鋼結(jié)構(gòu)受彎構(gòu)件穩(wěn)定設(shè)計(jì)的等效彎矩系數(shù)

0單荷載彈性彎扭屈曲問(wèn)題1744年，l.eula首次提出了基于軸壓柱的彈性曲線屈曲性能。爾后,1929年,H.Wagner首次提出了軸壓柱彈性彎扭分岔屈曲荷載的計(jì)算公式,其值比彈性彎曲分岔屈曲荷載小得多。1899年,L.Prandtl研究了矩形截面懸臂梁在單個(gè)荷載作用下的彈性彎扭屈曲荷載,從而開(kāi)創(chuàng)了研究受彎構(gòu)件彈性和彈塑性彎扭屈曲問(wèn)題的新局面。對(duì)于如圖1a所示的均勻受彎簡(jiǎn)支梁,其彈性與彈塑性彎扭屈曲彎矩受一系列因素影響?？捎闷胶夥ê腿鹄?里茲法得到雙軸對(duì)稱工形截面簡(jiǎn)支梁的彈性彎扭屈曲彎矩如下:Μcr=πl(wèi)√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2)(1)對(duì)于非均勻受彎雙軸對(duì)稱工形截面簡(jiǎn)支梁,其彈性彎扭屈曲臨界彎矩為:Μcr=βbπl(wèi)√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2)(2)式中:βb為受彎構(gòu)件的等效彎矩系數(shù)。1日本aij—Salvadori系列受彎構(gòu)件的等效彎矩系數(shù)1956年,M.G.Salvadori用瑞利-里茲法得到了如圖2所示的線性非均勻簡(jiǎn)支受彎構(gòu)件的等效彎矩系數(shù),此系數(shù)也適用于單軸對(duì)稱工形截面簡(jiǎn)支梁。在圖2d中,等效彎矩系數(shù)βb之值與構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)剛度和翹曲剛度之比GItl2/(EIω)有關(guān)。在GB50017—2003《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》,加拿大CAN/CSA—S16—2001,澳大利亞AS4100—1998和日本AIJ—2002鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中,線性非均勻受彎構(gòu)件的等效彎矩系數(shù)均采用了圖2d諸曲線的下限值,見(jiàn)式(3),而EN1993—1—1EC3—2005則采用了圖2d諸曲線中的上限值,見(jiàn)式(4)。在圖3中,端彎矩M1和M2均作用于梁的彎矩作用平面內(nèi),彎矩使構(gòu)件產(chǎn)生同向曲率變形時(shí)取同號(hào),且M1≥M2;彎矩使構(gòu)件產(chǎn)生異向曲率變形時(shí)取異號(hào),且|M1|≥|M2|。從圖3可知,當(dāng)比值M2/M1在-0.3~+0.3時(shí),βb值發(fā)生了急劇下降變化,而且在M2/M1<-0.5之前,有相當(dāng)長(zhǎng)一段曲線之值是常量。童根樹(shù)建議,采用式(5)計(jì)算梁的等效彎矩系數(shù),以避免在圖3中出現(xiàn)常量值。βb=1.75-1.05Μ2Μ1+0.3(Μ2Μ1)2≤2.3(3)βb=1.88-1.4Μ2Μ1+0.52(Μ2Μ1)2≤2.7(4)βb=1.84-0.84sin(0.5πΜ2/Μ1)(5)對(duì)既有橫向荷載,又有端彎矩共同作用的雙軸對(duì)稱工形截面簡(jiǎn)支梁,也可以利用文獻(xiàn)中表7.2和表7.3所提供的計(jì)算公式,用來(lái)確定梁的等效彎矩系數(shù)。2梁的等效彎矩系數(shù)為了避免式(3)和式(4)所示梁的等效彎矩系數(shù)曲線的非連續(xù)性,在1979年,P.A.Kirby,和D.A.Nethercot提出了如圖4所示的彎矩分布圖。