車輛優(yōu)化設(shè)計理論與實踐約束問題的優(yōu)化方法概述隨機方向法復(fù)合形法可行方向法懲罰函數(shù)方法增廣乘子法模糊優(yōu)化設(shè)計方法簡介遺傳算法優(yōu)化方法簡介4.1概述約束問題的優(yōu)化方法有哪些？約束優(yōu)化問題的求解有兩種思路，一種是從問題本身出發(fā)，在可行區(qū)域內(nèi)尋優(yōu)，實現(xiàn)這種思路的算法稱為有約束優(yōu)化問題的直接搜索算法；另一種思路是對有約束優(yōu)化問題進行一定的處理，將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，然后利用無約束優(yōu)化問題的算法，實現(xiàn)這種思路的算法稱為間接算法。有約束優(yōu)化問題的直接搜索算法和間接搜索算法最大的區(qū)別就在于每次迭代后是否要對迭代點進行可行性檢驗，即檢驗所得到的迭代點是否滿足約束條件。為了保證每次迭代后的點都是可行點，直接算法需要進行可行性檢驗，而間接算法則不需要進行可行性檢驗。本章主要介紹幾種比較典型的有約束優(yōu)化問題算法，包括直接算法中的隨機方向法、符合形法、可行方向法和間接算法中的懲罰函數(shù)法。4.2隨機方向方法4.2.1隨機方向法的工作原理隨機方向法搜索原理如圖4-1所示，其基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個可行的初始點，利用隨機數(shù)產(chǎn)生若干個隨機方向，從中找到一個能使目標函數(shù)值下降最快的隨機方向作為可行搜索方向，記作S。沿方向以一定的步長進行搜索，得到滿足約束條件且較初始點更優(yōu)的新點，至此完成一輪迭代。然后，以新點為新的初始點，即令。重復(fù)以上過程，經(jīng)過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。圖4-1隨機方向法的原理實現(xiàn)隨機方向法的關(guān)鍵包括初始點的選擇，可行搜方向的產(chǎn)生和搜索步長的選擇等問題。

(1)初始點形成隨機方向法的初始點必須是一個可行點，即滿足全部不等式約束條件：。當約束條件較為復(fù)雜，用人工不易選擇可行初始點時，可用隨機選擇的方法來產(chǎn)生。計算隨機點的步驟如下：

1）輸入設(shè)計變量的下限值和上限值，即

2）產(chǎn)生在區(qū)間內(nèi)的偽隨機數(shù)

4.2.2方法實現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)

3）計算隨機點的各分量（4-2）

4）判別隨機點X是否可行，若隨機點X為可行點，則取初始點；若隨機點X為非可行點，則轉(zhuǎn)步驟2）重新計算，直到產(chǎn)生的隨機點是可行點為止。在Matlab語言中，可以利用rand函數(shù)根據(jù)輸入?yún)?shù)不同能夠產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)矩陣。于是，隨機點用Matlab語句可表示為:(2)隨機方向的產(chǎn)生

在隨機方向法中，產(chǎn)生可行搜索方向的方法是從個隨機方向中，選取一個較好的方向。其計算步驟為：

1）在區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機數(shù)，按下式計算隨機單位向量（4-3）2）取一試驗步長，按下式計算K個隨機點（4-4）顯然，K個隨機點分布在以初始點為中心，以試驗步長為半徑的超球面上。3）檢驗K個隨機點是否為可行點，除去非可行點，計算余下的可行隨機點的目標函數(shù)值，比較其大小，選出目標函數(shù)值最小的點。4）比較和兩點的目標函數(shù)值，若，則取和的連線方向作為可行搜索方向為止。如果縮小到很?。ɡ纾匀徽也坏揭粋€使則說明是一個局部極小點，此時可更換初始點，轉(zhuǎn)步驟1）。

綜上所述，產(chǎn)生可行捜索方向的條件可概括為，當點滿足（4-5）則可行搜索方向為（4-6）在Matlab語言中，rand函數(shù)根據(jù)輸入?yún)?shù)不同能夠產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)矩陣。式(4-2)可表示為:

(3)搜索步長的確定可行搜索方向S確定后，初始點移至點XL，即，從點出發(fā)沿方向S進行搜索，所用的步長一般按加速步長法來確定。所謂加速步長法是指依次迭代的步長按一定的比例遞增的方法。各次迭代的步長按下式計算：

