選修一第三章《圓錐曲線的方程》提高訓(xùn)練(16)一、單選題1．如圖，橢圓的長軸為，橢圓的短軸為，且與的離心率相同，直線與，相交于四點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為，，，，若，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若，則該橢圓的離心率不可能是（）A． B． C． D．3．下列三個(gè)圖中的多邊形均為正多邊形，圖①，②中，是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以圖中的，為焦點(diǎn)，設(shè)圖①，②，③中的雙曲線的離心率分別為，，，則（）A． B．C． D．4．已知是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），的周長為12，則（）A．4 B． C． D．55．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)（，的橫坐標(biāo)不相等），弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則（）A．14 B．16 C．18 D．206．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，則（）A．3 B．2 C． D．17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則（）A． B． C．5 D．8．已知，是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A． B．C． D．9．已知點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A． B．C． D．10．在正方體中，為側(cè)面所在平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)到平面的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為（）A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線11．已知，是雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值為（）A． B．6 C． D．512．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，直線與交于兩點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．16 B．14 C．12 D．1013．橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，過垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，求橢圓的離心率為（）A． B． C． D．14．已知A是雙曲線的左頂點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，G是的重心，若，則為（）A． B． C． D．與的取值有關(guān)15．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且.若，則（）A． B． C． D．16．定長為6的線段AB兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，記線段AB的中點(diǎn)為M，則M到y(tǒng)軸距離的最小值為（）A． B． C．2 D．17．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，過且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，，則的離心率為（）A． B． C． D．18．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，以為直徑的圓交直線于點(diǎn)B（不同于原點(diǎn)O），設(shè)的面積為S．若，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧上不同于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線交拋物線于點(diǎn)，則（）A．點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是B．等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離C．圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2D．周長的取值范圍是20．已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，的坐標(biāo)分別為，，且四邊形的面積為，四邊形內(nèi)切圓的周長為，則雙曲線的方程可以為（）A． B．C． D．21．已知曲線，下列說法正確的是（）A．若，則為雙曲線B．若且，則為焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．若，，則不可能表示圓D．若，，則為兩條直線22．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為，且，雙曲線和橢圓有相同焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率為，為曲線與的一個(gè)公共點(diǎn).若，則下列各項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．三、雙空題23．已知雙曲線，（，）的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則直線的斜率是___________，雙曲線的漸近線方程為___________.四、填空題24．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，斜率為的直線過，且與橢圓的交點(diǎn)為，，與軸的交點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)．若，則橢圓的離心率的取值范圍為______．25．已知（，2，3，，2021）是拋物線上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，若，則______.26．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______．27．在平面直角坐標(biāo)系中，為雙曲線右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)到直線的距離大于恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.28．雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過作直線的垂線交雙曲線右支于點(diǎn)P，若，則____________．29．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，．是圓上不同于，兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓交于點(diǎn)．