3故答案為：3n14．觀察如圖所示圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第674個圖形擺出的圖案應該用個五角星．第1個圖形

第2個圖形

第3個圖形

第4個圖形【答案】2023【詳解】解：如圖所示：第1個圖案有4個五角星，第2個圖案有7個五角星，第3個圖案有10個五角星，第4個圖案有13個五角星，∵4=4+3×0；7=4+3×1；10=4+3×2；13=4+3×3．∴第n個圖案有4+3×n?1∴3×674+1=2023，即第674個圖形擺出的圖案應該用2023個五角星．故答案為：2023．15．用火柴棒連續(xù)擺，擺一個這樣的正方形需要4根火柴棒，如果像……這樣一直擺下去，那么連擺20個這樣的正方形需要()根火柴棒；用100根火柴棒可以連擺()個這樣的正方形．【答案】6133【詳解】結合圖形可知：擺1個正方形需要1+3×1根火柴，擺2個正方形需要1+3×2根火柴，擺3個正方形需要1+3×3根火柴，據此類推可知，擺n個正方形需要1+3n根火柴，當n=20時，需要的火柴為：1+3n=61（根）；當1+3n=100時，解得：n=33，故答案為：61，33．16．如圖，搭第一個圖形需要3根火柴棒．

（1）搭一搭，填一填：三角形個數12345…火柴棒根數…（2）搭40個這樣的三角形需要根火柴棒．（3）搭n個這樣的三角形需要根火柴棒．【答案】357911812n+1/1+2n【詳解】解：（1）由圖可知，每增加一個三角形，需要增加2根火柴棒，故填表如下：三角形個數12345…火柴棒根數357911…故答案為：3；5；7；9；11．（2）搭40個這樣的三角形需要3+2×40?1故答案為：81．（3）搭n個這樣的三角形需要3+2n?1故答案為：2n+1．17．如圖，將若干個三角形、正方形和圓按一定規(guī)律從左向右排列，那么第2023個圖形是．

【答案】○【詳解】解：觀察圖形的變化可知：從第3個圖形開始，每6個圖形一組進行循環(huán)，即2023?2÷6=336…5所以第2023個圖形是圓．故答案為：○．18．用棋子擺成如圖所示的“小房子”，則圖⑤需要枚棋子，圖n需要枚棋子（用含n的代數式表示）．

【答案】29(6n?1)【詳解】解：∵第①個圖形中棋子的數量為：5=2×6?7，第②個圖形中棋子的數量為：11=3×6?7，第③個圖形中棋子的數量為：17=4×6?7，第④個圖形中棋子的數量為：23=5×6?7，∴第⑤個圖形中棋子的數量為：6×6?7=29，第n個圖形中棋子的數量為：6(n+1)?7=6n?1．故答案為：29；(6n?1)．19．你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，反復幾次，就把這根很粗的面條拉成許多細的面條，如下面的草圖所示：

這樣捏合到第次后可拉出128根細面條．【答案】7【詳解】解：∵第一次捏合可拉出21第二次捏合可拉出22第三次捏合可拉出23……，第n次捏合可拉出2n令2n解得n=7．故答案為：7．20．活動二：按下圖方式，用火柴棒搭三角形

搭1個三角形需要火柴棒根；搭2個三角形需要火柴棒根；搭3個三角形需要火柴棒根；

搭10個三角形需要火柴棒根；搭100個三角形需要火柴棒根；【答案】35721201【詳解】解：觀察圖形可知搭1個三角形需要火柴棒1+2=1+2×1=3根，搭2個三角形需要火柴棒1+2+2=1+2×2=5根，搭3個三角形需要火柴棒1+2+2+2=1+2×3=7根，…搭10個三角形需要火柴棒1+2×10=21根，搭100個三角形需要火柴棒1+2×100=201根，故答案為：3，5，7，21，201．二、解答題21．找規(guī)律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作1，12+(2)如圖②，把正方形看作1，12+(3)如圖③，把正方形看作1，12+14(4)計算：12+(5)計算：12+【答案】(1)3(2)7(3)116，(4)31(5)511【詳解】（1）解：如圖①，把正方形看作把正方形看作1，12故答案為：34（2）解：如圖②，把正方形看作把正方形看作1，12故答案為：78（3）解：如圖③，把正方形看把正方形看作1，12+故答案為：116，15（4）解：12故答案為：3132（5）解：12故答案為：51151222．如圖棱長為a的小正方體，按照下圖的方法繼續(xù)擺放，自上而下分別叫第一層，第二層，……，第n層，若第n層的小正方體的個數記為S，解答下列問題：

(1)填寫表格：n1234…S13______________________________…(2)研究上表可以發(fā)現S隨n的變化而變化，請你用式子來表示S與n的關系．【答案】(1)6；10(2)S=【詳解】（1）解：觀察可知，第3層有6個小正方體，第4層有10個小正方體，故答案為：6，10；（2）解：第一層有1個，第二層有1+2個，第三層有1+2+3個，以此類推，第n層有1+2+3+…+n=1∴S=123．如圖，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據圖案組成的規(guī)律回答下列問題：(1)圖案④中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；(2)圖案n中黑色五邊形有______個，白色五邊形有______個；（用含n的式子表示）(3)圖案n中的白色五邊形可能為2023個嗎？若可能，請求出n的值；若不可能，請說明理由．【答案】(1)4，13(2)n，3n+1(3)可能，n=674【詳解】（1）∵第1個圖形中黑色五邊形的個數為1，白色五邊形的個數為4；第2個圖形中墨色五邊形的個數為2，白色五邊形的個數為7=4+3=4+3×1，第3個圖形中墨色五邊形的個數為3，白色五邊形的個數為10=4+3+3=4+3×2；∴第4個圖形中界色五邊形的個數為4，白色五邊形的個數為4+3×3=13．（2）由（1）可得：第n個圖形中黑色五邊形的個數為n，白色五邊形的個數為4+3n?1（3）可能，理由如下：由題意得3n+1=2023，解得n=674，故圖案n中的白色五邊形可能為2023個．24．如圖，第1個圖中有1顆棋子，第2個圖中有5顆棋子，第3個圖中有9顆棋子，第4個圖中有13顆棋子，…．，以此類推．(1)第6個圖中有______棋子；(2)用含a的代數式表示第a個圖中棋子的顆數；(3)第多少個圖中有505顆棋子？【答案】(1)21(2)4a?3(3)127【詳解】（1）解：第一個圖有1個棋子；第二個圖有1+4=5個棋子；第三個圖有1+4+4=9；．．．第六個圖有1+4×5=21；故答案為：21；（2）由（1）中的規(guī)律可得第a個圖中棋子的顆數為1+4（3）由（2）可得4a?3=505，解得：a=127，∴第127個圖中有505顆棋子．25．三角形有3個頂點，如果在它的內部再畫n個點，并以這n+3個點為頂點畫三角形，那么最多可以剪得多少個這樣的三角形？【問題探究】我們可以從n=1，n=2，n=3等具體的、簡單的情形入手，探索最多可以前得的三角形個數的變化規(guī)律．三角形內點的個數圖形最多剪出的小三角形個數1325…7………【問題解決】(1)當三角形內有4個點時，最多剪得的三角形個數為______；(2)你發(fā)現的變化規(guī)律是：三角形內的點每增加1個，最多剪得的三角形增加______個；(3)猜想：當三角形內點的個數為n時，最多可以剪得______