由于梁在無(wú)支承長(zhǎng)度梁段內(nèi)彎矩圖可任意變化,計(jì)算雙軸對(duì)稱截面梁βb值的經(jīng)驗(yàn)公式如下:βb=12Μmax2Μmax+3ΜA+4ΜB+3ΜC(6)對(duì)式(6)稍作修改后,美國(guó)ANSI/AISC360—2005和英國(guó)BS5950—1—2000分別采用了式(7)和式(8)所示的梁的等效彎矩系數(shù):βb=12.5Μmax2.5Μmax+3ΜA+4ΜB+3ΜC≤3.0(7)βb=12.5Μmax2.5Μmax+1.875ΜA+6.25ΜB+1.875ΜC≤2.27(8)式(6)—式(8)中,Mmax,MA,MB和MC分別為無(wú)支承梁段內(nèi)最大彎矩的絕對(duì)值、1/4點(diǎn)處彎矩的絕對(duì)值、中點(diǎn)處彎矩的絕對(duì)值和3/4點(diǎn)處彎矩的絕對(duì)值(圖4)。但是,式(6)—式(8)只適用于橫向荷載作用于梁截面的剪心。如果橫向荷載作用于梁的上翼緣,將降低梁的抗扭能力;如果橫向荷載作用于梁的下翼緣,將提高梁的抗扭能力。經(jīng)研究,陳紹蕃建議可用調(diào)整系數(shù)0.75和1.5賦予式(7),以此來(lái)計(jì)算梁的等效彎矩系數(shù)。圖5給出了梁段內(nèi)線性彎矩分布的等效彎矩系數(shù)。當(dāng)橫向荷載作用于梁的上翼緣時(shí):βb=3.75ΜmaxΜmax+1.2ΜA+1.6ΜB+1.2ΜC(9)當(dāng)橫向荷載作用于梁的下翼緣時(shí):βb=7.5ΜmaxΜmax+1.2ΜA+1.6ΜB+1.2ΜC(10)3采用等效彎矩系數(shù)m可以用數(shù)值法確定如表1所示荷載的多種梁的等效彎矩系數(shù)。R.Greiner和L.Lindner,B.Suryoatmono和D.Ho分別用有限單元法和有限差分法研究了如表1所列多種梁(采用歐洲工型型鋼梁IEP500的截面,具有Iy=2.138×103cm4,It=72.3cm4,Iω=1.336×106cm6),跨長(zhǎng)有8m和16m兩種,用對(duì)梁弱軸彎曲的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μy和使梁截面翹曲的計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μω,以表示不同的梁端約束條件,計(jì)有μy=μω=1.0;μy=μω=0.5;μy=1.0,μω=0.5;μy=0.5,μω=1.0四種。圖6—圖8分別給出了表1中的三種荷載作用于梁的等效彎矩系數(shù)。M.A.Serna,A.López,I.Puente綜合了上述研究成果,建立了雙軸對(duì)稱I形截面梁,新的等效彎矩系數(shù)βb的閉合解。此閉合解適用于荷載作用于梁的截面剪心,承受任何分布彎矩和任何支承條件的梁。其表達(dá)式為:βb=√35Μ2maxΜ2max+9Μ2A+16Μ2B+9Μ2C(11)式中:彎矩Mmax、MA、MB和MC的取值雖然與式(6)—式(8)類同,但是在應(yīng)用時(shí)卻毋需顧忌其值的正負(fù)號(hào)。圖8給出了承受線性分布彎矩梁的等效彎矩系數(shù)。從圖6—圖8可知,由式(11)得到的等效彎矩系數(shù),均低于有限差分法之值。在圖9中,由式(11)得到的等效彎矩系數(shù),在Salvadori法的上限和下限之間,而更靠近其上限。從設(shè)計(jì)受彎構(gòu)件具有適當(dāng)?shù)陌踩瘸霭l(fā),建議采用其值稍低于式(11)的式(12)。βb=√23Μ2maxΜ2max+6Μ2A+10Μ2B+6Μ2C(12)4受彎構(gòu)件的承載力J.Lindner的理論分析表明,不同的彎矩分布,對(duì)梁臨界彎矩的影響很大,尤其是在0.4<√Μpx/Μe的范圍內(nèi)。圖9給出了不同彎矩分布作用于梁時(shí)的強(qiáng)度折減系數(shù)φb。但是要注意到,實(shí)際上有些試驗(yàn)結(jié)果落在圖中的曲線之下。