若直線斜率的取值范圍是，則直線斜率的取值范圍是______．30．拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，若△為等邊三角形，則__________．31．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于某焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，，兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離與口徑的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線的焦徑比等于，那么饋源方向角的正切值為_______.五、解答題32．若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之差的絕對(duì)值為定值，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.33．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，，，直線交線段于點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線，使得交于，兩點(diǎn)，且恰是△的垂心？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．34．已知橢圓的方程為，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且與有相同的離心率，過的右頂點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與兩橢圓，交于四點(diǎn)（依次為，，，），如圖所示，試證明．35．某海面上有，兩個(gè)觀測點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)正東方向處．經(jīng)多年觀察研究，發(fā)現(xiàn)某種魚群（將魚群視為點(diǎn)）洄游的路線是以，為焦點(diǎn)的橢圓．現(xiàn)有漁船發(fā)現(xiàn)該魚群在與點(diǎn)，點(diǎn)距離之和為處．在點(diǎn)，，所在的平面內(nèi)，以，所在的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的方程；（2）某日，研究人員在，兩點(diǎn)同時(shí)用聲吶探測儀發(fā)出信號(hào)探測該魚群（探測過程中，信號(hào)傳播速度相同且魚群移動(dòng)的路程忽略不計(jì)），，兩點(diǎn)收到魚群的反射信號(hào)所用的時(shí)間之比為，試確定此時(shí)魚群的位置（即點(diǎn)的坐標(biāo)）．36．如圖所示，地在地的正東方向處，地在地的北偏東30°方向處，河流的沿岸（曲線）上任意一點(diǎn)到的距離比到的距離遠(yuǎn)．現(xiàn)要在曲線上選一處建一座碼頭，向，兩地轉(zhuǎn)運(yùn)貨物．經(jīng)測算，從到，兩地修建公路的費(fèi)用都是萬元/，求修建這兩條公路的最低總費(fèi)用．37．如圖，在面積為1的中，，．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出以，為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的橢圓方程．38．（1）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的最大值；（2）已知，是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值．39．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，，，，分別為橢圓的左、右、下、上頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，若為鈍角，求該橢圓的離心率的取值范圍．40．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，求該橢圓的離心率的取值范圍．41．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.42．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)到軸的距離為，且，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程：設(shè)動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，為上不同于，的點(diǎn)，若直線，分別與軸相交于，兩點(diǎn)，且，證明：動(dòng)直線恒過定點(diǎn).43．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)（，）且不垂直于x軸y軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓C外一點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的方程；（2）是否為定值？若是定值，求出該定值，并給出證明；若不是定值，請(qǐng)說明理由．44．已知拋物線，（）的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的方程.（2）直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，以為直徑的圓，恒過原點(diǎn).45．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，直線與橢圓相交于另一點(diǎn).（1）求的周長；（2）在軸上任取一點(diǎn)，直線與橢圓的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓上，記與的面積分別為，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).46．如圖，曲線由上半橢圓和部分拋物線連接而成，與的公共點(diǎn)為，，其中的離心率為.（1）求，的值.（2）過點(diǎn)的直線與，分別交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)，），是否存在直線，使得以為直徑的圓恰好過點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.47．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)l為圓x2＋y2＝4上動(dòng)點(diǎn)T(橫坐標(biāo)不為0)處的切線，P是l與直線的交點(diǎn)，Q是l與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)T在線段PQ上，求證：以PQ為直徑的圓過定點(diǎn)．48．已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）斜率為l的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為，求△的面積．49．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線l與拋物線C相切于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O與直線l相切于點(diǎn)E，設(shè)，求實(shí)數(shù)λ的值．