（4-7）

式中：

——步長加速系數(shù)，可取；——步長，初始步長取

1）選擇一個可行的初始點；

2）按式（4-3）產(chǎn)生K個n維隨機單位向量；

3）取試驗步長，按式（4-4）計算出k個隨機點；

4）在k個隨機點中，找出滿足式（4-5）的隨機點XL，產(chǎn)生可行搜索方向。

5）從初始點出發(fā)，沿可行搜索方向S以步長進行迭代計算，直到搜索到一個滿足全部約束條件，且目標函數(shù)值不再下降的新點X。

6）判別新點是否是（4-8）的收斂條件，若滿足，迭代終止。約束最優(yōu)解為，。否則，令轉(zhuǎn)步驟2），隨機方向法的程序框圖見圖4-2。4.2.3計算步驟及流程

（4-8）圖4-2隨機方向法框圖例4-1求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解?！窘狻坑秒S機方向法程序，在計算機上運行，共迭代

13次，求得約束最優(yōu)解：計算結(jié)果摘錄于表4-1，圖解示于圖4-3

表4-1例4-1的計算結(jié)果0-2.02.06.01-0.1681.1171.1964-0.0031.0241.0257-0.1140.7170.73010-0.007-2.998-2.99713-0.002-3.0-3.0圖4-3例4-1的圖解4.3復(fù)合法4.3.1復(fù)合形法的工作原理

復(fù)合形法是通過在可行域內(nèi)構(gòu)造具有個頂點的初始復(fù)合形，對該復(fù)合形各頂點的目標函數(shù)值進行比較，找到目標函數(shù)值最大的頂點（稱最壞點），然后按一定的法則求出目標函數(shù)值有所下降的可行的新點，用新點代替最壞點，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀每改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。從復(fù)合形法工作原理可看出，實現(xiàn)復(fù)合形法最關(guān)鍵的是:構(gòu)造復(fù)合形和復(fù)合形變換等問題。圖4-4復(fù)合形法的算法原理(1)初始復(fù)合形的形成復(fù)合形法的初始復(fù)合形要求生成在可行域內(nèi)，這就要求復(fù)合形的個頂點都必須是可行點，即對于每一個復(fù)合形頂點都要進行可行性檢驗。在設(shè)計變量少，約束函數(shù)簡單的情況下，可以由設(shè)計者選定k個可行點，構(gòu)成初始復(fù)合形；而當設(shè)計變量較多或約束函數(shù)復(fù)雜時，由設(shè)計者決定k個可行點常常變得很困難，這時可以采用以下方法，由設(shè)計者選定一個可行點，其余(k-1)的個可行點用隨機方法產(chǎn)生。4.3.2方法實現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)各頂點按下式計算（4-9）式中Xj——復(fù)合形中的第個頂點；A、B——設(shè)計變量的下限和上限；rj——在的偽隨機數(shù)。用式（4-9）計算得到的(k-1)個隨機點不一定都在可行域

（4-10）

然后將非可行點向中心點移動，即

內(nèi)，因此要設(shè)法將非可行點移到可行域內(nèi)。通常采用的方法是，求出已經(jīng)在可行域內(nèi)的L個頂點的中心點XC

若仍為不可行點，則利用上式，使其繼續(xù)向中心點移動。顯然，只要中心點可行，點一定可以移到可行域內(nèi)。隨機產(chǎn)生的（k-1)個點經(jīng)過這樣的處理后，全部成為可行點，并構(gòu)成初始復(fù)合形。事實上，只要可行域為凸集，其中心點必為可行點，用上述方法可以成功地在可行域內(nèi)構(gòu)成初始復(fù)合形。如果可行域為非凸集，如圖4-5所示，中心點不一定在可行域之內(nèi)，則上述方法可能失敗。此時可以通過改變設(shè)計變量的下限和上限值，重新產(chǎn)生各頂點。經(jīng)過多次試驗，有可能在可行域內(nèi)形成初始復(fù)合形（4-11）圖4-5中心點為非可行點的情況(2)復(fù)合形變換方法改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有以下幾種：

<1>反射反射是改變復(fù)合形形狀的一種主要策略，其計算步驟為：1）計算復(fù)合形各頂點的目標函數(shù)值，并比較其大小，找出最好點、最壞點及次壞點，即2）計算除去最壞點外的(k-1)個頂點的中心。

