2022-2023學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

2.將拋物線），=/向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）

A.y=N+2B.y=x2-2C.y=（x+2）2D.y=（x-2）2

3.不透明的袋子中裝有1個紅球，3個綠球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出

一個球，恰好是紅球的概率是（）

A1R1r1n3

4324

4.如圖，點A,B,C,。在上，NDAB=40°,則NOC8的度數(shù)為（）

5.下列事件：①籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中；②在平面上任意畫一個三角形，

其內(nèi)角和是360。；③明天太陽從東邊升起，其中是隨機事件的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

6.圖中的五角星圖案，繞著它的中心。旋轉(zhuǎn)〃。后，能與自身重合，則〃的值至少是（）

A.144B.120C.72D.60

7.已知二次函數(shù)y=ax2-2ax+a-4的圖象與x軸的一個交點坐標是（3,0）,則關(guān)于x的

—元二次方程以2-2"+4-4=0的兩個實數(shù)根是（）

A.笛=-1,X2—3B.xi=1,X2—3C.xi=-5,及=3D.x\--1,X2—3

8.下面的四個問題中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是

A.汽車從甲地勻速行駛到乙地，剩余路程y與行駛時間x

B.當電壓一定時，通過某用電器的電流y與該用電器的電阻x

C.圓錐的母線長等于底面圓的直徑，其側(cè)面積y與底面圓的半徑x

D.用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x

二、填空題（共16分，每題2分）

9.一元二次方程*2-4=0的實數(shù)根為.

10.如圖，AB是。O的弦，OCLAB于點C,若AB=8,OC=3,則。。半徑的長為

11.若關(guān)于x的一元二次方程/+x+&=0有兩個相等的實數(shù)根，則&的值為.

12.若一個扇形的半徑是3。"，所對圓心角為60°,則這個扇形的面積是cm2.

13.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點（0,1）,寫出一個符合題意的二次函數(shù)的表

達式.

14.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（4,0）,8（3,3）,點尸是△OAB的外接圓

的圓心，則點P的坐標為

y

15.十八世紀法國的博物學(xué)家C?布豐做過一個有趣的投針試驗.如圖，在一個平面上畫一

組相距為d的平行線，用一根長度為/（/<"）的針任意投擲在這個平面上，針與直線相

交的概率為哈L,可以通過這一試驗來估計p的近似值.某數(shù)學(xué)興趣小組利用計算機模

兀d

擬布豐投針試驗，取/=松，得到試驗數(shù)據(jù)如下表：

試驗次15002000250030003500400045005000

數(shù)

相交頻4956237999541123126914341590

數(shù)

相交頻0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180

率

可以估計出針與直線相交的概率為（精確到0.001）,由此估計TT的近似值為

（精確到0.01）.

16.原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一.實心球被

擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,

實心球從出手到著陸的過程中，它的豎直高度y（單位：與水平距離x（單位：加）

近似滿足函數(shù)關(guān)系>="（x-人）,+k（a<0）.

小明進行了兩次擲實心球訓(xùn)練.

（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離X與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：

水平距離0123456

x/m

豎直高度2.02.73.23.53.63.53.2

ylm

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實心球豎直高度的最大值是3

（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.09（x

-4）2+36記第一次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為小，第二次訓(xùn)練實心球的著陸點

的水平距離為液，則"必（填“>”，"=”或.

三、解答題（共68分，第17-23題，每題5分，第24,25題，每題6分，第26-28題，每

題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：N-6X+8=0.

18.已知二次函數(shù)y=x2+Zx+3.

（1）在平面直角坐標系xOy中，畫出該函數(shù)的圖象；

（2）當-30V0時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出），的取值范圍.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程/+如計機-i=o.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)如果方程有一個根為正數(shù)，求〃，的取值范圍.

20.下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，。0及0。外一點P.

求作：過點P的。。的切線.

作法：①連接OP,分別以點0、點P為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點

M、點、N,作直線MN交O尸于點T；

②以點7為圓心，TP的長為半徑作圓，交。。于點A、點B；

③作直線PA,PB.

所以直線PA,PB就是所求作的。。的切線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成下面的證明.

