專題4.2角的旋轉(zhuǎn)問題【典例1】已知如圖1，∠AOB=40°(1)若∠AOC=13∠BOC，則∠BOC=(2)如圖2，∠AOC=20°，OM為∠AOB內(nèi)部的一條射線，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，求4∠AON+∠COM的值；(3)如圖3，∠AOC=20°，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周至OB結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)運動的時間為t，ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，當(dāng)t在某個范圍內(nèi)4∠AON+

∠BOM會為定值，請直接寫出定值，并指出對應(yīng)t的范圍（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）．【思路點撥】（1）分兩種情況討論：①OC在∠AOB內(nèi)部時，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=34∠AOB；②OC在∠AOB外部時，由∠AOC=13∠BOC得到∠BOC=3（2）設(shè)∠CON=x°，根據(jù)題意用x表示有關(guān)角的度數(shù)，最終得4∠AON+∠COM的值；（3）按OM和ON的不同位置分五種情況分別討論，記OM轉(zhuǎn)過的角度為α，第一種情況：當(dāng)0＜α≤60°，即0＜t≤12時；第二種情況：當(dāng)60°＜α≤180°時，即12＜t≤36時；第三種情況：當(dāng)180°＜α≤240°時，即36＜t≤48時；第四種情況：當(dāng)240°＜α≤340°，即48＜t≤68時；第五種情況：當(dāng)340°＜α≤360°，即68＜t≤72時．用t表示出有關(guān)角的度數(shù)，再求4∠AON+∠BOM的最后結(jié)果．【解題過程】解：（1）分兩種情況討論：①C在∠AOB內(nèi)部時，如下圖，∵∠AOC=13∠BOC∴∠BOC=34∠AOB②OC在∠AOB外部時，如下圖，∠AOC=13∠BOC∴∠BOC=32∠AOB=3綜上所述：∠BOC=30°或60°；故答案為：30°或60°．（2）證明：設(shè)∠AON=x°，則∠CON=（20-x）°，∠NOM=3∠CON=(60-3x）°，∠COM=(80-4x）°，所以4∠AON+∠COM=80°．（3）記OM的旋轉(zhuǎn)角度為α，分五種情況討論：第一種，當(dāng)0°＜α≤60°，即0＜t≤12時，如下圖，射線OM繞著O點從OB開始以5度/秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)得∠MOB=5t°，∴∠COM=∠COA+∠AOB-∠MOB=60°-5t°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，∴∠CON=14∠COM∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（60°-5t°）=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=20°+10t∴0≤t≤12時，4∠AON+∠BOM=20°+10t°，不是定值．第二種情況：當(dāng)60°＜α＜180°，即12＜t＜36時，如下圖，∵∠MOB=5t°，∴∠COM=∠MOB-∠BOC=5t°-60°，∵∠CON=14∠COM∴∠AON=∠COA+∠CON=∠COA+14∠COM=20°+14（5t°-60°）=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+5t°=10t∴12＜t＜36時，4∠AON+∠BOM不是定值．第三種情況：當(dāng)180°≤α≤240°，即36≤t≤48時，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=5t°-60°，∵ON是∠MOC四等分線，且3∠CON=∠NOM，∴∠AON=∠CON+∠COA=14∠COM+∠COA=14（5t°-60°）+20°=5°+5∴4∠AON+∠BOM=4（5°+54t°）+360°-5t∴當(dāng)36≤t≤48時，4∠AON+∠COM為定值380°；第四種情況：當(dāng)240°＜α＜340°時，即48＜t＜68，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，∴∠AON=∠CON-∠COA=14∠COM-∠COA=14（420°-5t°）-20°=85°-5∴4∠AON+∠BOM=4（85°-54t°）+360°-5t°=700°-10t∴48＜t＜68時，4∠AON+∠COM不是定值；第五種情況：當(dāng)340°≤α≤360°，即68≤t≤72時，如下圖，由∠MOB=360°-5t°得，∠COM=∠MOB+∠BOC=360°-5t°+60°=420°-5t°，∴∠AON=∠COA-∠CON=∠COA-14∠COM=20°-14（420°-5t°）=5∴4∠AON+∠BOM=4（54t°-85°）+360°-5t∴68≤t≤72時，4∠AON+∠COM為定值20°．綜上所述：當(dāng)36≤t≤48時，4∠AON+∠COM為定值380°；當(dāng)68≤t≤72時，4∠AON+∠COM=20°，為定值20°．1．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC：∠BOC=2：1，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM在直線AB的下方，將圖1中的三角板繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)一周．(1)三角板從圖1位置旋轉(zhuǎn)到圖2位置（OM落在射線OA上），ON旋轉(zhuǎn)的角度為

______；(2)在三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3位置的過程中，若三角板繞點O按每秒鐘15°的速度旋轉(zhuǎn)，當(dāng)OM所在直線恰好平分∠BOC時，求出三角板繞點O運動的時間．【思路點撥】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角∠MON=90°；（2）分兩種情況，畫出圖形，根據(jù)角的和差可得答案．【解題過程】（1）解：依題意知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON，且∠MON=90°．故答案為：90；（2）解：設(shè)運動時間為t秒，∵∠AOC：∠BOC=2：1，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°，如圖，當(dāng)ME平分∠BOC時，∴∠AOM=∠BOE=12∠BOC∴15t=60°，解得t=4；如圖，當(dāng)OM平分∠BOC時，∴∠BOM=12∠BOC∴15t=360°-120°，解得t=16．答：當(dāng)t運動4秒或16秒，OM所在直線恰好平分∠BOC．2．