（4-12）

3）一般情況下，最壞點和中心點的連線方向為目標函數(shù)下降的方向。為此，以點為中心，將最壞點按一定比例進行反射，有希望找到一個比最壞點的目標函數(shù)值更小的新點，稱為反射點。其計算公式為

（4-13）

式中為反射系數(shù)，一般取

4）判別反射點的位置：若為可行點，則比較和兩點的目標函數(shù)值，如果，則用取代，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次迭代；否則將縮小0.7倍，用式（4-13）重新計算新的反射點，若仍不可行，繼續(xù)縮小，直至為止。若為非可行點，則將縮小0.7倍，仍用式（4-13）計算反射點，直至可行為止。然后重復(fù)以上步驟，一旦，就用取代完成一次迭代。

<2>擴張

當求得的反射點為可行點，且目標函數(shù)值下降較多，例如，則沿反射方向繼續(xù)移動，即采用擴張的方法其計算公式為:綜上所述，反射成功的條件是：（4-14）(4-15)

若擴張點為可行點，且，則稱擴張成功，用取代，構(gòu)成新的復(fù)合形。否則稱擴張失敗，放棄擴張，仍用原反射點取代，構(gòu)成新的復(fù)合形。

<3>收縮若在中心點以外找不到好的反射點，還可以在中心點以內(nèi)，即采用收縮的方法尋找較好的新點稱為收縮點。其計算公式為（4-16）若，則稱收縮成功，用

取代，構(gòu)成

新的復(fù)合形。

<4>壓縮

若采用上述各種方法均無效，還可以采取將復(fù)合形各頂點向最好點靠攏，即采用壓縮的方法來改變復(fù)合形的形狀。壓縮后的各頂點的計算公式為:

然后，再對壓縮后的復(fù)合形采用反射、擴張或收縮等方法，繼續(xù)改變復(fù)合形的形狀。除此之外，還可以采用旋轉(zhuǎn)等方法來改變復(fù)合形形狀。應(yīng)當指出的是，采用改變復(fù)合形形狀的方法越多，程序設(shè)計越復(fù)雜，有可能降低計效率及可靠性。因此，程序設(shè)計時，應(yīng)針對具體情況，采用某些有效的方法。（4-17）

基本的復(fù)合形法（只含反射）的計算步驟為：

1）選擇復(fù)合形的頂點數(shù)k，一般取，在可行域內(nèi)構(gòu)成具有k個頂點的初始復(fù)合形。

2）計算復(fù)合形各頂點目標函數(shù)值，并比較其大小，找出最好點、最壞點及次壞點。

3）計算除去最壞點以外的k-1個頂點的中心。判別其是否可行，若為可行點，則轉(zhuǎn)步驟4）；若為非可行點，則重新確定設(shè)計變量的下限和上限，即令然后轉(zhuǎn)步驟1，重新構(gòu)造初始復(fù)合形。

（4-18）

4.3.3計算步驟

4）按式（4-13）計算反射點，必要時，改變反射系數(shù)的值，直至反射成功，即滿足式（4-14）。然后以取代，構(gòu)成新的復(fù)合形。5）判別是否滿足收斂條件式（4-19）；若滿足，計算終止。約束最優(yōu)解為

否則，轉(zhuǎn)步驟2）。

（4-19）圖4-10復(fù)合形法框圖例4-2用復(fù)合形法求約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解

【解】用復(fù)合形法程序，在計算機上運行，共迭代67次，求得的約束最優(yōu)解為計算機計算結(jié)果摘錄于表4-2，圖解示于圖4-11。表4-2例4-2的計算結(jié)果0814100104.435216.901643.57084205.353146.682381.98728305.586046.060630.35813405.255616.060490.07997505.209526.073030.06523605.219756.062530.06402675.219756.062530.06393圖4-11例4-2圖解

4.4可行方向法4.4.1可行方向法的工作原理可行方向法是在可行域內(nèi)選擇一個初始點，當確定了一個可行方向和適當?shù)牟介L后，按式（4-20）進行迭代計算。在不斷調(diào)整可行方向的過程中，使迭代點逐步逼近約束最優(yōu)點。（4-20）

根據(jù)約束函數(shù)和目標函數(shù)的不同形狀，可以分別采用以下幾種策略繼續(xù)搜索。

第一種情況見圖4-12，在約束面上的迭代點處，產(chǎn)生一個可行方向，沿此方向作一維最優(yōu)化搜索，所得到的新點X在可行域內(nèi)，即，再沿點的負梯度方向繼續(xù)搜索。圖4-12新點在可行域內(nèi)的情況4.4.2方法實現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)