證明：連接OA.

尸是OT的直徑，

：.ZOAP=0()(填推理的依據(jù)).

：.OALAP.

又：OA為。。的半徑,

直線PA是OO的切線（）（填推理的依據(jù)）.

同理可證，直線P8也是。。的切線.

21.某科技園作為國家級高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)，是重要的產(chǎn)業(yè)功能區(qū)和高技術(shù)創(chuàng)新基地，其

總收入由技術(shù)收入、產(chǎn)品銷售收入、商品銷售收入和其他收入四部分構(gòu).2022年7月份

該科技園的總收入為500億元，到9月份達到720億元，求該科技園總收入的月平均增

長率.

22.在圓周角定理的證明過程中，某小組歸納了三種不同的情況，并完成了情況一的證明.請

你選擇情況二或者情況三，并補全該情況的證明過程.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

已知：中，筋所對的圓周角為NBAC,圓心角為/8OC.

求證：ZBAC=—ZBOC.

2

證明:

情況一（如圖1）：情況二（如圖2）：情況三（如圖3）：

點。在NBAC的一邊上.點。在N84C的內(nèi)部.點O在NB4c的外部.

?：OA=OC,

：.ZA=ZC.

ZBOC=ZA+ZC,

：.ZBOC^2ZA.

2

圖3

23.在一次試驗中，每個電子元件=］的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)

的可能性相等.用列表或畫樹狀圖的方法，求圖中A,8之間電流能夠通過的概率.

A----------------1?-------1?-------------B

元件1元件2

24.如圖，是。0的直徑，AC,BC是弦,過點。作OO〃BC交4c于點。，過點A作

OO的切線與0D的延長線交于點P,連接PC.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)如果ZB=2/CP0,0D=\,求PC的長.

25.數(shù)學(xué)活動課上，老師提出一個探究問題：

制作一個體積為10^,底面為正方形的長方體包裝盒，當?shù)酌孢呴L為多少時，需要的

材料最省(底面邊長不超過3dm且不考慮接縫).

某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最小.

下面是他們的探究過程，請補充完整：

(1)設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為xdm,表面積為)@“2.

可以用含x的代數(shù)式表示長方體的高為岑&九

X

根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積=2X底面積+側(cè)面積.

得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：(0<xW3)；

(2)列出y與x的幾組對應(yīng)值：

x/dm...0.51.01.52.02.53.0

y/dm2...80.542.031.2a28.531.3

(說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位)

貝a=；

(3)在圖2的平面直角坐標系，中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫

出該函數(shù)的圖象；

(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題:

26.在平面直角坐標系xOy中，點(1,，〃)和點(3,〃)在拋物線y=N+/u-上.

(1)當m=0時，

①求拋物線的對稱軸;

②若點(7,yi),(f,”)在拋物線上，且直接寫出r的取值范圍;

(2)若切〃<0,求b的取值范圍.

27.已知等邊△A8C,點力、點B位于直線AC異側(cè)，ZADC=30°.

(1)如圖1,當點。在BC的延長線上時,

①根據(jù)題意補全圖形;

②下列用等式表示線段AO,BD,8之間的數(shù)量關(guān)系:

I.AD+CD=BD-,

II.AD2+CD2=BD2,其中正確的是(填“I”或“II”)；

(2)如圖2,當點。不在8c的延長線上時，連接50,判斷(1)②中線段A。，BD,

CC之間的正確的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立.若成立，請加以證明；若不成立，說明理由.

圖I圖2

28.對于平面直角坐標系x0)，內(nèi)的點P和圖形M,給出如下定義：如果點P繞原點。順時

針旋轉(zhuǎn)90°得到點P,點P'落在圖形〃上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)，那么稱點P是圖形

何關(guān)于原點。的“伴隨點”.

(1)己知點A(1,1),B(3,1),C(3,2).

①在點Pi(-1,0),P2(-1,1),P3(-1,2)中，點是線段AB關(guān)于原

點O的“伴隨點”；

②如果點。(加，2)是AABC關(guān)于原點。的“伴隨點”，求加的取值范圍；

(2)0E的圓心坐標為(1,〃)，半徑為1,如果直線y=-x+2〃上存在。E關(guān)于原點

。的“伴隨點”，直接寫出〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的

圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

解：選項A、B、C都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖

形重合，所以不是中心對稱圖形.