（2022·陜西·西安輔輪中學(xué)七年級期末）已知：O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)如圖1，當(dāng)∠AOC＝40°時，求∠DOE的度數(shù)；(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；(3)如圖3，∠AOC=36°，此時∠COD繞點O以每秒6°沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒（0≤t<60），請直接寫出∠AOC和∠DOE之間的數(shù)量關(guān)系【思路點撥】(1)由補角及直角的定義可求得的∠BOC度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義可求解∠DOE的度數(shù)；(2)由角平分線的定義可得∠EOF=∠BOE?∠BOF=1(3)可分兩種情況：①當(dāng)0＜t≤6時，∠AOC=36°?6°t，求出∠DOE=18°?3°t，得出答案；②當(dāng)6＜t＜【解題過程】解：（1）∵∠AOC=40°，∴∠BOC=180°?∠AOC=180°?40°=140°，∵OE平分∠BOC∴∠COE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?70°=20°；（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD∴∠BOE=12∠BOC∴∠EOF=∠BOE?∠BOF=1∵∠COD=90°，∴∠EOF=45°；（3）①當(dāng)0＜∴∠AOC=36°?6°t，∴∠DOE=∠COD?∠COE=∠COD?1=90°?=18°?3°t，∴∠AOC=2∠DOE；②當(dāng)6＜∴∠AOC=6°t?36°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°+1∴∠AOC+2∠DOE=360°3．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝．【問題解決】(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），當(dāng)t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運線？試說明理由．【思路點撥】（1）由角平分線的定義可得；（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°可以求出∠AOC．（3）分三種情況討論，由“幸運線”的定義，列出方程可求t的值．【解題過程】解：（1）∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的兩倍，∴一個角的角平分線是這個角的“幸運線”，故答案為：是．（2）解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°．①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時，∠AOC+∠BOC=3∠BOC=120°，∴∠BOC=40°，∴∠AOC=80°．②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC=120°，∴∠AOC=40°．③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時，OC平分∠AOB，∴∠AOC=12∠AOB綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．故答案為：40°或60°或80°．（3）解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運線”，∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：∴∠AOP=20t°，∠BOQ=10t°，∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ=(150-20t-10t)°=(150-30t)°,∠AOQ=∠AOB-∠BOQ==(150-10t)°．①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時，則20t=2×(150-30t)，∴t=154②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t=2×20t，∴t=157③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，∴t=3．綜上所述：t=154或154．（2022·湖南永州·七年級期末）如圖所示，是某一種旋轉(zhuǎn)燈光聚合裝置簡易圖，光線的多少可由控制器控制，已知AO⊥BC，垂足為O．現(xiàn)從點O同時發(fā)出兩條旋轉(zhuǎn)光線，一條光線為OD，從OB開始，繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒3°，另一條光線OE，從OC開始，繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒2°；設(shè)兩條光線同時旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．(1)旋轉(zhuǎn)多少秒，兩條光線第一次重合？(2)當(dāng)0<t≤60時，若OD⊥OE，求t的值；(3)0<t≤240時，當(dāng)兩條光線在繞點O的旋轉(zhuǎn)過程中，t為何值時，∠DOE=60°？【思路點撥】（1）兩條光線第一次重合，轉(zhuǎn)過的角度和為180°，根據(jù)題意列出方程即可；（2）當(dāng)0＜t≤60時，若OD⊥OE，則轉(zhuǎn)過的角度和90°或270°，根據(jù)題意列出方程即可；（3）容易發(fā)現(xiàn)，0＜t≤240時，兩條光線有7次夾角是60°，第一次可得2t°+3t°=180°-60°，第二次可得2t°+3t°=180°+60°，第三次在第一次的基礎(chǔ)上加360°，據(jù)此可得轉(zhuǎn)過的度數(shù)和分別是120°、240°、480°、600°、840°、960°、1200°，分別列出方程解答即可．【解題過程】解：（1）兩條光線第一次重合，轉(zhuǎn)過的角度和為180°，由題意得，2t°+3t°=180°，解得t=36（秒），答：旋轉(zhuǎn)36秒時兩條光線第一次重合；（2）若OD⊥OE，則轉(zhuǎn)過的角度和90°或270°，第一次OD⊥OE時，2t°+3t°=90°，解得t=18（秒），第二次OD⊥OE時，2t°+3t°=270°，解得t=54（秒），答：當(dāng)0＜t≤60時，若OD⊥OE時，t的值為18秒或54秒；（3）當(dāng)0＜t≤240時，兩條光線有7次夾角是60°，轉(zhuǎn)過的度數(shù)和分別是120°、240°、480°、600°、840°、960°、1200°，第一次夾角為60°時，2t°+3t°=180°-60°，解得t=24（秒），第二次夾角為60°時，2t°+3t°=180°+60°，解得t=48（秒），第三次夾角為60°時，2t°+3t°=480°，解得t=96（秒），第四次夾角為60°時，2t°+3t°=600°，解得t=120（秒），第五次夾角為60°時，2°t+3°t=840°，解得t=168（秒），第六次夾角為60°時，2°t+3°t=960°，解得t=192（秒），第七次夾角為60°時，2°t+3°t=1200°，解得t=240（秒），綜上所述，0＜t≤240時，當(dāng)兩條光線在繞點O的旋轉(zhuǎn)過程中，∠DOE=60°，t的值為24秒或48秒或96秒或120秒或168秒或192秒或240秒．