導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 引言1.1選題的意義對于數(shù)學(xué)的公式解答來講，一般都會采用反證法、構(gòu)造法、歸納法、比較法等不同的方程式來解答當(dāng)前的問題，以此獲得相應(yīng)的答案。然而大部分人都會通過函數(shù)理念去了解不等式，然后將導(dǎo)數(shù)當(dāng)做解題工具與思路，對不等式進行轉(zhuǎn)變，對其分析函數(shù)特點，并且導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是通過不等式和函數(shù)兩者的完善關(guān)系，把不等式或多或少的投射到函數(shù)中，在直接或類似的方式進行等價改變之后，方程的結(jié)構(gòu)特征被合并在一起，并通過與函數(shù)相關(guān)的操作來呈現(xiàn)。利用導(dǎo)數(shù)作為證明不等式的工具，是目前比較有效的方式，可以使證明不等式的過程更加簡單，并且可以通過該方式更容易處理問題。所以本文主要從單調(diào)性、最小值、最大值、函數(shù)凹凸性、微分中值定理、泰勒公式等方面分析了證明不等式的具體方法，闡述了不同方法、不同公式的適用范圍，并按照相應(yīng)的解答題目，對其結(jié)合實際情況進行合理的公式帶入和使用相應(yīng)的公式進行解題，以此獲得正確的觀點。1.2國內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r張?zhí)斓拢钣拢?012）世界各國為了加強自身國民的綜合教育，發(fā)展國力都普遍的實施了教育改革，并按照各自不同的國情對未來的國家教育發(fā)展提出了不同的政策和規(guī)劃。其中數(shù)學(xué)史對于微積分的出現(xiàn)過程中被人為是“人類精神的最高勝利”，由此可見微積分對數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻度，而且微積分為現(xiàn)代數(shù)學(xué)開辟了一個新的發(fā)展階段，因為微積分可以通過各種方式來解答不同數(shù)學(xué)題的解題思路，從而為變量函數(shù)的分析提供了巨大的幫助，而且微積分被全世界的數(shù)學(xué)與教育界所看重，微積分已成為世界各地高中教育的一部分。幾何、符號運算和操作以及形式定義以及證明都可以在微積分的計算中所運用到，甚至微積分可以將上述的所講部分進行相互的帶入，從而相互造成影響，形成不同的解題思路，這也是數(shù)學(xué)探究中，對微積分的不同組成方式解題的重要觀點。蔡子華（2013）數(shù)學(xué)函數(shù)是指使用認(rèn)知結(jié)構(gòu)的高級數(shù)學(xué)思維的出現(xiàn)，它創(chuàng)建了全新的視角，并開發(fā)了創(chuàng)建和擴展以前定理的發(fā)展系統(tǒng)。個人的認(rèn)知情況，從早期到高級的數(shù)學(xué)思維，可以假設(shè)是由于對外部環(huán)境的觀察和行為，使用兩種平行的方式得到很好的發(fā)展：第一是從視覺空間到符號形式推測；第二個是持續(xù)的過程到概念的乘數(shù)與操作標(biāo)記刺激了基于正式目標(biāo)概念和系統(tǒng)證據(jù)的突破性思維。TimBozik（2015）指出：最好將初等數(shù)學(xué)的進步視為一個單一的進步，而不是通過其他視角將其視為一個獨立的、同時發(fā)展的存在。首先要將圖片作為視覺空間的象征，其次要將符號操作的過程當(dāng)做動作的表現(xiàn)。2導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念2.1導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點處取得增量時，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量，如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導(dǎo)，并稱這個極限為在處的導(dǎo)數(shù)，記為，，。如果記，則導(dǎo)數(shù)又可表示為。若極限存在，則該極限值稱為在點的左導(dǎo)數(shù)，記作或若極限存在，則該極限值稱為在點的右導(dǎo)數(shù)，記作或函數(shù)在點可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為的充要條件是。2.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在()點處的切線斜率[1]。