以線性非均勻受彎,雙軸對(duì)稱I形截面簡(jiǎn)支梁(圖10)為例,說(shuō)明在幾個(gè)國(guó)家的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中,受彎構(gòu)件穩(wěn)定設(shè)計(jì)的方法。構(gòu)件所用鋼材的屈服強(qiáng)度,彈性模量和剪變模量分別是fy=23.5MPa,E=206000MPa和G=7900MPa。梁截面:A=136cm2,Wx=3214cm3,Wpx=3760cm3,It=54.13cm4,Iy=3125cm4,ry=4.794cm,Iω=4656125cm6。構(gòu)件的計(jì)算長(zhǎng)度ly=lω=500cm,λy=104.3,平面內(nèi)塑性彎曲強(qiáng)度Mpx=Wpxfy=883.6kN·m。當(dāng)βb=1.0時(shí),Μe=πl(wèi)y√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)=1036kN·m。4.1梁和文獻(xiàn)建于gb50017-2003年梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤φ′bWxf(13)1臨界彎矩設(shè)計(jì)值φb=βb4320λ2y×AhWx[ηb+√1+(λyt14.4h)2]=2.453>0.6(14)φ′b=1.07-0.282/φb=1.07-0.282/2.453=0.955(15)梁的臨界彎矩設(shè)計(jì)值Mx=φ′bWxf=0.955×3214×21.5/102=660kN·m。2c.c.c.c.nφb=1.7811.75×2.453=2.497φ′b=1.07-0.282/2.497=0.957Μx=0.957×3214×21.5/102=661.3kΝ?m4.2修正系數(shù)kc梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤φbmodΜpx(16)梁的強(qiáng)度折減系數(shù)為:φb=1?b+√?2b-0.75Μpx/Μe(17)其中Μe=βb√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)=1.88×1036=1947.68kN·m式中:?b為與梁的缺陷有關(guān)的參數(shù),可由式(18)計(jì)算:?b=12[1+α(√ΜpxΜe-0.4)+0.75ΜpxΜe](18)式中:α為梁的缺陷系數(shù),在G.Salzgeber和R.Greiner遞交給ECCS的報(bào)告中,將其區(qū)分為軋制和焊接截面兩種,因截面的高寬比不同,又將其各分為兩檔,這樣,梁的缺陷系數(shù)就分別有αa,αb,αc和αd四種。如圖11所示,對(duì)于軋制Ⅰ形截面梁,當(dāng)h/b≤2時(shí),αa=0.34;當(dāng)h/b>2時(shí),αb=0.49。對(duì)于焊接Ⅰ形截面梁,當(dāng)h/b≤2時(shí),αc=0.49;當(dāng)h/b>2時(shí)αd=0.76。應(yīng)該注意到,在圖11中,一部分試驗(yàn)點(diǎn),尤其是焊接梁試件,在設(shè)計(jì)曲線之下。在式(19)中,φbmod為計(jì)及截面塑性發(fā)展,而適當(dāng)提高梁的承載力的修正強(qiáng)度折減系數(shù),應(yīng)由式(19)確定,在式中修正系數(shù)kc見(jiàn)表1。φbmod=φb1-0.5(1-kc)[1-2(√Μpx/Μe-0.8)2](19)經(jīng)計(jì)算可得:αd=0.76,?b=0.774,φb=0.779,kc=0.752和φbmod=0.855。梁的臨界彎矩設(shè)計(jì)值Mx=φbmodMpx=0.855×883.6=755.5kN·m。4.3等效彎矩系數(shù)梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤?bΜux(20)式中,?b=0.9為受彎構(gòu)件的抗力系數(shù);Mux為梁的極限彎矩。