第二種情況見圖4-13，當沿可行方向作一維最優(yōu)化搜索時，所得到的新點X在可行域外時，則設(shè)法將點X移動到約束面上，即取和約束面的交點作為新的迭代點。圖4-13新點在可行域外的情況

第三種情況是沿約束面搜索。對于只具有線性約束條件的非線性規(guī)劃問題見圖4-14；對于非線性約束函數(shù)見圖4-15，此時有公式其中

圖4-14沿線性約束面的搜索圖4-15沿非線性約束面的搜索

1）在可行域內(nèi)選擇一個初始點，給出約束允差及收斂精度值。2）令迭代次數(shù)，第一次迭代的搜索方向取。3）估計試驗步長，按式（4-38）計算試驗點。4）若試驗點滿足，點必位于第個約束面上，則轉(zhuǎn)步驟6）；若試驗點位于可行域內(nèi)，則加大試驗步長，重新計算新的試驗點，直至越出可行域，再轉(zhuǎn)步驟5）；若試驗點位于非可行域，則直接轉(zhuǎn)步驟5）。5）按式（4-40）確定約束違反量最大的約束函數(shù)。用插值法，即按式（4-41）計算調(diào)整步長，使試驗點返回到約束面上，則完成一次迭代。再令，，轉(zhuǎn)步驟6）。6）在新的設(shè)計點處產(chǎn)生新的可行方向。4.4.3計算步驟及流程7）在點滿足收斂條件，則計算終止。約束最優(yōu)解為：，。否則，改變允差的值，即令（4-23）再轉(zhuǎn)步驟2）

可行方向法的程序框圖示于圖4-25

圖4-25可行方向法框圖例4-3用可行方向法求約束優(yōu)化問題【解】為了進一步說明可行方向法的原理，求解時將先采用優(yōu)選方向法，后采用梯度投影法來確定可行方向。該問題的圖解見圖4-26。取初始點，為約束邊界上的一點。第一次迭代用優(yōu)選方向法確定可行方向。為此，首先計點的目標函數(shù)和約束函數(shù)的梯度在可行下降扇形區(qū)內(nèi)尋找最優(yōu)方向，需求解一個以可行方向為設(shè)計變量的線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型為圖4-26例4-3圖解圖4-27用線性規(guī)劃法求最優(yōu)方向現(xiàn)用圖解法求解，如圖4-27所示，最優(yōu)方向是，它是目標函數(shù)等值線（直線束）和約束函數(shù)（半徑為1的圓）的切點。第一次迭代的可行方向為0若步長取，則可見第一次迭代點在約束邊界上。第二次迭代用梯度投影法來確定對行方向。迭代點的目標函數(shù)負梯度，不滿足方向的可行條件。現(xiàn)將投影到約束邊界上，按式（4-33）計算投影算子P本次迭代的可行方向為顯然，為沿約束邊界的方向。若取，則本次迭代點即為該問題的約束最優(yōu)點，則得約束最優(yōu)解4.5懲罰函數(shù)方法懲罰函數(shù)法基本原理是將約束優(yōu)化問題

中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化和原目標函數(shù)結(jié)合形成新的目標函數(shù)——懲罰函數(shù)求解該新目標函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解。根據(jù)迭代過程是否在可行域內(nèi)進行，懲罰函數(shù)法又可分為內(nèi)點懲罰函數(shù)法，外點懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法三種。

內(nèi)點懲罰函數(shù)法簡稱內(nèi)點法，這種方法將新目標函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。對于只具有不等式約束的優(yōu)化問題（4-45）4.5.1內(nèi)點懲罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為（4-46）或

（4-47）式中——懲罰因子，它是由大到小且趨近于0的數(shù)列，即

或

——障礙項

障礙項的作用是阻止迭代點越出可行域。

顯然，只有當懲罰因子時，才能求得在約束邊界上的最優(yōu)解。下面用一簡例說明內(nèi)點法的基本原理。例4-5用內(nèi)點法求問題的約束最優(yōu)解