曲線在點的切線方程是。曲線在點的法線方程是(當(dāng)時)。2.3函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性若函數(shù)在點可導(dǎo)，則在點必連續(xù)，但是連續(xù)不一定可導(dǎo)。2.4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(2)(為實數(shù))(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)3導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用3.1利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式3.1.1函數(shù)的單調(diào)性大部分不等式和函數(shù)有關(guān)或整理之后和其產(chǎn)生緊密的關(guān)系。有關(guān)人員可通過導(dǎo)數(shù)方式證明單調(diào)性，通過導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性去驗證不等式的方程，隨后利用函數(shù)的單調(diào)性再次驗證一次不等式，從而保障結(jié)果的正確以下列公式為例來解析函數(shù)單調(diào)性就是將函數(shù)設(shè)為在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。3.1.2函數(shù)的單調(diào)性證明該方法使用于某區(qū)間上成立的函數(shù)不等式，一般地，證明區(qū)間上的不等式時，可以選擇作為輔助函數(shù)。對求導(dǎo)，判斷是大于或小于，判定的單調(diào)性，從而證明不等式。定理1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則在上遞增（遞減）的充要條件是。例1設(shè)，證明不等式成立。證明令，顯然當(dāng)時，有從而在內(nèi)嚴(yán)格遞增，又在處連續(xù)，所以，當(dāng)時，即設(shè)，則時，所以在內(nèi)遞減，又在處連續(xù)，故時，有即 由上可知，當(dāng)時，有。注待驗證的不等函數(shù)驗證方式比較復(fù)雜，因此需要利用輔助函數(shù)對其流程進行相應(yīng)的簡化，以此達到簡化證明的效果。3.1.3函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例1證明：當(dāng)時，。證明令，對其求導(dǎo)，得又在上連續(xù)，在內(nèi)，故在上嚴(yán)格增加。當(dāng)時，，即，故有例2證明：，證明令，且，，由于在上，，從而，則在是單調(diào)遞減函數(shù)，又，從而在恒成立，故有在上成立。例3證明：當(dāng)時，。證明：即需證，為此，構(gòu)造函數(shù)，此時，，已知當(dāng)時，亦即在內(nèi)，因此在內(nèi)單調(diào)增加，而，所以在內(nèi)有，即在內(nèi)單調(diào)增加，因而當(dāng)時，，即不等式得證。例4證明:證明：不妨設(shè)，原不等式可變形為，令，則上式可轉(zhuǎn)化為，或做輔助函數(shù)，則只需證。由于，，，因此在內(nèi)遞增，又，則為單調(diào)遞增函數(shù)，又，得即不等式得證。例5已知函數(shù)，且。求證:。分析要證明成立，需要分兩步進行；證明，然后再證明。在本題中展現(xiàn)出的常數(shù)為未知，所以要將該函數(shù)當(dāng)做未知數(shù)，其余函數(shù)當(dāng)做常數(shù)的方式來對該函數(shù)進行解析，以此達到求解的過程。證明因為，所以。設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，因此在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；又因為，且，所以，即。設(shè))-(x-a)ln2，則因此在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；又因為，所以，即。綜上所述，。例6已知:是正整數(shù)，且求證:分析要證成立，只要證成立，即要證成立。所以我們可以構(gòu)造函數(shù)，然后只要證在是減函數(shù)即可。證明要證只要證只要證設(shè)函數(shù)則因為，，；所以所以在是減函數(shù)。