遼寧省大連市沙河口區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）如圖，用放大鏡將圖形放大，這種圖形的改變是（）A．相似 B．平移 C．軸對(duì)稱 D．旋轉(zhuǎn)2．（3分）拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）3．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，則DE的長(zhǎng)度是（）A．6 B． C． D．5．（3分）如果拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，0），那么它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）6．（3分）已知tanA＝，∠A是銳角，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．（3分）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）8．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2+6的圖象，下列結(jié)論不正確的是（）A．開口向上 B．x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 C．對(duì)稱軸是y軸 D．拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣6）9．（3分）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長(zhǎng)是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離BC為（）A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米10．（3分）“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)99元時(shí)，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時(shí)，日銷售量會(huì)增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為x（元），主播每天的利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+×10） D．w＝（x﹣50）（200+×10）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，則S△ABC：S△A′B′C′為．12．（3分）如圖，測(cè)得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，則河寬AB為米．13．（3分）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，則BC＝．14．（3分）如圖，漁船在A處看到燈塔C在北偏東60°方向上，漁船向正東方向航行了12km達(dá)B處，在B處看到燈塔C在正北方向上，則A處與燈塔C的距離是．15．（3分）“盧溝曉月”是著名的北京八景之一，每當(dāng)黎明斜月西沉，月色倒影水中，更顯明媚皎潔．古時(shí)乾隆皇帝曾在秋日路過(guò)盧溝橋，賦詩(shī)“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度OA約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標(biāo)系，則主橋拱所在拋物線可以表示為y＝﹣（x﹣11）2+k，則主橋拱最高點(diǎn)P與其在水中倒影P'之間的距離為米．三、解答題（本大題含8道小題，共75分）16．（4分）（1）計(jì)算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度數(shù)．17．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求：（1）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）△ABC的面積．18．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D在邊AC上，且DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．19．（9分）圖1是停車場(chǎng)入口處的升降桿，當(dāng)汽車刷牌照進(jìn)入時(shí)，升降桿就會(huì)從水平位置升起．圖2是其示意圖，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．現(xiàn)由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大為42°．（1）求故障時(shí)A點(diǎn)最高可距離地面多少m（精確到0.1m）．（2）若一輛箱式小貨車寬1.8m，高2.4m，請(qǐng)問(wèn)這輛車能否在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)？（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）20．（8分）學(xué)習(xí)了相似三角形知識(shí)后，小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自制的直角三角形紙板測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹的高度．已知三角形紙板的斜邊長(zhǎng)為0.5米，較短的直角邊長(zhǎng)為0.3米．（1）小麗先調(diào)整自己的位置至點(diǎn)P，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)位置記為A、B、C（如圖①），斜邊AB平行于地面MN（點(diǎn)M、P、E、N在一直線上），且點(diǎn)D在邊AC（較長(zhǎng)直角邊）的延長(zhǎng)線上，此時(shí)測(cè)得邊AB距離地面的高度EF為1.5米，小麗與古樹的距離AF為16米，求古樹的高度DE；（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動(dòng)自己的位置至點(diǎn)Q，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)的新位置記為A′、B′、C′（如圖②），使直角邊B′C′（較短直角邊）平行于地面MN（點(diǎn)M、Q、E、N在一直線上），點(diǎn)D在斜邊B′A′的延長(zhǎng)線上，且測(cè)得此時(shí)邊B′C′距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動(dòng)了多少米？21．