5．（2022·成都市龍泉驛區(qū)四川師范大學(xué)東區(qū)上東學(xué)校七年級期末）如圖所示，OA,OB,OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°,∠BOC=10°．以點O為端點作射線OP,OQ分別與射線OF,OC重合，射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s，射線OQ從OC處開始繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)（射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時停止），兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t(1)當(dāng)射線OP平分∠AOC時，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時間．(2)當(dāng)射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s,t=21s(3)若射線OQ的轉(zhuǎn)速為3°/s①當(dāng)射線OQ和射線OP重合時，求∠COQ的值．②當(dāng)∠POQ=70°時，求射線OP旋轉(zhuǎn)的時間．【思路點撥】（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°，當(dāng)射線OP平分∠AOC時，∠AOP=∠POC=35°，此時OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=55°，旋轉(zhuǎn)的時間：55÷1=55s（2）求出射線OP、射線OQ旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，畫出圖形，根據(jù)角的和差即可求解；（3）①根據(jù)OP和OQ的轉(zhuǎn)速，即可求解；②設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時間為ts，則分為2種情況討論：①當(dāng)OP和OQ在未重合之前；②當(dāng)OP和OQ【解題過程】（1）解：∵∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+10°=70°，∴當(dāng)射線OP平分∠AOC時，∠AOP=∠POC=35°，∴此時OP旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：∠AOF+∠AOP=20°+35°=55°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s∴旋轉(zhuǎn)的時間：55÷1=55s（2）∵射線OQ的轉(zhuǎn)速為4°/s,，射線OQ從OC處開始繞點∴t=21s時，∠COQ=21×4=84°，∵射線OP從OF處開始繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1°/s∴t=21s時，∠FOP=21×1=21°如圖，∴∠FOQ=∠FOA+∠AOB+∠BOC?∠COQ=6°，∴∠POQ=∠FOP?∠FOQ=15°；（3）①當(dāng)射線OQ和射線OP重合時，t=10+20+60∴∠COQ=45②設(shè)射線OP旋轉(zhuǎn)的時間為ts，當(dāng)OP和OQ在未重合之前，90?t?3t=70，t=5；當(dāng)OP和OQ在重合之后，3t+t?70=90，解得t=40；∵OQ按題目條件射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時停止，∴.t≤90÷3，即t≤30，∴t=40時，OQ早已停止運動，但OP未停止，因此第二種情況t=70．故當(dāng)∠POQ=70°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間為5秒或70秒6．（2022·遼寧大連·七年級期末）已知O為直線AB上一點，射線OD、OC、OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC＝120°，∠DOE＝80°．(1)如圖1，當(dāng)OD平分∠AOC時，求∠EOB的度數(shù)；(2)點F在射線OB上，若射線OF繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA＝3∠AOD．當(dāng)∠DOE在∠AOC內(nèi)部（圖2）和∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)（圖3）時，∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．【思路點撥】（1）由∠AOC＝120°，得到∠BOC＝60°，又OD平分∠AOC，則∠DOC＝60°，由∠DOE＝80°，得到∠EOC＝20°，最后得到∠EOB=40°；（2）分兩種情況，∠DOE在∠AOC內(nèi)部時，令∠AOD=x°，則∠DOF=2x°,∠EOF=80°－2x°，∠EOC==40°－x°，結(jié)論成立；∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時，令∠AOD=x°，則∠DOF=2x°,∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°，∠EOC==x°-40°，結(jié)論得證．【解題過程】（1）解：如圖1，∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°－∠AOC＝60°，∵OD平分∠AOC時，∴∠DOC＝12∠AOC∵∠DOE＝80°，∴∠EOC＝∠DOE－∠DOC＝20°，.∴∠EOB=∠BOC－∠EOC＝40°.（2）解：不變，∠EOF=2∠EOC.當(dāng)∠DOE在∠AOC內(nèi)部時，如圖2，令∠AOD=x°，則∠DOF=2x°,∠EOF=80°－2x°，∴∠EOC=120°－（∠AOD＋DOF＋∠EOF）＝120°－（x°+2x°+80°－2x°）=40°－x°，∴∠EOF=2∠EOC，當(dāng)∠DOE的兩邊在射線OC的兩側(cè)時，如圖3，令∠AOD=x°，則∠DOF=2x°,∠DOC=120°-x°，∠EOF=2x°-80°,∠EOC=∠DOE－∠DOC＝80°-（120°-x°）=x°-40°，∴∠EOF=2∠EOC，綜上可得∠EOF=2∠EOC．7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三個角中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的奇妙線．(1)一個角的平分線________這個角的奇妙線；（填“是”或“不是”）(2)如圖，∠MPN=60°．