又因為，所以，即從而按照上述的函數(shù)單調(diào)性證明不等式的表達方式，可以得出創(chuàng)建輔助函數(shù)進行相應(yīng)的簡化，隨后對該函數(shù)進行解答，以此來獲得不等式的解答方式；先對兩邊的數(shù)值進行“求差”，隨后按照“求差”值創(chuàng)建所需函數(shù)先對兩邊的數(shù)值開展合適“求商”隨后按“求商”值照創(chuàng)建所需函數(shù)；根據(jù)兩邊所需的函數(shù)以及當(dāng)前等式結(jié)構(gòu)，創(chuàng)建輔助函數(shù)以此來簡化解答流程；如果不等式的形式伴隨著一個指數(shù)函數(shù)，那么指數(shù)形式必須事先變成一個容易證明的方法，通常使用對數(shù)，然后通過上述方法根據(jù)實際情況創(chuàng)建所需的函數(shù)。3.2利用函數(shù)的凹凸性證明不等式3.2.1函數(shù)的凹凸性可以利用函數(shù)的凹凸性來對不等式進行證明，凹凸點也很好判斷，如果曲線弧的切線點在曲線弧下方則為凹，反之亦然[12]。凹凸性判定法就是設(shè)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)具備二階導(dǎo)數(shù)。假如但是在任意子區(qū)間中不恒是零，那么曲線弧為凸的；假如然而在任意子區(qū)間不恒是零，那么曲線弧為凹。要全面掌握了解凹凸性也要了解拐點有關(guān)觀點。首先知道了曲線的凹凸弧分界點就是拐點，那么只需要根據(jù)拐點橫坐標(biāo)上的左右兩邊鄰近處就是異號，但是在拐點橫坐標(biāo)處就是零或沒有。拐點出現(xiàn)的必要條件是設(shè)函數(shù)在點具備二階導(dǎo)數(shù)，那么點()為曲線的拐點的必要條件為只要掌握了凹凸性以及拐點的概念，就可以對拐點與凹凸區(qū)間進行解析：1求解功能概念范圍或定義范圍和另一個導(dǎo)數(shù)。2求解所有的疑點與拐點(一階導(dǎo)數(shù)為0的點、另一階導(dǎo)數(shù)不出現(xiàn)但函數(shù)有作用的點)、邊界點和使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無意義的端點，在表2中按每個求值區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)正負(fù)標(biāo)注上述點。3.2.2凹凸性的定理若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上為下凸函數(shù)且可導(dǎo)，P(x0,y0)為其圖像上一點，則函數(shù)f(x)的圖像必在P點處函數(shù)切線的上方;反之，若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上為上凸函數(shù)且可導(dǎo)，則函數(shù)f(x)的圖像必在P點處函數(shù)切線的下方。3.2.3凹凸性的應(yīng)用例1證明:當(dāng)時，有證明設(shè)，有則函數(shù)對應(yīng)的曲線在(0，)內(nèi)為凸的。由于，可見，當(dāng)時，即。例2證明:當(dāng)x時，證明令，則因此在或上的曲線弧是凹的，于是即亦即例3設(shè)，，，證明不等式證明，，由于所以，在區(qū)間或，，是凹的，于是即所以原不等式例4設(shè)，當(dāng)時，證明不等式證明設(shè)由于當(dāng)，對，所以，當(dāng)時，是上凸的。于是有即故原不等式成立。例5設(shè)，證明:證明設(shè)，，則所以在上是向上凹的。因此即所以例6設(shè)，，，證明不等式。證明，，由于，所以，在區(qū)間或，，是凹的，于是，即所以原不等式成立。例7設(shè)當(dāng)時，證明不等式證明設(shè)由于當(dāng)時，對，所以，當(dāng)時，是上凸的于是有，即，故原不等式成立3.3利用函數(shù)的最值證明不等式3.3.1函數(shù)的最值與極值函數(shù)的極值的定義為設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于的點，如果恒有，則稱為的極大值，而稱為的極大值點；如果恒有，則稱為的極小值，而稱為的極小值點。極值分為極大值與極小值，且兩者都被統(tǒng)稱為極值點函數(shù)極值的必要條件為設(shè)函數(shù)在點可導(dǎo)，且在點取得極值，則必有極值的判別法有兩種，分別是第一判別法和第二判別法，分別是:（1）極值第一判別法設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且那么a若當(dāng)時，當(dāng)時，則是的極大值。b若當(dāng)時，當(dāng)時，則是的極小值。c若在的兩側(cè)，的符號相同，則不是極值。