（8分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國(guó)跳水冠軍賽女子單人10米跳臺(tái)決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過(guò)程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如果她從點(diǎn)A（3，10）起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過(guò)程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：；（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為d1；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為d2，則d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)B開始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時(shí)間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6秒的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成此動(dòng)作？22．（12分）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，∠AEF＝∠ABD．求證：∠BAD＝∠CGF．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）王老師提出了新問(wèn)題，求證DG＝AF．王老師的問(wèn)題引發(fā)了同學(xué)們的思考，并積極地進(jìn)行了小組討論．在展示交流的過(guò)程中，小明同學(xué)分享了他的思路，他先發(fā)現(xiàn)并證明了AE和GE相等，然后又構(gòu)造全等得到了結(jié)論．相信你也得到了啟發(fā)，請(qǐng)你完成證明DG＝AF；問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)BG＝CF＝3AF時(shí)，可以求的值，請(qǐng)你嘗試完成解答．23．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2+2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)且AB＝4，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，連接CM，以M為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在拋物線上，求點(diǎn)M坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AD，CP交于H，當(dāng)∠CHD＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

參考答案與試題解析一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）如圖，用放大鏡將圖形放大，這種圖形的改變是（）A．相似 B．平移 C．軸對(duì)稱 D．旋轉(zhuǎn)【分析】根據(jù)軸對(duì)稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的特點(diǎn)，結(jié)合圖形即可得出答案．【解答】解：根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似形的識(shí)別，關(guān)鍵要聯(lián)系圖形，根據(jù)相似圖形的定義得出．2．（3分）拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：∵拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1，∴拋物線y＝3（x﹣2）2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線頂點(diǎn)式確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，熟練掌握頂點(diǎn)式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則tanA的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出tanA＝，再代入求出答案即可．【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tanA＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解此題的關(guān)鍵．4．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，BC＝4，EF＝5，則DE的長(zhǎng)度是（）A．6 B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴AB：BC＝DE：EF，即2：4＝DE：5，∴DE＝2.5，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于中考?？碱}型．5．（3分）如果拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（6，0），那么它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性解答即可．【解答】解：∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），對(duì)稱軸為直線x＝2，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確理解拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．6．（3分）已知tanA＝，∠A是銳角，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【解答】解：∵，且∠A是銳角，∴∠A＝30°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵是掌握幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值．7．（3分）如圖，線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2）、B（3，1），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，則端點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為（）A．（3，1） B．（3，3） C．（4，1） D．（4，4）【分析】利用位似圖形的性質(zhì)結(jié)合對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比的關(guān)系得出C點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB擴(kuò)大為原來(lái)的2倍后得到線段CD，∴A點(diǎn)與C點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），位似比為：1：2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（4，4）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確把握位似比與對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．8．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝3x2+6的圖象，下列結(jié)論不正確的是（）A．開口向上 B．