①若射線PQ是∠MPN的奇妙線，則∠QPN的度數(shù)為________度；②射線PF從PN位置開始，以每秒旋轉(zhuǎn)3°45′的速度繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠FPN首次等于180°時停止旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t(s)．當(dāng)t為何值時，射線PM是【思路點撥】（1）根據(jù)其妙線的定義進(jìn)行判斷即可；（2）①根據(jù)奇妙線的定義分三種情況討論計算即可；②射線PM是∠FPN的奇妙線，PM在∠FPN的內(nèi)部，PF在∠NPM的內(nèi)部，然后分三種情況求解即可．【解題過程】（1）解：一個角的平分線中，大角是小角的2倍，滿足奇妙線的定義，故答案為：是；（2）①∠MPN=60°，射線PQ是∠MPN的奇妙線，根據(jù)奇妙線的定義分三種情況討論：當(dāng)∠NPQ=2∠MPQ時，∠QPN=40°；當(dāng)∠MPQ=2∠NPQ時，∠QPN=20°；當(dāng)∠NPM=2∠MPQ時，∠QPN=30°；故答案為：20或30或40；②∵射線PM是∠FPN的奇妙線

∴PM在∠FPN的內(nèi)部∴PF在∠NPM的內(nèi)部分三種情況：（Ⅰ）如圖，當(dāng)∠NPM=2∠FPM時，∠FPM=∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+30°=90°∵3°45'=3.75°∴t=90÷3.75=24(（Ⅱ）如圖，當(dāng)∠FPN=2∠MPN時，∠FPN=2×60°=120°∴t=120÷3.75=32(（Ⅲ）如圖3，當(dāng)∠FPN=2∠NPM時，∠FPN=2×60°=120°∴∠FPN=∠NPM+∠FPM=60°+120°=180°∴t=180÷3.75=48(綜上：當(dāng)t為24或32或48時，射線PM是∠FPN的奇妙線．8．（2022·浙江臺州·七年級階段練習(xí)）如圖，直線CD，EF相交于點O，射線OA在∠COF的內(nèi)部，∠DOF=13∠AO(1)如圖1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度數(shù)；(2)如圖2，若∠AOC=α（60°<α<180°），將射線OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°，到OB，①求∠EOB的度數(shù)（用含α的式子表示）；②觀察①中的結(jié)果，直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖3，0°<∠AOC<120°，將射線OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，到OB，請直接寫出∠AOC，∠EOB之間的數(shù)量關(guān)系．【思路點撥】（1）根據(jù)補角的定義求出∠AOD，結(jié)合已知求出∠DOF，然后根據(jù)對頂角相等得出答案；（2）①根據(jù)補角的定義求出∠AOD，結(jié)合已知求出∠DOF，然后根據(jù)對頂角相等求出∠EOC，再根據(jù)∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度數(shù)即可；②根據(jù)題意結(jié)合補角的定義求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠（3）分情況討論：①當(dāng)0°<∠AOC≤90°時，根據(jù)題意結(jié)合補角的定義求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根據(jù)對頂角相等計算得出答案；②當(dāng)90°<∠AOC≤120°時，根據(jù)題意結(jié)合補角的定義求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根據(jù)對頂角相等計算得出∠EOC＋∠BOC＝【解題過程】（1）解：∵∠AOC＝120°，∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，∴∠DOF＝13∠AOD∴∠EOC＝∠DOF＝20°；（2）解：①∵∠AOC＝α，∴∠AOD＝180°－α，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－1∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13由題意得：∠AOB＝60°，∴∠BOC＝α－60°，∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝②觀察①中結(jié)果可得：∠EOB＝23證明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠（3）解：①當(dāng)0°<∠AOC≤90°時，如圖，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠②當(dāng)90°<∠AOC≤120°時，如圖，∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠9．（2022·湖北武漢·七年級期末）已知∠COD在∠AOB的內(nèi)部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．(1)如圖1，求∠AOD+∠BOC的大??；(2)如圖2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大?。?3)如圖3，若∠AOC＝30°，射線OC繞點O以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與射線OB重合后，再以每秒15°的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)；同時射線OD以每秒30°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．設(shè)射線OD，OC運動的時間是t秒（0＜t≤22），當(dāng)∠COD＝120°時，直接寫出t的值．【思路點撥】（1）∠AOD+∠BOC可化為∠AOB+∠COD，計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠AON=12AOD，∠BOM=12∠BOC，進(jìn)而得到∠MON=∠AOB-12(∠AOD（3）根據(jù)射線的運動可知，需要分四種情況：當(dāng)OC未到達(dá)OB時，分兩種情況；當(dāng)OC到達(dá)OB后返回時，分兩種情況；分別畫出圖形列方程解答．【解題過程】解：(1)∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；(2)∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，∴∠AON=12AOD，∠BOM=12∠∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-12(∠AOD+∠BOC(3)當(dāng)OC未到達(dá)OB時，分兩種情況：①如圖：此時30t+20-10t=120，解得t=5；②如圖：360-30t-20+10t=120，解得t=11；當(dāng)OC到達(dá)OB后返回時，分兩種情況：①如圖：此時30t-360-（300-15t-20）=120，解得t=168②如圖：此時（720-30t）-20+（300-15t）=120，解得t=195綜上，t的值為5或11或1689或10．