選項。能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。后與原來的圖形重合，所以是

中心對稱圖形.

故選：D.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后

與自身重合.

2.將拋物線y=N向下平移2個單位，所得拋物線的表達式為（）

A.y=N+2B.>'=x2-2C.y—（x+2）2D.y=（x-2）2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解.

解：將拋物線向下平移2個單位，則所得拋物線的表達式為y=N-2,

故選：B.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律”左加右減，上加下

減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式.

3.不透明的袋子中裝有1個紅球，3個綠球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出

一個球，恰好是紅球的概率是（）

【分析】直接由概率公式求解即可.

解：從不透明的袋子中隨機摸出一個球，恰好是紅球的概率是工=[,

1+34

故選：A.

【點評】本題主要考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解決問題的關(guān)鍵.

4.如圖，點A,B,C,。在。。上，/OA8=40°,則NQCB的度數(shù)為（）

【分析】利用圓內(nèi)接四邊形對角互補的性質(zhì)求解即可.

解：：四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，

...NA+NQCB=180°,

VZA=40°,

：.ZDCB=14O°,

故選：C.

【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，屬于

中考常考題型.

5.下列事件：①籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中；②在平面上任意畫一個三角形，

其內(nèi)角和是360。；③明天太陽從東邊升起，其中是隨機事件的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

解：①籃球隊員在罰球線上投籃一次，未投中，是隨機事件；

②在平面上任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360。，是必然事件；

③明天太陽從東邊升起，是必然事件；

故其中是隨機事件的有1個.

故選：B.

【點評】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事

件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

6.圖中的五角星圖案，繞著它的中心。旋轉(zhuǎn)〃。后，能與自身重合，則"的值至少是（）

A.144B.120C.72D.60

【分析】五角星圖案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72°,并且

圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，因而旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合.

解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72度的整數(shù)倍，就可以與自身重合，

旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為72°,

故選：C.

【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度后，與

初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度

叫做旋轉(zhuǎn)角.

7.已知二次函數(shù)尸五_2ar+a-4的圖象與x軸的一個交點坐標是（3,0）,則關(guān)于x的

一元二次方程ox2-2ax+a-4=0的兩個實數(shù)根是（）

A.xi=-1,X2=3B.XI=1,X2=3C.X\=-5,及=3D.x\=-7,X2=3

【分析】先求出拋物線的對稱軸，在求出拋物線與X軸的另一個交點，最后根據(jù)拋物線

與一元二次方程的關(guān)系求解.

解：..?拋物線的對稱軸為：x=-%=l,

根據(jù)拋物線的對稱性得：拋物線與x軸的另一個交點是（-1,0）,

???關(guān)于X的一元二次方程辦2-2利+4-4=0的兩個實數(shù)根是：XI=3,X2=-1,

故選：A.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

8.下面的四個問題中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是

y

A.汽車從甲地勻速行駛到乙地，剩余路程y與行駛時間x

B.當電壓一定時，通過某用電器的電流），與該用電器的電阻x

C.圓錐的母線長等于底面圓的直徑，其側(cè)面積y與底面圓的半徑x

D.用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x

【分析】根據(jù)每個選項的意義，找出它們之間的函數(shù)關(guān)系，逐一判斷.

解：A：汽車從甲地勻速行駛到乙地，剩余路程y是行駛時間x的一次函數(shù)，圖象應(yīng)該是

線段，

故A不符合題意；

B：當電壓一定時，通過某用電器的電流y與該用電器的電阻x成反比例關(guān)系，圖象應(yīng)該

是雙曲線的一支，

故B不符合題意；

C：圓錐的母線長等于底面圓的直徑，其側(cè)面積y與底面圓的半徑x成二次函數(shù)關(guān)系，開

口向上，

故C不符合題意；

D：用長度一定的鐵絲圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x成二次函數(shù)關(guān)系，開口向

下，

故。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)的圖象和函數(shù)關(guān)系式，理解題意是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.?—元二次方程N-4=0的實數(shù)根為xi=2,及=-2.