x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小 C．對(duì)稱軸是y軸 D．拋物線過(guò)點(diǎn)（0，﹣6）【分析】依據(jù)題意，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷可以得解．【解答】解：由題意，∵y＝3x2+6，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6）．綜上，A、B、C均正確，D不正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．9．（3分）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長(zhǎng)是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離BC為（）A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sinα＝＝，進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（3分）“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為一種熱門的銷售方式，某抖音主播代銷某一品牌的電子產(chǎn)品（這里代銷指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物銷售后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）．銷售中發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)99元時(shí)，日銷售量為200件，當(dāng)每件電子產(chǎn)品每下降5元時(shí)，日銷售量會(huì)增加10件．已知每售出1件電子產(chǎn)品，該主播需支付廠家和其他費(fèi)用共50元，設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為x（元），主播每天的利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)解析式為（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+×10） D．w＝（x﹣50）（200+×10）【分析】設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為x（元），主播每天的利潤(rùn)為w（元），根據(jù)每件利潤(rùn)＝實(shí)際售價(jià)﹣成本價(jià)，銷售量＝原銷售量+因價(jià)格下降而增加的數(shù)量，總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售數(shù)量，即可得出w與x之間的函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)每件電子產(chǎn)品售價(jià)為x（元），主播每天的利潤(rùn)為w（元），則每件盈利（x﹣50）元，每天可銷售（200+×10）件，根據(jù)題意得：w＝（x﹣50）（200+×10），故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，理解題意找到題目蘊(yùn)含的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知△ABC∽△A′B′C′且＝，則S△ABC：S△A′B′C′為1：4．【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算即可．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，＝，∴＝（）2＝1：4，故答案為：1：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，測(cè)得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，則河寬AB為100米．【分析】由兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．【解答】解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD，∴，則AB＝，∴AB＝＝100（米）．故答案為：100．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用；用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．13．（3分）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，AD＝2，則BC＝．【分析】先利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算出∠ABD＝30°，則∠A＝∠ABD，所以BD＝AD＝2，然后在Rt△BDC中利用∠BDC的正弦可計(jì)算出BC的長(zhǎng)．【解答】解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，而∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴BD＝AD＝2，在Rt△BDC中，∵sin∠BDC＝，∴BC＝2sin60°＝2×＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．14．（3分）如圖，漁船在A處看到燈塔C在北偏東60°方向上，漁船向正東方向航行了12km達(dá)B處，在B處看到燈塔C在正北方向上，則A處與燈塔C的距離是8km．【分析】先根據(jù)題意得出∠BAC＝30°，AB＝12km，再由cos∠BAC＝得AC＝，據(jù)此代入計(jì)算可得．【解答】解：由題意知∠BAC＝30°，AB＝12km，在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝8（km），即A處與燈塔C的距離是8km，故答案為：km．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，在解決有關(guān)方向角的問(wèn)題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角．15．（3分）“盧溝曉月”是著名的北京八景之一，每當(dāng)黎明斜月西沉，月色倒影水中，更顯明媚皎潔．古時(shí)乾隆皇帝曾在秋日路過(guò)盧溝橋，賦詩(shī)“半鉤留照三秋淡，一練分波平鏡明”于此，并題“盧溝曉月”，立碑于橋頭．盧溝橋主橋拱可以近似看作拋物線，橋拱在水面的跨度OA約為22米，若按如圖所示方式建立平面直角坐標(biāo)系，則主橋拱所在拋物線可以表示為y＝﹣（x﹣11）2+k，則主橋拱最高點(diǎn)P與其在水中倒影P'之間的距離為26米．【分析】把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k求出k，根據(jù)鏡面對(duì)稱可得PP′＝2k，即可求得結(jié)果．【解答】解：由二次函數(shù)的圖象可知，A（22，0）在拋物線上，把A（22，0）代入y＝﹣（x﹣11）2+k得：0＝﹣（22﹣11）2+k，解得：k＝13，∴y＝﹣（x﹣11）2+13，∵P和P′關(guān)于x軸對(duì)稱，∴PP′＝2×13＝26（米），故答案為：26．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，把A（22，0）代入函數(shù)解析式求出k值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題含8道小題，共75分）16．