計(jì)算前,先算出梁截面的有效回轉(zhuǎn)半徑rts=√√ΙyΙωWx=6.125cm,再算出梁屈服狀態(tài)的無(wú)支長(zhǎng)度lp=1.76ry√E/fy=249.8cm和非彈性狀態(tài)的無(wú)支長(zhǎng)度:lr=1.95rtsE0.7fy√ΙtWxh?√1+√1+6.76(0.7fyE×WxhΙt)=7.1832cm(21)當(dāng)lp≤ly≤lr時(shí),非彈性狀態(tài)梁承受彎矩的限值為Mr,考慮了截面殘余壓應(yīng)力的峰值為σrc=0.3fy后,Μr=(fy-σrc)Wx=0.7fyWx=528.7kΝ?m。由式(7)得到梁的等效彎矩系數(shù)βb=1.67。梁的臨界彎矩為:Μcr=βb[Μpx-(Μpx-Μr)ly-lplr-lp]=1159.11kΝ?m>Μpx(22)梁的臨界彎矩只能是梁的極限彎矩,Mux=883.6kN·m,其設(shè)計(jì)值為Mx=?bMux=0.9×883.6=795.24kN·m。4.4彈性彎扭臨界彎矩梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤?bΜcr(23)式中:?b=0.9為受彎構(gòu)件的抗力系數(shù)。由式(3)得到梁的等效彎矩系數(shù)βb=1.75。梁的彈性彎扭屈曲臨界彎矩為Me=1.75×1036=1813kN·m>0.67Mpx。按照文獻(xiàn)的規(guī)定,如βb>1.0和Me>0.67Mpx,可按照式(24)計(jì)算臨界彎矩,否則Mcr=Me。Μcr=1.15Μpx(1-0.28Μpx/Μe)≤Μpx(24)梁的臨界彎矩為Mcr=877.74kN·m<Mpx,其設(shè)計(jì)值為:Μx=?bΜcr=0.9×877.74=790.0kΝ?m4.5純彎梁彈塑性臨界彎矩計(jì)算梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μcr=βbΜ0cr≤Μpx(25)式中:梁的臨界彎矩Mcr與均勻受彎梁或稱純彎梁的彈塑性臨界彎矩M0cr有關(guān),而M0cr又取決于純彎梁的彈性彎扭屈曲臨界彎矩Me和梁截面的塑性彎矩Mpx,可按照式(26)確定:(Μe-Μ0cr)(Μpx-Μ0cr)=ηΜeΜ0cr(26)式中:η為計(jì)及截面殘余應(yīng)力分布和梁幾何缺陷的參數(shù)。對(duì)于軋制Ⅰ形截面梁:η=0.007π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(27)對(duì)于焊接Ⅰ形截面梁,因√Μpx/Μe不同,參數(shù)η之值分為四檔。當(dāng)√Μpx/Μe<0.4時(shí),有:η=0(28a)當(dāng)0.4<√Μpx/Μe<0.8時(shí),有:η=0.014π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(28b)當(dāng)0.8≤√Μpx/Μe≤1.2時(shí),有:η=0.0056π√E/fy(28c)當(dāng)√Μpx/Μe>1.2時(shí),有:η=0.007π√E/fy(√Μpx/Μe-0.4)(28d)由于√Μpx/Μe=√883.6/1036=0.924>0.8但小于1.2,故η=0.0056π√E/fy=0.521。由式(26)得到純彎梁的彈塑性臨界彎矩M0cr=457.22kN·m。由式(8)得到梁的等效彎矩系數(shù)βb=1.67,其設(shè)計(jì)值為Mx=βbM0cr=1.67×457.22=763.55kN·m。