50．已知雙曲線C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，且，雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）P是雙曲線C上一點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求的面積．【答案與解析】1．D【解析】求出橢圓方程，根據(jù)，得出和的斜率相等，即可建立關(guān)系求解.在橢圓中，，所以，得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意知，將與和的方程分別聯(lián)立，得，，又，，所以和的斜率相同，所以，解得．故選：D.2．A【解析】利用得到關(guān)于，的不等式，轉(zhuǎn)化過程中利用橢圓的定義、橢圓有界性，求離心率范圍．設(shè)．由點(diǎn)在橢圓上，則，即．由，則，解得．由題意知，即．由，可得，即，顯然成立．由，可得，則．又，∴.故選：A．3．D【解析】根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用雙曲線的定義，求得，以及，分別求出圖示①②③中的雙曲線的離心率，，，然后再判斷，，的大小關(guān)系．解：在圖①中，連接，設(shè)，∵，∴，∴，∴，在圖②中，連接，，設(shè)，∴，解得，又∵，∴，解得，∴，∴，在圖③中，連接，，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∴.故選：D.4．A【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，又可得是等邊三角形，根據(jù)三角形的周長，可求.因?yàn)?，所?又是拋物線上一點(diǎn)，所以，則是等邊三角形.又的周長為12，所以，故選：A5．D【解析】利用點(diǎn)差法，得到弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，再結(jié)合拋物線的定義即求.設(shè)，，弦的中點(diǎn)為，，則，所以，所以，則，所以弦的垂直平分線為．令，則，所以．又，所以．故選：D．6．C【解析】方法一（幾何法）：根據(jù)拋物線的概念，結(jié)合直角三角形相關(guān)知識(shí)和已知條件即可求解；方法二（代數(shù)法）：設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、拋物線的概念和已知條件即可求解.方法一：如圖，分別過點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．由已知條件及拋物線的定義，得，，所以．在中，因?yàn)?，，所以，所以，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即．方法二：依題意，直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將其代入拋物線的方程，得．設(shè)，，則．因?yàn)椋?，即，，所以，解得．故選：C.7．A【解析】根據(jù)橢圓定義及正弦定理即可求解.由題意，知，，所以．故選：A8．A【解析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，再由橢圓的定義可得出點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，由橢圓的方程可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：由題意，可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為6．∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，∴，，，∴其軌跡方程為．故選：A．9．A【解析】由，根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，為直角三角形，且．由雙曲線的定義可得，，又，可得，再由，可得到，即得到離心率的取值范圍．由得，，根據(jù)三角形的性質(zhì)可知，為直角三角形，且，．由雙曲線的定義可得，，又，可得．所以可化為，即，而，，解得，又，．故選：A．10．D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到直線的距離，再根據(jù)拋物線的定義可得選項(xiàng).解：正方體中平面，∴等于點(diǎn)直線的距離.∵平面平面，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到直線的距離.∵點(diǎn)到平面的距離與到直線的距離相等，∴MB等于點(diǎn)到直線的距離.根據(jù)拋物線的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線.故選：D.11．C【解析】根據(jù)雙曲線方程求出，的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則，由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可求解.由雙曲線：可得：，，所以，可得，所以，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，由可得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，，所以的最小值為，故選：C.12．A【解析】設(shè)的方程為，，，直線方程代入拋物線方程用韋達(dá)定理是，由弦長公式求得弦長，由垂直得方程，同理可得，求出，應(yīng)用基本不等式可得最小值．由已知垂直于軸是不符合題意，所以的斜率存在設(shè)為，的斜率為，由題意有，設(shè)，，，，此時(shí)直線方程為，取方程，得，∴，同理得由拋物線定義可知，當(dāng)且僅當(dāng)（或）時(shí)，取得等號(hào)；故選：A(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．13．A【解析】由題意，可得，將代入橢圓可得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，用參數(shù)表示，即得解由橢圓方程，可知：過垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，因此將代入橢圓，可得（舍負(fù)）故選：A14．B【解析】由題意，，，可得，從而可求出答案．解：因?yàn)镚是的重心，所以，又因，所以，，，，又，，．故選：B．15．B【解析】利用橢圓和雙曲線的定義把，用長半軸長和實(shí)半軸長表示，再用余弦定理求得與的關(guān)系，從而得的等式，結(jié)合已知可求得．設(shè)，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，焦點(diǎn)為，不妨設(shè)在第一象限，則，解得，中由余弦定理得，即，所以，，，又，，所以，，所以．故選：B．16．C【解析】利用拋物線的定義結(jié)合梯形中位線公式得到M到y(tǒng)軸距離，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)即得到M到y(tǒng)軸距離的最小值．解：拋物線的焦點(diǎn)為F，則拋物線的準(zhǔn)線，設(shè)在準(zhǔn)線上的垂足分別為,連接,如圖所示.