【分析】方程移項后，直接開平方即可.

解：%2-4=0,

*2=4,

解得XI=2,X2—-2.

故答案為：笛=2,X2=-2.

【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握平方根的定義是解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，AB是。。的弦，OCLAB于點C,若A8=8,OC=3,則。。半徑的長為5

【分析】根據(jù)垂徑定理得出4C,根據(jù)勾股定理求出即可.

解：連接OA,

\'OC±AB,

.?.C為AB的中點，

AC=^-AB=4>

在RtZXAOC中，4c=4,0C=3,

?■?^=VAC2+OC2=5-

二。。的半徑5,

故答案為：5.

【點評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出4C是解此題的關(guān)鍵.

11.若關(guān)于x的一元二次方程/+尤+&=0有兩個相等的實數(shù)根，則大的值為1-

-4-

【分析】由關(guān)于x的一元二次方程N+x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，即可得判別式A=0,

解方程可求得k的值.

解：?.?關(guān)于x的一元二次方程N+x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，

?1A=b2-4ac=l2-4X1Xk=l-44=0,

解得：仁g

故答案為：士■.

4

【點評】此題考查了一元二次方程判別式的知識.此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是掌握一

元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，即可得A=0.

2

12.若一個扇形的半徑是3CM,所對圓心角為60°,則這個扇形的面積是_cfn.

2

【分析】根據(jù)扇形的面積=型里二，進行計算.

360

解：根據(jù)扇形的面積公式，得

360兀X323（源）.

3602

故答案為］

2

【點評】本題主要考查扇形的面積的計算的知識點，熟練掌握扇形的面積公式是解答本

題的關(guān)鍵.

13.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且經(jīng)過點（0,1）,寫出一個符合題意的二次函數(shù)的表

達式丫=式+1（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到。＞0,由于二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（0,1）,則當。取

1,匕取0時可得到滿足條件的一個二次函數(shù)解析式.

解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,

???二次函數(shù)的圖象開口向上，

?.?二次函數(shù)圖象經(jīng)過點（0,1）,

：.c=l,

當a取1,6取0時，二次函數(shù)解析式為＞—x2+l.

故答案為：y=N+l.（答案不唯一）

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2+/；x+c系數(shù)符號的確定由拋物線開

□方向、對稱軸、與y軸的交點有關(guān).

14.如圖，在平面直角坐標系X。），中，點A（4,0）,8（3,3）,點P是△OAB的外接圓

的圓心，則點P的坐標為（2,1）.

【分析】利用外接圓的圓心為各邊垂直平分線的交點的性質(zhì)，找出點尸的位置，利用網(wǎng)

格圖確定點P的坐標.

解：分別作出邊。4的垂直平分線,則它們的交點即為△OAB的外接圓的圓心P,

如圖，

yf

4--r1??n

：1：：

:EMM」

^11>3\45x

則P(2,1),

故答案為：（2,1）.

【點評】本題主要考查了三角形的外接圓的圓心，線段的垂直平分線的性質(zhì)，外心的性

質(zhì)，網(wǎng)格的特性，利用外心的性質(zhì)找出點P的位置是解題的關(guān)鍵.

15.十八世紀法國的博物學(xué)家C?布豐做過一個有趣的投針試驗.如圖，在一個平面上畫一

組相距為d的平行線，用一根長度為的針任意投擲在這個平面上，針與直線相

交的概率為舁，可以通過這一試驗來估計n的近似值.某數(shù)學(xué)興趣小組利用計算機模

兀d

擬布豐投針試驗，取1=占,得到試驗數(shù)據(jù)如下表:

2

試驗次15002000250030003500400045005000

數(shù)

相交頻4956237999541123126914341590

數(shù)

相交頻0.33000.31150.31960.31800.32090.31730.31870.3180

率

可以估計出針與直線相交的概率為0.318（精確到0.001）,由此估計71的近似值為

3.14.(精確到0.01).

【分析】根據(jù)頻率和概率的關(guān)系判斷即可.