（2）極值第二判別法設(shè)函數(shù)在點處有二階導(dǎo)數(shù)，且則當(dāng)時，函數(shù)在點取得極大值；當(dāng)時，函數(shù)在點取得極小值；了解了極值的判別法之后，我們就可以得出求極值的步驟為:第一，得出函數(shù)的所有極值疑點—駐點(的點)以及意義的內(nèi)部點；隨后通過以下兩種方式，對其函數(shù)進行評判：方法1：可以利用第一種充分的條件來取得導(dǎo)函數(shù)的數(shù)值且開展因式分解，依照極值疑點鄰近的符號評判。方法二：用另一個充分條件，即如果是一個駐點，用上面點的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)估計。(使用方法二的前提要注意的是該駐點的二階導(dǎo)數(shù)不能為0，否則就要用其他方式對該數(shù)值進行評判。在出現(xiàn)時，一般會因為其復(fù)雜的評判方式而選擇方式一進行評判。)最大與最小值的函數(shù)概念為：在上連續(xù)，在內(nèi)只有單獨極值點，那么假如是的極大值點，因此就是在上的最大值點；假如為的極小值點，因此就是在數(shù)值上的最小數(shù)值?？梢愿鶕?jù)下列方式來得出正確的函數(shù)值：1）根據(jù)該區(qū)間上的所有駐點與有意義的內(nèi)涵和函數(shù)進行公式帶入，隨后將函數(shù)定義其數(shù)值邊界，最終得出相應(yīng)的函數(shù)值。2）對該區(qū)間上的函數(shù)數(shù)值進行對比，將最大與最小的函數(shù)值得出后進行比較，從而得知該區(qū)間的最大值與最小值函數(shù)的具體數(shù)值。3.3.2最值在不等式中的應(yīng)用例1證明:若，則對于內(nèi)任意，有證明構(gòu)造輔助函數(shù)則令得從中求得在上只有一個駐點，又因為，且當(dāng)時，即在上，曲線是凹的，且在處取得極小值，且為在上的最小值。又，，從而的最大值為1。因此，例2設(shè)是大于1的常數(shù)，且證明:對于任意，有證明令則令得。因為則所以當(dāng)時，取極小值，即最小值。從而當(dāng)時，有即例3設(shè)且證明:證明因為連續(xù)且具有一階導(dǎo)數(shù)，所以由知。又令，則。由于所以又由知，是的極小值和單調(diào)。故只有一個駐點，從而是的最小值。因此即例4求證:分析本題直接證明比較困難，如果構(gòu)造函數(shù)來證明不等式也非常困難。我們可以令則原不等式可變?yōu)橐粋€關(guān)于的一元二次不等式因此我們可構(gòu)造函數(shù)證明設(shè)構(gòu)造當(dāng)時，有。當(dāng)時，有當(dāng)時，當(dāng)時，所以時，有最小值。綜上所述，；所以成立。例5已知當(dāng)時，求證:。證明當(dāng)時，所以在上遞減。故在上的最大值為；函數(shù)的最小值為，所以在上的值域為。所以，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，例6設(shè)，當(dāng)時，試證，其中等號僅當(dāng)時成立。證明令且令，即是唯一駐點。又所以在時取得最大值于是當(dāng)時恒有其中僅當(dāng)時等號成立。故成立。其中僅當(dāng)時等號成立。例7求證:時，證明要證原式，即需證:時成立。設(shè)，則因為所以所以在上是增函數(shù)，所以的最小值為所以，，時，，即時，成立。例8在上，，且在內(nèi)取得最小值，證明:證明由在內(nèi)取得最小值，設(shè)。因為在處可導(dǎo)。所以從而所以=例9證明:證明設(shè)，則令得，所以在處取得極小值。由于是唯一駐點，所以為函數(shù)的最小值。故對一切(且)，，，即例10設(shè)，求證:，其中為自然數(shù)。證明令，則令，則所以在取到(0，1)上的最大值:注意單調(diào)減少，且。于是。從而即例11證明:當(dāng)，為自然數(shù)時證明令則。當(dāng)時，當(dāng)時，除時外，均有故在單調(diào)上升，在單調(diào)減小，因此在上取最大值。于是有==。結(jié)論筆者通過對導(dǎo)數(shù)在不等式中的學(xué)習(xí)，從而得知了如何在不等式證明中使用導(dǎo)數(shù)，筆者也充分理解了上述題目具有明顯的分析任務(wù)，以及導(dǎo)數(shù)工具的范圍和有效性。而且從這篇文章中我們可以清楚地了解到，雖然用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法有很多種，但大部分都是用輔助函數(shù)。在文章中，筆者也強調(diào)了很多執(zhí)行輔助功能的方法，但對于導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的不等式證明方式都不全面，所