4.6形截面梁和板梁的彎矩承載力梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤?bΜux(29)其中Μux=βbΜu0式中:Mu0由下式確定:Μu0=0.6[√(ΜpxΜe)2+3-ΜpxΜe]Μpx≤Μpx(30)圖12給出了均勻受彎Ⅰ形截面梁和板梁的彎矩承載力與試驗(yàn)資料,從圖可知,軋制Ⅰ形截面梁試件的彎矩承載力最高,焊接梁其次,板梁最低,圖中還有許多板梁試件的彎矩承載力,在式(30)所表示的曲線之下,達(dá)不到設(shè)計(jì)值。將純彎梁的彈性彎扭屈曲臨界彎矩Me=1036kN·m代入式(30),可得Mu0=571.4kN·m,因Mux=1.75Mu0=1000.15kN·m>Mpx,用Mux=883.6kN·m,其設(shè)計(jì)值為Mx=?bMux=0.9×883.6=795.24kN·m。4.7鋼結(jié)構(gòu)梁臨界彎矩的設(shè)計(jì)值梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式:Μx≤?bΜux(31)梁的計(jì)算過(guò)程都與相對(duì)長(zhǎng)細(xì)比ˉλ=√Μpx/Μe有關(guān)。式(31)中梁的極限彎矩Mux與兩個(gè)參數(shù)有關(guān),一個(gè)是塑性限值,用相對(duì)長(zhǎng)細(xì)比ˉλp=0.6-0.3Μ2/Μ1表示;另一個(gè)是彈性限值ˉλe,取截面殘余壓應(yīng)力的峰值為σrc=0.4fy,則ˉλe=√fy/(fy-σrc)≈1.291。對(duì)于短粗的梁,當(dāng)ˉλ≤ˉλp時(shí),有:Μcr=Μpx(32a)對(duì)于中長(zhǎng)的梁,當(dāng)ˉλp≤ˉλ≤ˉλe時(shí),有:Μcr=(1-0.4ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp)Μpx(32b)對(duì)于細(xì)長(zhǎng)的梁,當(dāng)ˉλ>ˉλe時(shí),有:Μcr=Μe=βbπl(wèi)y√EΙyGΙt(1+π2EΙωGΙtl2ω)(32c)梁的受彎抗力系數(shù)?b采用了與式(32)對(duì)應(yīng)的表達(dá)式。從圖12可知,有不少板梁試件的彎矩承載力,在式(32b)所表示的曲線之下,達(dá)不到設(shè)計(jì)值。經(jīng)計(jì)算,圖10中所示梁的ˉλp=0.6,ˉλe=1.291和ˉλ=√883.6/1813=0.698。因?yàn)椤ウ藀<ˉλ<ˉλe,梁的受彎抗力系數(shù)?b=0.9-0.05ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp=0.893。梁臨界彎矩的設(shè)計(jì)值為Μx=?b(1-0.4ˉλ-ˉλpˉλe-ˉλp)?Μpx=0.893×(1-0.4×0.698-0.61.291-0.6)×883.6=744.29kN·m。按照7個(gè)國(guó)家鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范的規(guī)定,梁的臨界彎矩設(shè)計(jì)值的比值為:661.3∶755.5∶795.24∶790.0∶763.55∶795.24∶744.29=1.0∶1.142∶1.203∶1.195∶1.155∶1.203∶1.125。比較上述計(jì)算結(jié)果可知,由GB50017—2003得到的梁的臨界彎矩設(shè)計(jì)值明顯偏低。圖13給出了7個(gè)國(guó)家的均勻受彎梁臨界彎矩值比較。從圖13可知,梁在彈塑性狀態(tài)屈曲時(shí),由GB50017—2003得到的Mcr/Mp值偏低。在7個(gè)國(guó)家的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中,以澳大利亞AS4100—1998梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法最為簡(jiǎn)練。之前,澳大利亞AS1250—1981梁的穩(wěn)定設(shè)計(jì)方法,在式(3