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖1，點A，O，B依次在直線MN上，將射線OA繞點O沿順時針方向以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線OB繞點O沿順時針方向以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t（0?t?48，單位秒）．(1)當(dāng)t=12時，∠AOB=°．(2)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得射線OM是由射線OB、射線OA組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由．(3)在運動過程中，當(dāng)∠AOB=60°時，求t的值．【思路點撥】（1）t=12時，∠AOM=15°×12=180°，即OA與ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．（2）①求OA追上OB的大致時刻，得到OM平分∠AOB時的圖形，用t表示此時∠AOM與∠BOM的度數(shù)，列方程即可求t；②當(dāng)OA超過OB將要旋轉(zhuǎn)到第二圈，OB旋轉(zhuǎn)過OM時，此時OM可以是∠AOB的角平分線，列第二個方程求t。（3）OA、OB都是順時針旋轉(zhuǎn)，可理解為初始路程差為180°的追及問題：當(dāng)∠AOB第一次達(dá)到60°時，即OA差60°追上OB，路程差為（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次達(dá)到60°時，即OA追上OB且超過60°，路程差為（180+60）°；第三次達(dá)到60°時，OA再走一圈差60°追上OB，路程差為（180+360-60）°，此時求出的t．【解題過程】（1）解：當(dāng)t=12時,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，∴∠AOB=180°?∠AOM+∠BON=60°，故答案為：60°．（2）存在滿足條件的t值。①∵OA旋轉(zhuǎn)一周所需時間為：360°÷15°=24(秒)，此時,∠BON=5°×24=120°，即OA已經(jīng)旋轉(zhuǎn)過OB的位置，若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如圖1，∴∠AOM=(15t?360)°,∠BOM=(180?5t)°，∴15t?360=180?5t，解得：t=27，②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下圖2，∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，∴720-15t=5t-180，解得：t=45，（3）(3)①如圖3,當(dāng)∠AOB第一次達(dá)到60°時,OA比OB多轉(zhuǎn)了(180?60)°，得：15t?5t=180°?60°，解得：t=12，②如圖3,當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時,OA比OB多轉(zhuǎn)了(180+60)°，得：15t?5t=180°+60°，解得：t=24，③如圖5，當(dāng)∠AOB第三次達(dá)到60°時,OA比OB多轉(zhuǎn)了(180+360?60)°，得：15t?5t=180°+360°?60°，解得：t=48，符合題意，綜上所述,當(dāng)∠AOB=60°時,t=12或24或48．11．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，∠AOB=100°，射線OC以2°/s的速度從OA位置出發(fā)，射線OD以10°/s的速度從OB位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)(1)當(dāng)t=10時，求∠COD的度數(shù)；(2)若0≤t≤15．①當(dāng)三條射線OA、OC、OD構(gòu)成的三個度數(shù)大于0°的角中，有兩個角相等，求此時t的值；②在射線OD，OC轉(zhuǎn)動過程中，射線OE始終在∠BOD內(nèi)部，且OF平分∠AOC，當(dāng)∠EOF=110°，求∠BOE∠AOD【思路點撥】（1）根據(jù)題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數(shù)；（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明OD運動至∠AOB外部．由∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，可以得到∠AOF?∠BOE=10°，又因為OF平分∠AOC，則∠AOF=12∠AOC=t°，從而求出∠BOE=【解題過程】（1）解：依題意，當(dāng)t=10s時，射線OD運動的度數(shù)為10t=100°∵∠AOB=100°，∴此時OD與OA重合，射線OC運動的度數(shù)為2t=20°，即∠AOC=20°，∴當(dāng)t=10s時，∠COD=20°（2）①若0≤t≤15時，分下面三種情形討論：（i）如圖1，當(dāng)∠DOA=∠COA時，100?10t=2t，∴t=253，符合（ii）如圖2，當(dāng)∠AOD=∠COD時，10t?100=1∴t=1009，符合（iii）如圖3，當(dāng)∠AOC=∠COD時，2t=10t?100?2t，∴t=503，不在綜上所得t=253s②如圖4，∵0≤t≤15，∴0°≤2t≤30°，0°≤10t≤150°，∴∠AOC最大度數(shù)為30°，∠BOD最大度數(shù)為150°．∵∠AOB=100°，∴當(dāng)∠EOF=110°時，∠AOF>10°，∴∠AOC>20°，即t>10，∴OD運動至∠AOB外部．此時，∠AOB=∠AOE+∠BOE=100°，∠EOF=∠AOE+∠AOF=110°，∴∠AOF?∠BOE=10°，∵OF平分∠AOC，∴∠AOF=1∴∠BOE=t?10又∠AOD=∠BOD?∠AOB=(10t?100)°，∴∠BOE∠AOD12．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）沿河縣某初中七年級的數(shù)學(xué)老師在課外活動中組織學(xué)生進(jìn)行實踐探究，用一副三角尺（分別含45°，45°，90°和30°，60°，90°的角）按如圖所示擺放在量角器上，邊PD與量角器180°刻度線重合，邊AP與量角器0°刻度線重合，將三角尺ABP繞量角器中心點P以每秒10°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊PB與180°刻度線重合時停止運動，設(shè)三角尺ABP的運動時間為t秒．