所求的距離

因?yàn)閽佄锞€的通徑為,所以定長為6的線段AB兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)時(shí)可以經(jīng)過焦點(diǎn),此時(shí)三點(diǎn)共線，，，

則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為2，故選：.17．B【解析】求出的坐標(biāo)后利用垂直關(guān)系可得的關(guān)系，從而可求離心率.由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)在軸的上方，因?yàn)檫^且垂直于軸，故，所以直線，整理得到，故.因?yàn)椋?，整理得到，所以即，?故選：B.18．D【解析】由題可得的三邊長，再結(jié)合三角形面積公式及向量數(shù)量積公式可得的關(guān)系式，即求.依題意，得，∴點(diǎn)A到直線的距離，在中，∵，，∴，∵，∴，其中，∴，∴，即，得，∴或（舍）∴離心率為.故選：D.19．BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：聯(lián)立拋物線與圓的方程求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，結(jié)合已知條件即可求解；對(duì)于BC選項(xiàng)：根據(jù)拋物線定義及性質(zhì)即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)：首先表示出的周長，然后結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍以及拋物線定義即可求解.∵圓的圓心為，半徑，∴與軸正半軸的交點(diǎn)為，∵拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，得，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)，故A錯(cuò)誤；由拋物線的定義可得等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，故B正確；易知圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，故C正確；的周長為，故D正確.故選：BCD.20．AB【解析】由四邊形的面積為，可得，又由內(nèi)切圓的周長可以求出內(nèi)切圓的半徑，從而利用內(nèi)切圓半徑×周長÷2=四邊形的面積可求出，進(jìn)而得到關(guān)于a，b的兩個(gè)方程，聯(lián)立求解即可得答案．解：因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，所以，整理得，記四邊形內(nèi)切圓半徑為r，則，得．又，所以，又，聯(lián)立可得，或，所以雙曲線的方程為或．故選：AB.21．AB【解析】由，的取值，根據(jù)橢圓、雙曲線、圓與直線方程的特征，判斷曲線表示的形狀即可．若，則為焦點(diǎn)在橫軸或縱軸上的雙曲線，所以正確；若且，可得，，所以為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以B正確；若，，當(dāng)，時(shí)，是單位圓，所以C不正確；若，，則為雙曲線，所以D不正確．故選：AB．22．BD【解析】在橢圓中根據(jù)為等腰直角三角形得，進(jìn)而求得，在雙曲線中結(jié)合題意可得，進(jìn)而求出，從而結(jié)合選擇逐項(xiàng)判斷即可求出結(jié)果.因?yàn)榍?，所以為等腰直角三角?設(shè)橢圓的半焦距為，則，所以.在焦點(diǎn)三角形中，，設(shè)，，雙曲線的實(shí)半軸長為則，故，故，所以，即，故，，，，故選：BD.23．【解析】由題意，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，由可得，代入雙曲線方程，可得，因此，即得解如圖所示，不妨設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，，由于代入進(jìn)入，可得，漸近線方程為故答案為：，24．【解析】設(shè)直線為結(jié)合已知，求坐標(biāo)，將其代入橢圓方程整理得，再由題設(shè)k的范圍求橢圓的離心率的取值范圍.設(shè)直線的方程為，則，．又在橢圓上，∴，即，變形得，于是，∴，解得．又，∴，從而得，故橢圓的離心率的取值范圍為．故答案為：25．2021【解析】由拋物線方程得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，由向量等式求得，最后結(jié)合拋物線定義得到答案.設(shè)（，2，3，…，2021），因?yàn)槭菕佄锞€上的點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線為：.因此，所以，即.又由拋物線的定義，可得，所以.故答案為：202126．【解析】根據(jù)雙曲線定義，設(shè)，則利用基本不等式的性質(zhì)，，根據(jù)等號(hào)成立條件，求得離心率取值范圍.設(shè)，則，由雙曲線的定義知，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，，，此時(shí)，解得，又，∴，故答案為：27．【解析】求出直線與漸近線的距離，即得解.雙曲線的漸近線方程為，直線與漸近線平行，故兩平行線間的距離.由點(diǎn)到直線的距離大于恒成立，得，故實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：28．【解析】結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出，進(jìn)而求得，結(jié)合雙曲線的定義得到，在中，結(jié)合余弦定理得到的齊次式，進(jìn)而可以求出結(jié)果.設(shè)作直線的垂線的垂足為，過點(diǎn)作于，，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，根?jù)雙曲線的定義得，在中，,所以，因此，即，故答案為：.29．【解析】設(shè)，由已知求得，再由圓的性質(zhì)得，所以．由此可求得答案.由題可知，，設(shè)，則，，所以．因?yàn)?