【解】如圖4-28所示，該問題的約束最優(yōu)點為，它滿足目標函數(shù)等值線，即的圓和約束函數(shù)，即的直線的切點，最優(yōu)值為

用內(nèi)點法求解該問題時，首先按式（4-47）構(gòu)造內(nèi)點懲罰函數(shù)對于任意給定的懲罰因子，函數(shù)為凸函數(shù)，用解析法求函數(shù)的極小值，即令得方程組當時不滿足約束條件，應(yīng)舍去。無約束極值點為聯(lián)立求解得當時，,當時，,當時，,當時，,由計算可知，當逐步減小r值，直至趨近于0時，逼近原問題的約束最優(yōu)解。當r=4，1.26，0.36時，懲罰函數(shù)的等值線圖分別如圖4-29a、b、c所示。從圖中可清楚地看出，當r逐漸減小時，無約束極值點的序列，將在可行域內(nèi)逐步逼近最優(yōu)點。a)b)c)圖4-29內(nèi)點懲罰函數(shù)的極小點向最優(yōu)點逼近

下面介紹內(nèi)點法中初始點、懲罰因子的初值及其縮減系數(shù)等主要參數(shù)的選取和收斂條件的確定等問題。1）初始點的選取用內(nèi)點法時，初始點應(yīng)選擇一個離約束邊界較遠的可行點

2）懲罰因子初值的選取

3）懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取4）收斂條件內(nèi)點法的收斂條件為通常的取值范圍在

原約束問題的最優(yōu)解為

內(nèi)點法的計算步驟為：1）選取可行的初始點，懲罰因子的初值，縮減系數(shù)c以及收斂精度、。令迭代次數(shù)。2）構(gòu)造懲罰函數(shù)辦，選擇適當?shù)臒o約束優(yōu)化方法，求函數(shù)的無約束極值，得點。3）用式（4-53）及式（4-54）判別迭代否收斂，若滿足收斂條件，迭代終止。約束最優(yōu)解為；否則令，，轉(zhuǎn)步驟2）。內(nèi)點法的程序框圖見圖4-30。圖4-30內(nèi)點法程序框圖外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。

對于約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化后的外點懲罰函數(shù)的形式為

（4-52）4.5.2外點罰函數(shù)法

式中r——懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列，即

，分別為對應(yīng)于不等式約束和等式約束函數(shù)的懲罰項。其中下面仍用一簡例來說明外點法的基本原理。例4-6用外點法求問題的約束最優(yōu)解【解】前面已用內(nèi)點法求解過這一問題，其約束最優(yōu)解為，。用外點法求解時，首先按式（4-55）構(gòu)造外點懲罰函數(shù)對于任意給定的懲罰因子r（r>0），函數(shù)為凸函數(shù)。用解析法求它的無約束極小值，即令，得方程組聯(lián)立求解得當時，,當時，,當時，,當時，,由計算可知，當逐漸增大r值，直至趨近于時，逼近原約束問題的最優(yōu)解。當r=0.3，1.5,7.5時，懲罰函數(shù)的等值線圖分別示于圖4-31a、b、c。從圖中可清楚地看出，當r逐漸增大時，無約束極值點

的序列，將在可行域之外逐步逼近約束最優(yōu)點。a)b)c)圖4-31外點懲罰函數(shù)的極小點向約束最優(yōu)點逼近

外點法的懲罰因子按下式遞增

式中——遞增系數(shù)，通常取

許多計算表明，取，常常可以取得滿意的結(jié)果。有時也按下面的經(jīng)驗公式來計算式中外點法的收斂條件和內(nèi)點法相同，其計算步驟、程序框圖也與內(nèi)點法相近。

混合懲罰函數(shù)法是把內(nèi)點法和外點法結(jié)合起來，用來求解同時有等式約束和不等式約束函數(shù)的優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題

轉(zhuǎn)化后的混合懲罰函數(shù)的形式為

4.5.3混合罰函數(shù)法式中

為障礙項,懲罰因子r按內(nèi)點法選?。粸閼土P項，懲罰因子滿足外點法對懲罰因子的要求?；旌戏ň哂袃?nèi)點法的求解特點，懲罰因子的初值均可參考內(nèi)點法選取。計算步驟及程序框圖也與內(nèi)點法相近。

例4-7試求點集

和點集

之間的最短距離。限制條件為

圖4-32例4-7圖解由圖4-32可知，表示以原點為球心，半徑為的球體，點集在球面上取點。因此該問題就是求這兩個幾何體間的最短距離的約束優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)模型為【解】用混合法程序計算時，取，，。在計算機上運行，共迭代13次，求得的最優(yōu)解為：和理論解比較，誤差很小。4.6增廣乘子法4.6.1增廣乘子法的工作原理拉格朗日乘子法將具有等式約束的優(yōu)化問題