(1)當(dāng)t=5時，∠BPD=__________°；(2)若在三角尺ABP開始旋轉(zhuǎn)的同時，三角尺PCD也繞點P以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)三角尺ABP停止旋轉(zhuǎn)時，三角尺PCD也停止旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)t為何值時，邊PB平分∠CPD；②在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使∠BPD=2∠APC，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）當(dāng)t=5秒時，計算出邊BP旋轉(zhuǎn)的角度的大小即可得出結(jié)論；（2）①如圖1，根據(jù)PB平分∠CPD，利用角平分線的定義可得∠CPB=∠BPD=12∠CPD=30°，利用含t的代數(shù)式分別表示出∠MPB和∠BPD的度數(shù)，列出關(guān)于t②設(shè)時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，分兩種情況說明：Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)過程得出的角度的大小列出方程即可求得結(jié)論．【解題過程】（1）解：當(dāng)t=5秒時，由旋轉(zhuǎn)知，邊BP旋轉(zhuǎn)的角度為：10°×5=50°，∴∠BPD=180°-（45°+50°）=85°，故答案為：85；（2）解：①如圖1所示：由題意得：∠MPB=10°t+45°，∠DPN=2°t．∵PB平分∠CPD；∴∠CPB=∠BPD=12∠CPD由∠MPN=∠MPB+∠BPD+∠DPN=180°得：10°t+45°+30°+2°t=180°，解得，t=354∴當(dāng)t=354時，邊PB平分∠CPD②在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻使∠BPD=2∠APC．∵運動時間為t秒，則∠APM=10°t，∠DPN=2°t，Ⅰ）當(dāng)PA在PC左側(cè)時，如圖2所示：此時，∠APC=180°-10°t-60°-2°t=120°-12°t，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（120°-12°t），解得：t=354因為當(dāng)t=354此時∠BPD=30°，∠APC=15°，∠BPD=2∠APC．是成立的；Ⅱ）當(dāng)PA在PC右側(cè)時，如圖3所示：此時，∠APC=10°t+2°t+60°-180°=12°t-120°，∠BPD=180°-45°-10°t-2°t=135°-12°t，∵∠BPD=2∠APC，∴135°-12°t=2（12°t-120°），解得：t=12512當(dāng)PB在PD的右側(cè)時，∠APC=12°t-120°，∠BPD=12°t-135°，則12°t-135°=2（12°t-120°），解得：t=354此時PB在PD的左側(cè)，所以和假設(shè)情況矛盾，不符合題意，舍去．綜上所述，當(dāng)t=12512或t=354時，∠BPD=2∠13．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）點O為直線l上一點，射線OA、OB均與直線l重合，如圖1所示，過點O作射線OC和射線OD，使得∠BOC=100°，∠COD=90°，作∠AOC的平分線OM．(1)求∠AOC與∠MOD的度數(shù)；(2)作射線OP，使得∠BOP+∠AOM=90°，請在圖2中畫出圖形，并求出∠COP的度數(shù)；(3)如圖3，將射線OB從圖1位置開始，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，作∠COD的平分線ON，當(dāng)∠MON=20°時，求旋轉(zhuǎn)的時間．【思路點撥】（1）根據(jù)∠AOB=180°，∠BOC=100°，即可得出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義得出∠COM=12∠AOC=40°，然后根據(jù)∠COD=90°（2）根據(jù)題意得出∠BOP的度數(shù)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)射線OP在∠BOC內(nèi)部時；②當(dāng)射線OP在∠BOC外部時；分別進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)ON平分∠COD得出∠CON=45°，根據(jù)題意畫出圖形，計算∠BOE的角度，然后計算時間即可．【解題過程】（1）解：由題意可知，∠AOB=180°，∵∠BOC=100°，∴∠AOC=AOB?∠BOC=80°，∵OM平分∠AOC，∴∠COM=1∴∠MOD=∠COD?∠COM=50°；（2）由（1）知，∠AOM=∠AOC?∠COM=40°，∴∠BOP=90°?∠AOM=50°，①當(dāng)射線OP在∠BOC內(nèi)部時，如圖2（1），∠COP=∠BOC?∠BOP=50°；②當(dāng)射線OP在∠BOC外部時，如圖2（2），∠COP=∠BOC+∠BOP=150°，綜上所述，∠COP的度數(shù)為50°或150°；（3）∵ON平分∠COD，∴∠CON=1①如圖3，∠COM=∠CON?∠MON=25°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC=2∠COM=50°，∴∠BOE=180°?∠AOC?∠BOC=30°，∴旋轉(zhuǎn)的時間t=30°÷5°=6（秒）；②如圖3（1），此時，∠COM=∠CON+∠MON=65°，∵OM平分∠AOC，∴∠AOC=2∠COM=130°，∴∠COE=180°?130°=50°，∴∠BOE=100°?50°=50°，∴旋轉(zhuǎn)的時間=(360°?50°)÷5°=62（秒）；綜上所述，旋轉(zhuǎn)的時間為6秒或62秒．14．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC內(nèi)，ON在∠BOD內(nèi)，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1(1)如圖2，當(dāng)∠COD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OC與OB重合時，則∠MON=°；(2)如圖3，當(dāng)∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)80°（即∠BOC=80°)時，求∠MON的度數(shù)；(3)當(dāng)∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（即∠BOC=n°，0<n<180且n≠60a，其中a為正整數(shù)）時，則∠MON=°．【思路點撥】（1）根據(jù)題意可得∠AOM=13∠AOC=40°，∠BON=（2）同理求得∠AOM=13∠AOC=(403（3）分三種情況討論，①當(dāng)0<n<60時，②當(dāng)60<n<120時，③當(dāng)120<n<180時，結(jié)合圖形即可求解．