，所以，即①因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，所以．②結(jié)合①②可知，．因?yàn)?，所以．故答案為?30．6【解析】由拋物線方程得，將代入雙曲線可求，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理列方程求.由題設(shè)，，令代入得，∴，又△為等邊三角形，則，∴由勾股定理知：，解得，又，∴.故答案為：631．【解析】設(shè)拋物線方程為，由已知得，根據(jù)直線的斜率公式求得，再由正切的二倍角公式可求得答案.設(shè)拋物線方程為，則，又，所以，所以，直線的斜率，所以，所以.故答案為：.32．答案見解析.【解析】計(jì)算，根據(jù)與的大小分類討論，可求出動(dòng)點(diǎn)軌跡.由題意得.①當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線，方程為；②當(dāng)時(shí)，由雙曲線的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)為的雙曲線，其中，，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；③當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為兩條射線，其方程為與.33．（1）；（2）存在，的方程為．【解析】（1）法一：由題設(shè)求、、、坐標(biāo)，用橢圓參數(shù)表示的橫坐標(biāo)，根據(jù)得；法二：設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性易得，進(jìn)而有，即可得，再由橢圓參數(shù)關(guān)系及已知求出參數(shù)，寫出橢圓方程.（2）由題設(shè)有且，可設(shè)為，，，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求、，又結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)m并驗(yàn)證，即可判斷存在性.（1）法一：設(shè)，又，，，∴直線的方程為，直線的方程為．由，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由，知：，則，即，解得，法二：如圖，設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接．由橢圓的對(duì)稱性，得，則，即．設(shè)，則，，可得，有，∴．由，即，得，∴，，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）知，，則直線的斜率．假設(shè)存在滿足題意的直線，則．設(shè)的斜率為，則，所以．設(shè)的方程為，，，由，得，則，．由，得．又，即，又，，∴，又，，∴，即，整理得，解得或．當(dāng)時(shí)，或與重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，滿足，∴存在直線，使得是△的垂心，的方程為．34．（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題設(shè)得橢圓離心率為且過求出橢圓參數(shù)，進(jìn)而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，，，的坐標(biāo)，將代入，，應(yīng)用韋達(dá)定理求、，即可證結(jié)論.（1）由橢圓方程知：的離心率為．設(shè)橢圓的方程為，則，故，∴橢圓的方程為．由題意，橢圓過點(diǎn)，將其代入上式，可得，得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)，，，的坐標(biāo)依次為，，，．將代入橢圓的方程，得，∴；將代入橢圓的方程，得，∴．故，可得線段，的中點(diǎn)相同，∴．35．（1）；（2）或．【解析】（1）由題意易知，，即可寫出橢圓方程.（2）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)處聲波的反射性質(zhì)知：，結(jié)合已知即可求坐標(biāo).（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由，，則，，，∴橢圓的方程為．（2）易知，，由，，∴，．設(shè)，則，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．36．萬元．【解析】根據(jù)題意求得點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可得，計(jì)算即可得解.如圖所示，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．連接，．∵，∴點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支．∵，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，又總費(fèi)用為（）萬元，∴，∴修建這兩條公路的最低總費(fèi)用為萬元．37．．【解析】通過待定系數(shù)法，設(shè)橢圓方程為，，根據(jù)條件可知的直線方程為，聯(lián)立可求得，由面積公式可得，所以，，所以，求得的值即可得解.以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)所求橢圓的方程為，，則，．設(shè)，依題意知，．所以，解得，即．又，所以．于是，，所以，則，所以．故所求橢圓的方程為．38．（1）100；（2）的最大值為，最小值為．【解析】（1）利用橢圓定義和基本不等式求的最值；（2）求的最值時(shí)，利用橢圓的定義將其轉(zhuǎn)化為求的最值，顯然當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最值．（1）∵，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最大值為100．（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，可化為，由已知，得，∴，∴．①當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最大值是．