解：由題意可以估計出針與直線相交的概率為0.318,由此估計n的近似值為:1

0.3180

故答案為：0.318；3.14.

【點評】本題主要考查頻率與概率的知識，熟練掌握根據(jù)頻率估計概率的方法是解題的

關(guān)鍵.

16.原地正面擲實心球是北京市初中學(xué)業(yè)水平考試體育現(xiàn)場考試的選考項目之一.實心球被

擲出后的運動路線可以看作是拋物線的一部分.建立如圖所示的平面直角坐標系xOy,

實心球從出手到著陸的過程中，它的豎直高度y（單位：用）與水平距離x（單位：m）

小明進行了兩次擲實心球訓(xùn)練.

（1）第一次訓(xùn)練時，實心球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離0123456

x/m

豎直高度2.02.73.23.53.63.53.2

y/m

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，實心球豎直高度的最大值是3.6m；

（2）第二次訓(xùn)練時，實心球的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.09（x

-4）2+36記第一次訓(xùn)練實心球的著陸點的水平距離為力，第二次訓(xùn)練實心球的著陸點

的水平距離為d2,則&<d2（填“>”，"=”或.

【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標，即可得出實心球豎直高度的最大值；

（2）設(shè)著陸點的縱坐標為/,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點的橫

坐標，用，表示出力和42,然后進行比較即可.

解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：（4,3.6）,

實心球豎直高度的最大值是36",

故答案為：3.6；

(2)把(0,2.0)代入y=a(x-4)2+3.6得：16“+3.6=2.0,

解得a--0.1,

；.y=-0.1(x-4)2+3.6,

當y=0時，x=10(負值舍去)，

.?.&=10，*；

在y=-0.09(x-4)2+3.6中,令y=0得：

-0.09(%-4)2+3.6=0,

解得x=2j，i+4(負值舍去)，

：.dz—(2J75+4)m,

；10＜2歷+4,

'.d\＜也

故答案為：＜.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是讀

懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式.

三、解答題(共68分，第17-23題，每題5分，第24,25題，每題6分，第26-28題，每

題7分)解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

17.解方程：N-6X+8=0.

【分析】先把方程左邊分解，使原方程轉(zhuǎn)化為x-2=0或x-6=0,然后解兩個一次方程

即可.

解：(x-2)(x-4)=0,

x-2—0或x-4=0,

所以笛=2,及=4.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右邊化為0,再把左邊通

過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0,這就能

得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為

解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

18.已知二次函數(shù))，=/+2^+3.

(1)在平面直角坐標系xOy中，畫出該函數(shù)的圖象;

(2)當-3Wx<0時，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出y的取值范圍.

【分析】(1)先把解析式配成頂點式為y=x2-2x-3=(x-1)2-4,則拋物線的頂點

坐標為(1,-4),再求出拋物線與y軸的交點坐標，然后利用描點法畫出二次函數(shù)圖

象；

(2)先計算x=0時，)，=3,然后利用圖象寫出對應(yīng)的y的范圍.

解：(1)尸N-2x-3=(x-1)2-4,則拋物線的頂點坐標為(1,-4),當x=0時,

y=x2-2x-3=-3,則拋物線與y軸的交點坐標為(0,-3),

函數(shù)圖象如圖所示：

(2)觀察圖象得：當x=l時ySH、=-3；

當x—3時，y故《=0,

...當0Wx<3時，y的取值范圍為-4Wy<0.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+〃x+c(a,b,c,是常數(shù),

。#0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.也考

查了二次函數(shù)的性質(zhì).

19.已知關(guān)于x的一元二次方程/+?1計"[-1=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）如果方程有一個根為正數(shù)，求"2的取值范圍.

【分析】（1）先計算判別式的意義得到△=（，"-2）2》0,然后根據(jù)判別式的意義得到

結(jié)論；

（2）先利用求根公式解方程得xi=-1,X2=-m+\,再根據(jù)題意得到-根+1>0,從而

得到機的范圍.