【解題過程】（1）解：∵∠AOM=13∠AOC=40°∴∠DON=60°?20°=40°，∴∠MON=∠AOB+∠BOD?∠AOM?∠DON=120°+60°?40°?40°=100°；故答案為：100；（2）∵∠BOC=80°，∠AOB=120°，∠COD=60°，∴∠AOC=120°?80°=40°，∠BOD=80°?60°=20°，∵∠AOM=13∠AOC=(∴∠MON=120°?(40（3）①當(dāng)0<n<60時，如圖1，∵∠BOC=n°，∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=120°?n°，∠BOD=∠COD?∠BOC=60°?n°，∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON==80°?=100°；②當(dāng)60<n<120時，如圖2，∵∠BOC=n°，∴∠AOC=∠AOB?∠BOC=120°?n°，∠BOD=∠BOC?∠DOC=n°?60°，∴∠MON=∠MOC+∠BOC?∠BON==80°?=100°；③當(dāng)120<n<180時，如圖3，∵∠BOC=n°，∴∠AOC=∠BOC?∠AOB=n°?120°，∠BOD=∠BOC?∠DOC=n°?60°，∴∠MON=∠BOC?=∠MOC?∠BON=n°?=n°?=100°；綜上所述：∠MON的度數(shù)為100°．故答案為：100．15．（2022·江蘇·七年級單元測試）【閱讀理解】定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．【遷移運用】(1)如圖1，射線PS（選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT（選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；(2)如圖2，點O在直線MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．【思路點撥】（1）利用“雙倍和諧線”的意義結(jié)合圖形進(jìn)行判斷即可；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分類討論的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論；②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分類討論的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM兩種情況討論解答，依據(jù)上述等式列出方程，解方程即可求得結(jié)論．【解題過程】（1）解：∵PS平分∠RPT，∴∠RPS=∠TPS，∴射線PS不是射線PR，PT的“雙倍和諧線”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR=2∠TPS．∴射線PT是射線PS，PR的“雙倍和諧線”．故答案為：不是；是；（2）①由題意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．∵射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”，∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．當(dāng)∠AOC=2∠AOB時，如圖，則：90-4t=2×40．解得：t=52當(dāng)∠AOB=2∠AOC時，如圖，則：40=2（90-4t）．解得：t=352綜上，當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，t的值為52或35②由題意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．∵當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止，∴此時∠AON=∠CON．∴90+2t=4t．∴t=45．∴當(dāng)t=45秒時，運動停止，此時∠AON=180°．∵射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”，∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．當(dāng)∠COM=2∠COD時，如圖，即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），則：180-4t=2（4t-70-2t）．解得：t=40．∴∠CON=4°×40=160°．當(dāng)∠COD=2∠COM時，如圖，即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．則：4t-（70+2t）=2（180-4t）．解得：t=43．∴∠CON=4°×43=172°．綜上，當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，∠CON的度數(shù)為160°或172°．16．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉(zhuǎn)時間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時間）(1)當(dāng)t＝秒，射線OP平分∠AOB時；(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時，請求出當(dāng)∠POQ=60°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間；(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）作出角平分線，求出OP運動到OG時的時間即可．（2）動點問題需要分類討論，第一種OP、OQ還沒有相遇時，第二種OP、OQ相遇之后，畫圖利用角度列出等式．（3）分別一其中一條作為角平分線來分析，畫出圖像之后列等式求時間．【解題過程】（1）解：作∠AOB的角平分線OG∵∠AOB=60°，∴∠AOG=12∠AOB∴∠FOG=∠FOA+∠AOG=20°+30°=50°，此時OP的運動時間t=505故答案為：10；（2）解：∵∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，∴∠FOC=90°由題意可得，∠FOP=5t°，∠COQ=4t°①如圖所示：∴4t+60+5t=90，∴t=103②如圖所示：此時4t+5t-60=90，∴t=50∵OQ停止運動時間t=904∴以上兩種情況均符合∴當(dāng)∠POQ=60°時，OP的旋轉(zhuǎn)時間為103或50（3）解：存在；①當(dāng)OQ平分∠BOP時，則∠BOQ=∠POQ，如圖：則3t?10=90?3t?5t，解得：t=100②當(dāng)OP平分∠BOQ時，則∠BOP=∠POQ，如圖：則90?5t?10=3t?(90?5t)，解得：t=170綜合上述，t=10011或17．