②當(dāng)時(shí)，有，等號(hào)成立時(shí)，最小，此時(shí)點(diǎn)是射線與橢圓的交點(diǎn)，的最小值是．綜上，可知的最大值為，最小值為．39．．【解析】根據(jù)為鈍角轉(zhuǎn)化為，從而得到關(guān)于，的不等式，即可求解.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，．由題意，得，，，則，．因?yàn)闉橄蛄颗c的夾角，且為鈍角，所以，所以．又，所以，即，解得或，因?yàn)?，所以，即該橢圓的離心率的取值范圍為．40．．【解析】根據(jù)橢圓的定義和余弦定理可得，再由基本不等式得出，根據(jù)離心率的范圍.解：在中，，由余弦定理，可得，因?yàn)椋裕Y(jié)合基本不等式，得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即，可得．又，所以橢圓離心率的取值范圍為．方法點(diǎn)睛：若點(diǎn)是橢圓上的任一點(diǎn)，則易證當(dāng)點(diǎn)落在短軸端點(diǎn)（或）處時(shí)最大．因此本題也可以利用求解，即，即．41．（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn)為，由求解；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，，，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，轉(zhuǎn)化為，求解；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由為定值判斷即可.（1）由題意可知，，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立，消去，得.因?yàn)樵跈E圓內(nèi)部，所以，所以，.則，，，，，所以，，則.∴，即.設(shè)，是的兩根，∴.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，聯(lián)立，得.不妨設(shè)，，則，，.此時(shí)為定值，不存在最大值與最小值.綜上所述：.42．；證明見解析.【解析】根據(jù)題意可判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而寫出方程即可；設(shè)，，確定直線，的斜率存在，進(jìn)而列出直線方程并確定，兩點(diǎn)，利用寫出相應(yīng)方程，求得，與直線方程聯(lián)立即可求的結(jié)果.解：，且動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)非負(fù)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，曲線的方程為.由點(diǎn)在上，則，，由拋物線的方程，可設(shè)，，顯然直線的斜率存在，且斜率為，直線的方程為，，即，同理可得，，，，即，①顯然直線的斜率存在，且斜率為，直線的方程為，②將①式代入②式，整理得，③則無論為何值，恒為方程③的解，點(diǎn)恒在直線上，即動(dòng)直線恒過定點(diǎn).43．（1）；（2）是定值，定值為4，證明見解析．【解析】（1）由題意已知，由離心率可求得，由的關(guān)系即可求解；（2）由可知，設(shè)直線為，由直線與橢圓聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式即可求解（1）由題意可知橢圓的離心率，右焦點(diǎn)，故，，，所以，∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)直線為，則，整理得，設(shè)，，則，，又∵，，∴，整理得，即，將，代入上式得，整理得，解得，所以為定值，且定值為44．（1）；（2），.【解析】（1）分別求得橢圓和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到，即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)列方程組得到所以，，根據(jù)為直徑的圓，恒過原點(diǎn)，利用，列出方程，即可求解.（1）由題意，橢圓的右焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）因?yàn)橹本€與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)列方程組，可得，所以，，由，解得，以為直徑的圓，恒過原點(diǎn)，則，可得，又由，，可得，解得或，所以當(dāng)或時(shí)，為直徑的圓，恒過原點(diǎn).45．（1）；（2）最小值為；（3）或.【解析】（1）結(jié)合橢圓的定義即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，，進(jìn)而結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（3）等價(jià)于點(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的3倍，進(jìn)而設(shè)出，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)在橢圓上，解方程即可求出結(jié)果.（1）設(shè)橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，則，，.所以的周長為.（2）橢圓的右準(zhǔn)線為.設(shè)，，則，，，在時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.（3）因?yàn)闄E圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限內(nèi)，，則，，，所以直線.設(shè)，因?yàn)椋渣c(diǎn)到直線距離等于點(diǎn)到直線距離的3倍.由此得，則或.由，得，此方程無解；由，得，所以或.代入直線，對(duì)應(yīng)分別得或.因此點(diǎn)的坐標(biāo)為或橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．46．（1），；（2）存在，方程為.【解析】（1）由，的方程，令，得到，，然后再利用求解；（2）由（1）知上半