轉(zhuǎn)化成拉格朗日函數(shù)（4-56）用解析法求解上式，即令

，可求得的極值。稱為拉格朗日乘子，也是變量，因此可以列出

n+l個方程聯(lián)立求解后，可得個變量

為極值點，

為相應(yīng)的拉格朗日乘子向量。

現(xiàn)用一個簡單的例子來說明拉格朗日乘子法的計算方法。

例4-8用拉格朗日乘子法求問題的約束最優(yōu)解

【解】按式（4-56）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)令，得方程組聯(lián)立求解，得約束最優(yōu)解對于含等式約束的優(yōu)化問題

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（4-57）將拉格朗日乘子法和懲罰函數(shù)法結(jié)合起來，即構(gòu)造懲罰函數(shù)的拉袼朗日函數(shù)，則（4-59）4.6.1等式約束的增廣乘子法一般地說，式（4-57）所表示的拉格朗日函數(shù)的海賽矩陣（4-60）并不是正定的，而式（4-59）所表示的增廣乘子函數(shù)

的海賽矩陣

（4-61）必定存在一個的值總是正定的

，對于一切滿足

例4-9求優(yōu)化問題的約束最優(yōu)解

【解】該問題的約束最優(yōu)解為,相應(yīng)的拉格朗日乘子為。

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其海賽矩陣為

，在全平面上任一點，包括處，都不是正定的。

構(gòu)造增廣乘子函數(shù)

其海賽矩陣為

，當取r>2時，在全平面上處處正定。由這一性質(zhì)可知，當懲罰因子r取足夠大的定值，即，不必趨于無窮大，且恰好取時，就是函數(shù)的極小點。但因為也是未知的，為了求得，采取如下方法。假定懲罰因子r取為大于的定位，則增廣乘子函數(shù)只是和的函數(shù)，顯然，當時，將是原問題的約束最優(yōu)解。因此，采用如下公式來校正的值

為了確定上式中的校正量，再定義

為了直觀地說明函數(shù)對的屬性，仍然從分析例4-9入手將例4-9的原問題構(gòu)造成增廣乘子函數(shù)

若取r=6，則上式可簡化為

令

，得方程組

解得

代入上式，得

令

解得

函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為

可見，是函數(shù)的極大值

從對這個例子的分析可知，為了求得，只需求函數(shù)對的極大值。

但求函數(shù)對極大值的方法不同，將會得到不同的乘子迭代公式。目前常采用近似的牛頓法求解。

、乘子類方法乘子迭代公式C、D、g的值CDg梯度乘子法1牛頓乘子法1變尺度乘子法1梯度投影來子法0對角化乘子法0表4-3乘子類方法的乘子迭代公式對于含不等式約束的優(yōu)化問題引入松弛變量，并且令（4-78）于是，原問題轉(zhuǎn)化成等式約束的優(yōu)化問題

（4-79）這樣就可以采用等式約束的增廣乘子法來求解了。

4.6.2不等式約束的增廣乘子法但由于增加了松弛變量z，使原來的n維極值問題擴充n+m維問題，勢必增加計算量和求解的困難，有必要將計算加以簡化。即將所示的增廣乘子函數(shù)改寫成

利用解析法求函數(shù)關(guān)于的極值，

可得

若

若

則

則（4-83）（4-82）將式（4-83）代入式（4-82），得這就是不等式約束優(yōu)化問題的增廣乘子函數(shù)

圖4-33增廣乘子法框圖對于同時具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化問題構(gòu)造的增廣乘子函數(shù)的形式為式中———不等式約束函數(shù)的乘子向量；

——等式約束函數(shù)的乘子向量。和的校正公式為（4-87）

（4-86）例4-10用增廣乘子法求問題的約束最優(yōu)解

【解】這個問題的精確解為

相應(yīng)的乘子向量為構(gòu)造增廣乘子函數(shù)

用解析法求

即令可得最優(yōu)解

取共迭代6次得到最優(yōu)解

和精確解比，誤差很小。

4.7模糊優(yōu)化設(shè)計方法簡介模糊優(yōu)化設(shè)計與常規(guī)優(yōu)化設(shè)計的不同在于目標函數(shù)、約束函數(shù)及設(shè)計變量中考慮了種種模糊因素，這就構(gòu)成了模糊優(yōu)化問題。在設(shè)計變量、約束條件及目標函數(shù)三者中，只要包含一個模糊因素，該優(yōu)化模型就屬于模糊優(yōu)化問題。通常模糊優(yōu)化設(shè)計是具有模糊約束的優(yōu)化，模糊約束條件用表示。模糊優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為