【解答】（1）證明：???△=/-4（%-1）

—m1-4，w+4

=（m-2）220,

...方程總有兩個實數(shù)根；

⑵1m土（m-2）,

2

解得xi=-l,X2=-m+\,

???方程只有一個根是正數(shù)，

-m+1>0,

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根與A=62-4ac

有如下關(guān)系：當4>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當A=0時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當A<0時，方程無實數(shù)根.

20.下面是小東設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，。0及。。外一點P.

求作：過點P的。。的切線.

作法：①連接。已分別以點。、點尸為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點

M、點、N,作直線MN交OP于點T；

②以點T為圓心，7尸的長為半徑作圓，交。0于點A、點B；

③作直線PA,PB.

所以直線PA,PB就是所求作的。。的切線.

根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：連接。兒

是0T的直徑，

AZOAP=90°（直徑所對的圓周角為直角）（填推理的依據(jù)）.

：.OA^_AP.

又：0A為。。的半徑，

直線PA是00的切線（過半徑的外端且與半徑垂直的直線為圓的切線）（填推

理的依據(jù)）.

同理可證，直線PB也是的切線.

【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

（2）連接04先根據(jù)圓周角定理的推論得到NOAP=90°,0ALAP,然后根據(jù)切線的

判定定理得到直線PA為切線，同理可證，直線PB也是。。的切線.

（2）證明：連接。4,

是的直徑，

：.Z0AP=W0（直徑所對的圓周角為直角），

：.OA±AP.

又：0A為。0的半徑，

直線PA是。。的切線（過半徑的外端且與半徑垂直的直線為圓的切線），

同理可證，直線PB也是。。的切線.

故答案為：90,直徑所對的圓周角為直角；過半徑的外端且與半徑垂直的直線為圓的切

線.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，

結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了線段垂直平

分線的性質(zhì)、圓周角定理和切線的判定與性質(zhì).

21.某科技園作為國家級高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)，是重要的產(chǎn)業(yè)功能區(qū)和高技術(shù)創(chuàng)新基地，其

總收入由技術(shù)收入、產(chǎn)品銷售收入、商品銷售收入和其他收入四部分構(gòu).2022年7月份

該科技園的總收入為500億元，到9月份達到720億元，求該科技園總收入的月平均增

長率.

【分析】設(shè)該科技園總收入的月平均增長率為x,利用2022年9月份該科技園的總收入

=2022年7月份該科技園的總收入X（1+該科技園總收入的月平均增長率）2,可得出關(guān)

于x的一元二次方程，解之取其正值，即可得出結(jié)論.

解：設(shè)該科技園總收入的月平均增長率為X,

根據(jù)題意得：500（1+x）2=720,

解得：M=0.2=20%,X2—-2.2（不符合題意，舍去）.

答：該科技園總收入的月平均增長率為20%.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解

題的關(guān)鍵.

22.在圓周角定理的證明過程中，某小組歸納了三種不同的情況，并完成了情況一的證明.請

你選擇情況二或者情況三，并補全該情況的證明過程.

圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

已知：。0中，前所對的圓周角為NB4C,圓心角為NBOC.

求證：ZBAC=—ZBOC.

2

證明：

情況一（如圖1）：情況二（如圖2）：情況三（如圖3）：

點。在/8AC的一邊上.點。在NA4c的內(nèi)部.點。在/BAC的外部.

"：OA=OC,

：./4=/C.

,：ZBOC^ZA+ZC,

：.ZB0C=2ZA.

即NBAC=2NBOC.

2

圖3

【分析】情況二：當點。在NBAC的內(nèi)部，如圖2：連接A。并延長交。。于點。，利

用等腰三角形的性質(zhì)可得NC=/CAO,,從而利用三角形的外角性質(zhì)可得/C0Q=2N

CAO,同理可得：ZB0D=2ZBA0,然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答；

情況三：當點0在N8AC的外部，如圖3：連接A0并延長交于點E,利用等腰三

角形的性質(zhì)可得NC=NC40,從而利用三角形的外角性質(zhì)可得/COE=2NC4。，同理

可得N8OE=2NBA。，然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答.

