熱傳導(dǎo)方程的應(yīng)用

1.熱的內(nèi)涵的理解在討論熱方程的數(shù)學(xué)之前，我們必須首先確定“熱”的含義是什么。一個(gè)很常見(jiàn)的誤解術(shù)語(yǔ)“熱”的例子，非常經(jīng)典的物理問(wèn)題：一盆溫水和一杯開(kāi)水，哪個(gè)含的熱量多？我們都知道一杯開(kāi)水有較高的溫度，但沒(méi)有一盆溫水的熱量多。因此，在計(jì)算關(guān)于熱的問(wèn)題時(shí)，我們必須區(qū)分這兩個(gè)度量：溫度的度量跟物體所含熱量的度量。在這里提到的熱都是關(guān)于物體所含熱量的。2.參數(shù)熱方程的導(dǎo)出研究某一物體內(nèi)的熱流率有兩種方法。一種是考慮研究對(duì)象的物質(zhì)的屬性，另一種是考慮熱量通過(guò)研究對(duì)象邊界的速度。2.1熱、熱量的計(jì)算實(shí)驗(yàn)計(jì)算表明：t時(shí)刻ΔV內(nèi)的熱量Q可以由下面式子給出。其中c是比熱，ρ是密度，u是溫度，ΔV是體積元?？紤]這樣一根細(xì)桿，如圖1。由單一材料組成，沿著桿長(zhǎng)的邊界完全絕熱，熱量只能通過(guò)兩端流入或流出。沿著桿長(zhǎng)的任意一點(diǎn)標(biāo)記為x，桿的總長(zhǎng)度記作L，則：0≤x≤L。由此我們發(fā)現(xiàn)溫度u只和位置x、時(shí)間t有關(guān)。于是有：現(xiàn)在考慮細(xì)桿的一小段區(qū)域U，如圖2。從x=a，到x=b的間隔段。其橫截面積記作S，長(zhǎng)度元記作Δx，如圖3。得到：ΔV=SΔx。我們現(xiàn)在可以將所選元的熱量表示為：為得到t時(shí)刻區(qū)域U的熱量，我們?nèi)》e分：由于桿是均勻的，S不隨時(shí)間改變。而且我們考慮的是單一材料組成的細(xì)桿，比熱c，密度ρ都跟時(shí)間無(wú)關(guān)。所以兩邊微分，右邊則是u的偏微分，得到熱量關(guān)于時(shí)間的變化為：2.2過(guò)直徑細(xì)桿熱流速度的計(jì)算我們研究熱量隨時(shí)間變化的第二種方法也是根據(jù)實(shí)驗(yàn)的，考慮跟方法一中類似的細(xì)桿。通過(guò)U的熱流速度跟U的長(zhǎng)度成反比，而與其橫截面積成正比。這是合理的，因?yàn)闂U越長(zhǎng)，熱量通過(guò)它所花的時(shí)間就越長(zhǎng)。如果你有兩根細(xì)桿，一根直徑大，另一根直徑較小。熱量通過(guò)較大直徑的細(xì)桿所花的時(shí)間比通過(guò)直徑較小細(xì)桿所花的時(shí)間要小，對(duì)于橫截面積也是同樣的道理。當(dāng)兩個(gè)不同溫度物體放在一起時(shí)，熱量會(huì)從溫度高的一方流向溫度低的一方。利用這個(gè)特性，如果x=b處的溫度大于x=a處的溫度，則熱量會(huì)從b→a。如圖4:結(jié)合這些特性我們發(fā)現(xiàn)：比例常數(shù)C被稱為導(dǎo)熱系數(shù)，這個(gè)因數(shù)跟被估計(jì)對(duì)象的材料有關(guān)。為了證明這是正確的，我們需要表示出區(qū)域U的熱量，U的邊界是：如果溫度u(a+Δx,t)>u(a,t)，那么ΔQ將是負(fù)的。這是合理的，因?yàn)槿绻鸼處的溫度高于a處的，熱量會(huì)從b流向a，導(dǎo)致熱量流出細(xì)桿。讓（2-6）式中Δx→0，差商項(xiàng)將接近。那么通過(guò)a處的熱流速度可以表示為：根據(jù)同樣的討論，我們可以得到b處的熱流速度為：于是，t時(shí)刻U所含的熱量可以表示為：如果我們對(duì)（2-9）式應(yīng)用微分基本定理，可以得到：由于我們考慮的是單一物質(zhì)組成、有固定的橫截面積的細(xì)桿，我們可以說(shuō)C、S是常數(shù)。于是表達(dá)式可以改寫為：3.．兩等式都是熱傳導(dǎo)方程現(xiàn)在我們有兩個(gè)等式來(lái)表示進(jìn)出區(qū)域U熱量的流速。方法一：方法二：由于兩個(gè)等式都模擬了通過(guò)某一細(xì)桿的熱流速度，我們令這兩等式相等。移項(xiàng)到等式同一邊，消去公共項(xiàng)。即：但是，只有當(dāng)被積函數(shù)等于零時(shí)積分才恒等于零。于是有：等式兩邊同時(shí)除以cρ得：將常數(shù)都化為一個(gè)數(shù)k，即令k=，等式變?yōu)椋哼@個(gè)等式更廣泛地寫成下標(biāo)形式，即：其