求

式中

——模糊約束量的允許范圍。

4.7.2.1模糊優(yōu)化設(shè)計的基本含義

模糊優(yōu)化設(shè)計的基本含義是尋求一個設(shè)計方案（或一組設(shè)計變量）使目標函數(shù)取得最優(yōu)值，并滿足全部約束條件，且在模型中包含模糊因素。4.7.2.2模糊優(yōu)化設(shè)計的分類由于模型中含有模糊因素，根據(jù)模糊目標函數(shù)與約束函數(shù)的關(guān)系，模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型分為對稱與非對稱兩種。當目標函數(shù)和約束條件在模型中的地位是對稱的，其位置可以互換，這種4.7.2模糊優(yōu)化設(shè)計的基本含義及分類優(yōu)化模型稱為對稱優(yōu)化模型。當目標函數(shù)和約束條件在模型中的地位不對稱，相互位置不可互換，這種優(yōu)化模型稱為非對稱優(yōu)化模型。模糊優(yōu)化問題的各種解法，其核心就是把模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為非模糊優(yōu)化問題，不同的轉(zhuǎn)化方式便產(chǎn)生了不同的模糊優(yōu)化解法。4.7.2.3對稱模糊優(yōu)化設(shè)計及其解法

在模糊優(yōu)化設(shè)計中，由于考慮到種種模糊因素，即目標函數(shù)及約束條件本身是模糊的，而設(shè)計變量時確定性的;或者設(shè)計變量是模糊的，而目標函數(shù)及約束條件是模糊設(shè)計變量的模糊函數(shù)；或者是兩者兼而有之。不管模糊性來自

何方，總可以將模糊目標和模糊約束分別用模糊集合加以表示，分別稱之為模糊目標集合和模糊約束集合。人們認為既能達到模糊目標又能滿足模糊約束的優(yōu)化方案必然包含在模糊目標集和模糊約束集的交集之中，只有在交集中的量才能滿足上述要求，這就是建立對稱模糊優(yōu)化模型的基礎(chǔ)。

（1）模糊優(yōu)越集對稱模糊優(yōu)化模型是指目標和約束地位是同等的、對稱的，并且可以互換位置。若論域X上的模糊目標集為F，模糊約束集為G，則它們的交集稱為模糊優(yōu)越集。模糊最優(yōu)解若為論域X上的元素，如果它使模糊優(yōu)越集的隸屬函數(shù)取最大值，即（4-89）則稱為模糊最優(yōu)解。模糊最優(yōu)解是模糊優(yōu)越集的隸屬函數(shù)取最大值的解?？赡芪ㄒ?，也可能不唯一，所以模糊最優(yōu)集的集稱為模糊最優(yōu)集。顯然M是一普通集合。（3）對稱模糊優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型對稱模糊優(yōu)化設(shè)計的基本思想是在設(shè)計空間中尋求模糊優(yōu)化集的隸屬度取最大值的，稱為模糊最優(yōu)解，它同時使目標與約束得到最大程度的滿足。于是，對稱模糊優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可以表示為在論域X上給出模糊目標集：模糊約束集：求式中——模糊優(yōu)越集D的隸屬函數(shù)；

——模糊目標集F的隸屬函數(shù)；

——模糊約束集G的隸屬函數(shù)（4-90）

在對稱模糊優(yōu)化模型中，模糊優(yōu)越集除了由模糊目標集與模糊約束集的交集形式給出外，還可以根據(jù)問題的性質(zhì)和實際需要建立其他形式的模糊優(yōu)越集:（1）凸模糊優(yōu)越集式中——目標函數(shù)的權(quán)因子;——約束條件的權(quán)因子

它們應(yīng)該滿足歸一性和非負性條件，即（2）積模糊優(yōu)越集其隸屬函數(shù)為且有關(guān)系4.7.5.1模糊優(yōu)化迭代的基本原理

模糊優(yōu)化問題求解的基本思路是借助最優(yōu)水平截集法，將模糊優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為普通優(yōu)化問題。模糊約束集G的水平截集為由分解定理可證得，模糊優(yōu)越集的最大值為在范圍內(nèi)必存在一個通過A點使式（4-96）成立據(jù)此，就把模糊優(yōu)化問題歸結(jié)為求的問題了