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和多多一起探究下面問題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大小，請直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過程）．【思路點撥】（1）先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC=15°，再根據(jù)角的和差、角平分線的定義可得∠COF=（2）先根據(jù)角的和差可得∠AOC+∠COB=100°，再根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=（3）如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的定義可得∠COE=12∠AOC,∠COF=12∠COB，再分①射線OC在∠AOD的內(nèi)部，②射線OC在【解題過程】（1）解：∵OE是∠AOC的平分線，∠AOC=30°，∴∠COE=1∵∠AOB=100°，∴∠COB=∠AOB?∠AOC=70°，∵OF是∠COB的平分線，∴∠COF=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=15°+35°=50°；（2）∵∠AOB=100°，∴∠AOC+∠COB=100°，∵OE是∠AOC的平分線，OF是∠COB的平分線，∴∠COE=1∴∠EOF=∠COE+∠COF=故答案為：50°（3）∵OE是∠AOC的平分線，OF是∠COB的平分線，∴∠COE=1由題意，分以下三種情況：①如圖，延長BO至點D，當(dāng)射線OC在∠AOD的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠COB?∠AOC=100°，∴∠EOF=∠COF?∠COE=1②如圖，延長BO至點D，延長AO至點M，當(dāng)射線OC在∠DOM的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠COB+∠AOC=360°?∠AOB=260°，∴∠EOF=∠COF+∠COE=1③如圖，延長AO至點M，當(dāng)射線OC在∠BOM的內(nèi)部時，∵∠AOB=100°，∴∠AOC?∠COB=100°，∴∠EOF=∠COE?∠COF=1綜上，∠EOF的度數(shù)為50°或130°．18．（2022·湖南師大附中博才實驗中學(xué)七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=∠BOD=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒15°，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒12°，運動時間為t秒（0<t<12，本題出現(xiàn)的角均不大于平角）．(1)當(dāng)t=2時，∠AOM的度數(shù)為________度，∠NOM的度數(shù)為________度．(2)t為何值時，∠AOM=∠AON．(3)當(dāng)射線OM在∠BOC的內(nèi)部時，探究13∠DOM?4∠AON3∠MON【思路點撥】（1）求出t=2時，∠BOM,∠DON的度數(shù)，利用∠AOM=180°?∠BOM,∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM，進(jìn)行求解即可；（2）分別用含t的式子，表示出∠AOM和∠AON，分∠AON在∠AOD內(nèi)部和∠AOC的內(nèi)部，兩種情況討論，利用∠AOM=∠AON，列式求解即可；（3）分別用含t的式子表示出∠DOM,∠AON,∠MON，計算13∠DOM?4∠AON3∠MON【解題過程】（1）解：當(dāng)t=2時，∠BOM=2×15°=30°，∴∠AOM=180°?∠BOM=180°?30°=150°，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=24°+90°+30°=144°，故答案為：150，（2）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOD=∠BOC=90°由題意得：∠BOM=15°?t，∴∠AOM=180°?∠BOM=180°?15°?t，當(dāng)∠AON在∠AOD內(nèi)部時：∠AON=∠AOD?∠DON=90°?12°?t∵∠AOM=∠AON，∴180°?15°?t=90°?12°?t，解得：t=30（不符合題意，舍掉）；當(dāng)∠AON在∠AOC內(nèi)部時：∠AON=∠DON?∠AOD=12°?t?90°，∵∠AOM=∠AON，∴180°?15°?t=12°?t?90°，解得：t=10；∴當(dāng)t=10時，∠AOM=∠AON；（3）解：∵∠BOM=15°?t,∠DON=12°?t，當(dāng)射線OM在∠BOC的內(nèi)部時，0<15°?t<90°，∴0<t<6，∴0°<12°?t<72°，∴射線ON在∠AOD內(nèi)部，∴∠DOM=∠BOD+∠BOM=90°+15°?t,∠AON=∠AOD?∠DON=90°?12°?t，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=12°?t+90°+15°?t=90°+27°?t則：13∠DOM?4∠AON===3；∴13∠DOM?4∠AON3∠MON19．（2022·四川省廣安花橋中學(xué)校七年級期末）【理解新知】如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“2倍角線”．【解決問題】如圖②，已知∠AOB=60°，射線OP從OA出發(fā)，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)；射線OQ從OB出發(fā)，以每秒10°的速度繞O點順時針旋轉(zhuǎn)，射線OP、OQ同時出發(fā)，當(dāng)一條射線回到出發(fā)位置的時候，整個運動隨之停止，設(shè)運動的時間為ts(1)如圖①，角的平分線這個角的“2倍角線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，若∠AOB=90°，射線OC為∠AOB的“2倍角線”，則∠AOC=．(3)如圖②，當(dāng)射線OP、OQ旋轉(zhuǎn)到同一條直線上時，求t的值；(4)如圖②，若OA、OP、OQ三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“2倍角線”，直接寫出所有可能的值（本題中所研究的角都是小于等于180°的角）．【思路點撥】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）分三種情況討論，由定義列出方程可求t的值；（3）分三種情況列方程求解；（4）分六種情況，由“2倍角線”定義列方程求解即可．【解題過程】（1）解：∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的2倍，∴一個角的角平分線是這個角的“2倍角線”，故答案為：是；（2）有三種情況：①若∠BOC=2∠AOC時，且∠BOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=30°；②若∠AOB=2∠AOC=2∠BOC時，且∠BOC+∠AOC=90°，∴∠AOC=45°；③若∠AOC=