（4分）（1）計(jì)算：tan60°+9tan30°﹣8sin60°﹣2cos45°；（2）在△ABC中，∠C＝90°，，，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）將tan60°＝，tan30°＝，sin60°＝及cos45°＝代入原式，即可求出結(jié)論；（2）在Rt△ABC中，利用正切的定義可求出tanA的值，進(jìn)而可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：（1）原式＝+9×﹣8×﹣2×＝﹣；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，∴tanA＝＝，∴∠A＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握各特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．17．（8分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求：（1）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)題意得出求出圖象與x軸以及y軸交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)求出AB，CO長(zhǎng)，即可求出S△ABC的值．【解答】解：（1）令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0）；B（3，0）；（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3，∴S△ABC＝＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形面積的計(jì)算，熟練進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（10分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，點(diǎn)D在邊AC上，且DE⊥AC交BC于點(diǎn)E．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再結(jié)合公共角相等，即可證出△CDE∽△CBA；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn)可求出CE的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求出DE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠B．又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝4．∵E是BC中點(diǎn)，∴CE＝BC＝2．∵△CDE∽△CBA，∴＝，即＝，∴DE＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用“兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似”證出兩三角形相似；（2）利用相似三角形的性質(zhì)求出DE的長(zhǎng)．19．（9分）圖1是停車場(chǎng)入口處的升降桿，當(dāng)汽車刷牌照進(jìn)入時(shí)，升降桿就會(huì)從水平位置升起．圖2是其示意圖，其中BE∥CD，BC⊥CD，ED⊥CD，AB＝CD＝3.3m，BC＝1m．現(xiàn)由于故障，AB不能完全升起，∠ABE最大為42°．（1）求故障時(shí)A點(diǎn)最高可距離地面多少m（精確到0.1m）．（2）若一輛箱式小貨車寬1.8m，高2.4m，請(qǐng)問(wèn)這輛車能否在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)？（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，當(dāng)故障時(shí)A點(diǎn)最高時(shí)，在Rt△ABF利用銳角三角函數(shù)計(jì)算出AF，進(jìn)而可得出此時(shí)A點(diǎn)離地面的高度；（2）在CD上取點(diǎn)H，使得DH＝1.8m，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥CD，交AB于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)M，可得出HM、BM，在Rt△BMG中利用銳角三角函數(shù)可計(jì)算出GM長(zhǎng)，進(jìn)而可得出GH，根據(jù)GH長(zhǎng)度與2.4的大小關(guān)系即可進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE于點(diǎn)F，則∠AFB＝90°，當(dāng)故障時(shí)A點(diǎn)最高時(shí)，∠ABF＝42°，在Rt△ABF中，sin42°＝，即0.67＝，∴AF＝2.211m，∴此時(shí)A點(diǎn)離地面長(zhǎng)為：2.211+1＝3.211≈3.2m；（2）在CD上取點(diǎn)H，使得DH＝1.8m，過(guò)點(diǎn)H作HG⊥CD，交AB于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)M，則HM＝BC＝1m，CH＝BM＝3.3﹣1.8＝1.5m，在Rt△BMG中，tan42°＝，即0.9＝，∴GM＝1.35m，∴GH＝GM+MH＝1.35+1＝2.35m＜2.4m，∴一輛箱式小貨車寬1.8m，高2.4m不能在升降桿故障時(shí)進(jìn)入停車場(chǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造合適的輔助線．20．（8分）學(xué)習(xí)了相似三角形知識(shí)后，小麗同學(xué)準(zhǔn)備用自制的直角三角形紙板測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹的高度．已知三角形紙板的斜邊長(zhǎng)為0.5米，較短的直角邊長(zhǎng)為0.3米．（1）小麗先調(diào)整自己的位置至點(diǎn)P，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)位置記為A、B、C（如圖①），斜邊AB平行于地面MN（點(diǎn)M、P、E、N在一直線上），且點(diǎn)D在邊AC（較長(zhǎng)直角邊）的延長(zhǎng)線上，此時(shí)測(cè)得邊AB距離地面的高度EF為1.5米，小麗與古樹的距離AF為16米，求古樹的高度DE；（2）為了嘗試不同的思路，小麗又向前移動(dòng)自己的位置至點(diǎn)Q，將直角三角形紙板的三個(gè)頂點(diǎn)的新位置記為A′、B′、C′（如圖②），使直角邊B′C′（較短直角邊）平行于地面MN（點(diǎn)M、Q、E、N在一直線上），點(diǎn)D在斜邊B′A′的延長(zhǎng)線上，且測(cè)得此時(shí)邊B′C′距離地面的高度依然是1.5米，那么小麗向前移動(dòng)了多少米？【分析】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC，再利用Rt△ABC和Rt△ADF相似求得DF的長(zhǎng)，加上EF，即可求得樹高DE；（2）利用Rt△A′B′C′和Rt△D′B′F相似求得B′F的長(zhǎng)，即可求得小麗向前移動(dòng)了多少米．