【解答】證明：情況二：當點。在NBAC的內(nèi)部，

如圖2：連接4。并延長交于點

：OA=OC,

.?.NC=NCAO,

?：ZCOD^ZC+ZCAO,

：.ZCOD=2ZCAO,

同理可得：NB0D=2NBA0,

：.ZCOB=ZCOD+ZBOD

=2ZCAO+2ZBAO

=2ZBACf

：.ZBAC^—ZCOB；

2

情況三：當點O在N8AC的外部，

如圖3：連接A。并延長交。。于點E,

；OA=OC,

.,.ZC=ZCAO,

'：ZCOE=ZC+ZCAO,

：.ZC0E=2ZCA0,

同理可得：NB0E=2NBA0,

：.NCOB=4COE-NBOE

=2ZCAO-2ZBAO

=2ZCAB,

：.ZCAB^—ZCOB.

2

【點評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是

解題的關(guān)鍵.

23.在一次試驗中，每個電子元件=1的狀態(tài)有通電、斷開兩種可能，并且這兩種狀態(tài)

的可能性相等.用列表或畫樹狀圖的方法，求圖中A,8之間電流能夠通過的概率.

A----------1I----1?--------B

元件I元件2

【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，A、B之間電流能夠正常通過的結(jié)果有1種,

再由概率公式求解即可.

解：畫樹狀圖如下：

第一個通電斷開

△A

第二個通電新開通電斷開

由樹狀圖知，共有4種等可能的結(jié)果，4、3之間電流能夠正常通過的結(jié)果有1種，

???A、2之間電流能夠正常通過的概率為

【點評】此題考查了樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)

果，適合兩步或兩步以上完成的事件；正確畫出樹狀圖是解題的關(guān)鍵，注意概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

24.如圖，A2是。0的直徑，AC,8c是弦，過點。作0￡>〃BC交AC于點。，過點A作

O。的切線與0。的延長線交于點P,連接PC.

(1)求證：PC是的切線：

(2)如果/B=2/CP0,00=1,求PC的長.

【分析】(1)連接0C,可證明是AC的垂直平分線，從而得出AP=CP,進而證明

△PC0/XPAO,進而得出/PCO=NPAO=90°,進一步得出結(jié)果；

(2)可證明ND40=NCP。，進而得出/APO=ND4O=30°,在RtZSAPO中求出AP,

進而得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：如圖1,

A

圖1

連接0C，

???PA是。。的切線，

???NPAO=90°,

TAB是。0的直徑，

AZACB=90°,

YOD//BC,

：.ZADO=ZACB=90°,

?：OA=OC,

：.CD=AD,

：.AP=CPf

???OP=OP,

：./\PCO^/\PAO(555),

??.NPCO=NPAO=90°,

???點。在o。上，

???PC是。。的切線；

(2)解：由(1)得：△尸C。絲△PAO,

???NAPO=NCPO,

???/PAO=90°,

???NPAO+NQAO=90°,

'：ZPDA=ZADO=90°,

：.ZPAD+ZAPO=90°,

：.ZDAO=ZAPOf

：.ZDAO=ZCPO9

9：ZB=2ZCPO,

：.ZB=2ZDAOt

???N8+NQAO=90°,

???N8=60°,ZDAO=30°,

???NAPO=30°,

?pc—OA-1G

tanZAPOtan300V3,

【點評】本題考查了圓周角定理及其推論，切線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，解

直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識.

25.數(shù)學(xué)活動課上，老師提出一個探究問題：

制作一個體積為lOdM,底面為正方形的長方體包裝盒，當?shù)酌孢呴L為多少時，需要的

材料最省(底面邊長不超過3力”，且不考慮接縫).

某小組經(jīng)討論得出：材料最省，就是盡可能使得長方體的表面積最小.

下面是他們的探究過程，請補充完整：

(1)設(shè)長方體包裝盒的底面邊長為X&”，表面積為戶加2.

可以用含x的代數(shù)式表示長方體的高為岑法九

X

根據(jù)長方體的表面積公式：長方體表面積=2義底面積+側(cè)面積.