將式（4-96）改寫為（4-96）4.7.5模糊優(yōu)化迭代的基本解法通過迭代過程可獲得，從而獲得最優(yōu)解。但工程上并不要求絕對地滿足式（4-97）的和相應(yīng)的最優(yōu)解，故只要滿足式（4-99）或式（4-100）即可（4-97）（4-99）（4-100）式中

——預(yù)先給定的收斂精度，通常，可根據(jù)需要而定4.7.5.2對稱模糊優(yōu)化迭代的步驟（1）任給定一及收斂精度，令。（2)作G的的水平截集（3）求解常規(guī)優(yōu)化問題

(4)計算接近值，收斂轉(zhuǎn)第（7）步，否則轉(zhuǎn)第（5）步。求

受約束于

解得和（5）計算，且應(yīng)使（6）令，轉(zhuǎn)第（2）步。（7）輸出最優(yōu)解及最優(yōu)值迭代過程結(jié)束。上述第（3）步是一個普通優(yōu)化問題，可用任何約束優(yōu)化方法求解。和

4.7.5.1非對稱模糊優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型在非對稱優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中，根據(jù)約束的模糊性，又分為普通模糊約束和廣義模糊約束兩類。(1)普通模糊約束它是約束函數(shù)本身是確定性的，而約束的取值范圍是模糊的，其優(yōu)化設(shè)計模型為求

（4-101）(2)廣義模糊約束4.7.5非對稱優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型模糊允許區(qū)間的隸屬函數(shù)如圖4-35所示。其斜線或曲線部分主要表示為允許范圍邊界的逐漸過渡性，過渡曲線的形式可根據(jù)物理量g的性質(zhì)和決策意愿給出。曲線形式不同，影響不大。一般建議采用以下一些隸屬函數(shù)，當然也可以根據(jù)物理量g的性質(zhì)選用類似變化的其他函數(shù)。圖4-35模糊允許區(qū)間的隸屬函數(shù)（1）斜線型（4-103）(2)曲線型（4-104)式中

——過渡區(qū)間長度，也就是約束限制的容許偏差，簡稱“容差”4.7.5.2容差的確定

下面介紹幾種常用的容差確定方法(1)概率分析法概率分析法以極限狀態(tài)建立約束函數(shù)。對每一個模糊約束，給定一個允許破壞概率的上、下限和（或），于是有

(2)擴增系數(shù)法按常規(guī)方法進行確定設(shè)計時，強度條件為，因此可取

(3)模糊綜合評判法

模糊綜合評判法的具體步驟如下。①建立因素集。設(shè)眾多的因素分為m類，即將因素集U分為m因素子集。

——擴增系數(shù)，

設(shè)每個因素子集有n個因素，即②建立權(quán)重集。根據(jù)各類因素的重要程度，賦予每個因素類似的相應(yīng)權(quán)重③建立備擇集。備擇集是評判者對評判對象可能做出的各種總的評判結(jié)果所組合的集合，故無論因素分為多少類，備擇集始終只有一個。

④一級模糊綜合評判。設(shè)對第i類中第j個因素評判，評判對象隸屬于備擇集中第k個元素的隸屬為，則一級模糊綜合評判的單因素評判矩陣為矩陣的第j行表示第i個因素的評判結(jié)果。于是，第i類因素的模糊綜合評判集為其中⑤.二級模糊綜合評判。一級模糊綜合評判僅是對一類中的各因素進行綜合，為了考慮各類因素的綜合影響，還必須在類之間進行綜合評判，這便是二級模糊綜合評判。二級模糊綜合評判的單因素評判矩陣，應(yīng)為一級模糊綜合評判矩陣。其中于是，二級模糊綜合評判集為式中——二級模糊綜合評判指標，它表示評判對象按所有各因素評判時，對備擇集中第k個元素的隸屬度，

⑥容差值的確定。為反映所有評判指標的貢獻，容差待定系數(shù)v可用加權(quán)平均法確定，即取為加權(quán)值，對進行加權(quán)平均，得于是，容差為4.7.5.3非對稱模糊優(yōu)化模型的水平截集法（1）具有普通模糊約束的優(yōu)化設(shè)計求解普通模糊約束優(yōu)化問題的基本思想是通過水平截集將模糊優(yōu)