【解答】解：（1）∵∠DFA＝∠ACB＝90°，∠DAF＝∠CAB，∴△DFA∽△BCA，∴＝，在Rt△ABC中，∵AB＝0.5m，BC＝0.3m，由勾股定理得AC＝＝0.4（m），∵AF＝16m，∴＝，∴DF＝12（m），∴DE＝DF+EF＝12+1.5＝13.5（m），答：古樹的高度DE為13.5米；（2）∵∠D′FB′＝∠A′C′B′＝90°，∠D′B′F＝∠A′B′C′，∴△D′FB′∽△A′C′B′，∴＝，∴＝，∴B′F＝9（m），∴16﹣9＝7（m），答：小麗向前移動(dòng)了7米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證得△DFA∽△BCA和△D′FB′∽△A′C′B′．21．（8分）中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國(guó)跳水冠軍賽女子單人10米跳臺(tái)決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過(guò)程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如果她從點(diǎn)A（3，10）起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過(guò)程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m033.544.5豎直高度y/m1010k106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為11.25，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為d1；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為d2，則d1＜d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)B開始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時(shí)間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6秒的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成此動(dòng)作？【分析】（1）待定系數(shù)法求出解析式，即可；（2）分別求出兩個(gè)解析式當(dāng)y＝0時(shí)，x的值，進(jìn)行比較即可；（3）先求出c的值，再求出t＝1.6時(shí)的y值，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：（1）由表格可知，圖象過(guò)點(diǎn)（3，10），（4，10），（4.5，6.25），∴h＝＝3.5，∴y＝a（x﹣3.5）2+k，∴，解得：，∴y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25；故答案為：11.25，y＝﹣5（x﹣3.5）+11.25，（2∵y＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，當(dāng)y＝0時(shí)：0＝﹣5（x﹣3.5）2+11.25，解得：x＝5或x＝2（不合題意，舍去）；∴d1＝5米；∵y＝﹣5x2+40x﹣68，當(dāng)y＝0時(shí)：﹣5x2+40x﹣68＝0，解得：x＝+4或x＝﹣+4（不合題意，舍去）；∴d2＝+4＞5，∴d1＜d2，故答案為：＜；（3）y＝﹣5x2+40x﹣68＝﹣5（x﹣4）2+12，∴B（4，12），∴c＝12，∴y＝﹣5t2+12，當(dāng)t＝1.6時(shí)，y＝﹣5×1.62+12＝﹣0.8，∵﹣0.8＜0，即她在水面上無(wú)法完成此動(dòng)作，∴她當(dāng)天的比賽不能成功完成此動(dòng)作．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式．22．（12分）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AC上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，∠AEF＝∠ABD．求證：∠BAD＝∠CGF．獨(dú)立思考：（1）請(qǐng)解答王老師提出的問(wèn)題；實(shí)踐探究：（2）王老師提出了新問(wèn)題，求證DG＝AF．王老師的問(wèn)題引發(fā)了同學(xué)們的思考，并積極地進(jìn)行了小組討論．在展示交流的過(guò)程中，小明同學(xué)分享了他的思路，他先發(fā)現(xiàn)并證明了AE和GE相等，然后又構(gòu)造全等得到了結(jié)論．相信你也得到了啟發(fā)，請(qǐng)你完成證明DG＝AF；問(wèn)題解決：（3）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)BG＝CF＝3AF時(shí)，可以求的值，請(qǐng)你嘗試完成解答．【分析】（1）由四邊形的內(nèi)角和定理可得∠BAD+∠BGE＝180°，即可求解；（2）由“SAS”可證△BGE≌△BHE，可得HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，由“SAS”可證△AEF≌△NEG，可得∠AFE＝∠N，AF＝GD，由外角的性質(zhì)可求解；（3）通過(guò)證明△EGD∽△BAD，可得，可求ED＝x，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠AEF+∠AEG＝180°，∠AEF＝∠ABD，∴∠ABD+∠AEG＝180°，∵∠ABD+∠AEG+∠BAD+∠BGE＝360°，∴∠BAD+∠BGE＝180°，∵∠CGF+∠BGE＝180°，∴∠CGF＝∠BAD；（2）證明：如圖1，在AB上截取BH＝BG，連接HE，延長(zhǎng)AD至N，使EN＝EF，連接GN，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵BG＝BH，BE＝BE，∴△BGE≌△BHE（SAS），∴HE＝EG，∠BGE＝∠BHE，∴∠AHE＝∠CGF，由（1）可得∠CGF＝∠BAD，∴∠AHE＝∠BAD，∴AE＝HE，∴AE＝EG，又∵EF＝EN，∠AEF＝∠GEN，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠AFE＝∠N，AF＝GD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠AEF＝∠GED，∴∠ACB+∠FGC＝∠GED+∠FGC，∴∠AFE＝∠GDN，∴∠N＝∠GDN，∴GD＝GN，∴AF＝GD；（3）解：∵BG＝CF＝3AF，∴設(shè)AF＝x，則BG＝CF＝3x，由（2）可知：AF＝GD＝x，∴BD＝AC＝4x＝AB，又∵BE平分∠ABC，∴AE＝DE，∵∠EGC＝∠BAD，∠ADB＝∠GDE，∴△EGD∽△BAD，∴，∴2ED2＝4x2，∴ED＝x（負(fù)值舍去），∴AD＝2x，∴＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．23．（12分）如圖1，拋物線y＝ax2+2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)且AB＝4，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的對(duì)稱軸和解析式；（2）拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，連