得到y(tǒng)與x的關(guān)系式：2N+些(0<xW3)；

X

(2)列出y與x的幾組對應(yīng)值：

x/dm...0.51.01.52.02.53.0

yldm2...80.542.031.2a28.531.3

(說明：表格中相關(guān)數(shù)值精確到十分位)

則a=28；

(3)在圖2的平面直角坐標系xOy中，描出以補全后的表中各對對應(yīng)值為坐標的點，畫

出該函數(shù)的圖象；

(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題:

長方體包裝盒的底面邊長約為2%"時,需要的材料最省.

【分析】(1)根據(jù)長方體的表面積公式求解即可:

(2)求出x=2時，丫的值即可；

(3)利用描點法畫出函數(shù)圖像即可；

(4)利用圖象法判斷即可.

1040

解：(1)由題意，y—2x2+4xX—^-=2x2+-=—；

X”X

故答案為：y=2x2+-^-；

x

(2)當x=2時，，a=y=8+20=28；

故答案為：28；

(3)函數(shù)圖像如圖所示：

y/dm2

Ir

I

00L

(4)觀察圖象可知，當x約為2而?時，需要的材料最省.

故答案為：2.

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了長方體的性質(zhì)，函數(shù)圖像等知識，解題的關(guān)鍵

是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型.

26.在平面直角坐標系xOy中，點(1,m')和點(3,在拋物線了=r+床上.

(1)當m=0時,

①求拋物線的對稱軸；

②若點(-1,yi),(n”)在拋物線上，且”〉?，直接寫出f的取值范圍；

(2)若相"<0,求匕的取值范圍.

【分析】(1)①把(1,0)代入尸/+如得b=-1,求出解析式，進而求出頂點坐標;

②把(-1,yi)代入y=/-x,求出yi=2,再求出它的對稱點，根據(jù)”>yi,求出r的

取值范圍；

f1+b>0°,@lm<01+b<0(?

(2)當,"〃<0,有兩種情況，①V歸。闌

n<09+3b<。②n>09+3b>0②'

求出不等式得解.

解：(1)①?.?根=0,

???把(1,0)代入y=N+法，得b=-1,

.\y=x2-x,

拋物線的對稱軸為直線：

②；(-1,yi)在y=x2-x上，

，yi=2,

A(-1,2),

???它的對稱點為(2,2),

：.t<-1或f>2；

(2)把點(1,相)和點(3,〃)代入y=N+bx,得

m=\+b,n=9+3b,

當m〃VO,有兩種情況，

(m>0(l+b>0①

ln<09+3b<0②

解不等式①，得-1,

解不等式②，得6V-3,

此不等式組無解；

cm<0m[fl+b<0①

n>019+3b>0②

解不等式①，得-1,

解不等式②，得6>-3,

此不等式組的解集為-3<b<-1,

綜上所述人的取值范圍是：

【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握這

兩個知識點的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵.

27.已知等邊△ABC,點。、點B位于直線AC異側(cè)，NAQC=30°.

(1)如圖1,當點。在8c的延長線上時，

①根據(jù)題意補全圖形；

②下列用等式表示線段4。，BD,CD之間的數(shù)量關(guān)系：

I.AD+CD=BD；

II.AD^+C^BD2,其中正確的是II(填“I”或“II”)；

(2)如圖2,當點。不在8c的延長線上時，連接BD,判斷(1)②中線段4，BD,

CD之間的正確的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立.若成立，請加以證明；若不成立，說明理由.

圖I圖2

【分析】(1)①根據(jù)要求作出圖形即可;

②證明AB=8,ZBAD=90°,利用勾股定理，三角形的三邊關(guān)系判斷即可;

(2)結(jié)論：AEfi+CI^^BD2.如圖2中，以A。為邊向下作等邊△AQE,連接BE.證明

△BAE絲△04。(.SAS),推出NAEB=NADC=30°,BE=CD,推出NBEC=NAEO+

/4E8=90°,可得結(jié)論.

解：(1)①圖形如圖所示:

圖I

②:△ABC是等邊三角形，

.?./B=/ACB=N8AC=60°,

VZACB^ZD+ZCAD,/D=30°,

AZCAD=ZD=30°,

：.CA=CD=AB,

'：AB+AD>BD,

：.AD+CD>B