八年級(jí)數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第四課時(shí)HL（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解并記住HL這種判定方法；2、會(huì)運(yùn)用HL判定兩個(gè)直角三角形全等；3、提高推理能力，獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自信心。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：理解并記住HL這種判定方法學(xué)習(xí)難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用HL判定兩個(gè)直角三角形全等老師對(duì)你說(shuō)：知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定（HL）在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.①斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）②證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.知識(shí)點(diǎn)2利用HL進(jìn)行證明和計(jì)算特別指出：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.（2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.知識(shí)點(diǎn)3綜合運(yùn)用三角形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.確定全等三角形對(duì)應(yīng)元素的方法符號(hào)對(duì)應(yīng)法：用全等符號(hào)表示的，可根據(jù)對(duì)應(yīng)字母的位置來(lái)找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角就是對(duì)應(yīng)角。位置特征法：①公共邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）②對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角③一對(duì)最長(zhǎng)邊（最大角）是對(duì)應(yīng)邊（角），一對(duì)最短邊（最小角）是對(duì)應(yīng)邊（角）基礎(chǔ)提升教材核心知識(shí)點(diǎn)精練知識(shí)點(diǎn)1直角三角形的判定（HL）【例1-1】下列不能夠判定兩個(gè)直角三角形全等的條件是（

）A．有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．有一條斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等C．有一條直角邊和一條斜邊對(duì)應(yīng)相等 D．有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等【答案】D【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做題時(shí)要結(jié)合已知條件與全等的判定方法逐一驗(yàn)證．解：A、符合判定，故本選項(xiàng)不符合題意；B、符合判定或，故本選項(xiàng)不符合題意；C、符合判定，故本選項(xiàng)不符合題意．D、全等三角形的判定必須有邊的參與，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)直角三角形全等的一般方法有：，，，，．【例1-2】給出下列四組條件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，．其中，能確定△ABC和△DEF全等的條件共有（

）A．1組 B．2組 C．3組 D．4組【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法：結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判定解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，可根據(jù)SSS判定②AB＝DE，AC＝EF，∠B＝∠E，不能判斷③∠B＝∠E，AB＝DF，∠C＝∠F，不能判斷④AB＝DE，AC＝DF，，可根據(jù)判斷所以能確定的條件有2組故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．【例1-3】如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過(guò)點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①，此時(shí)，可據(jù)此求出P的位置；②，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．解：①當(dāng)時(shí)，∵，在與中，∴，∴；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，，在與中，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵，當(dāng)題中沒(méi)有明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)，要分情況討論，以免漏解．知識(shí)點(diǎn)2利用HL進(jìn)行證明和計(jì)算【例2-1】如圖，中，，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，且．(1)求證：；(2)判斷和的位置關(guān)系并證明．．(1)證明過(guò)程見詳解；(2)和的位置關(guān)系是垂直，證明過(guò)程見詳解【分析】（1）根據(jù)直角三角形的全等的條件：斜邊直角邊即可求證；（2）延長(zhǎng)與線段相交，根據(jù)全等，可找出線段與角的關(guān)系，由此即可求解．（1）解：在，中，∵∴（2）解：根據(jù)題意，畫圖如下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（1）可知，，，∴在中，，∵在中，，∴，∵，∴在中，，∴是直角三角形，即，∵點(diǎn)、、在同一條線段上，∴，故和的位置關(guān)系是垂直．【點(diǎn)撥】本題主要考查直角三角形的全等及線段的關(guān)系，理解三角形全等的條件，合理構(gòu)造線段關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【例2-2】如圖，D是內(nèi)部一點(diǎn)，于E，于F，且，點(diǎn)B是射線上一點(diǎn)，，，在射線上取一點(diǎn)C，使得，則的長(zhǎng)為__________．6或10/10或6【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在線段上，證明，可得，證明，可得，則，②當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得．解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在線段上時(shí)，連接，∵于E，于F，∴，在和中，，∴，∴，又∵在和中，，∴，∴，∴；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得，，∴．故答案為：6或10．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握證明全等三角形是關(guān)鍵，分類討論是解答的關(guān)鍵．【例2-3】如圖，四邊形中，，，，，與相交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)判斷線段與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(1)見分析；(2)，理由見分析【分析】（1）根據(jù)即可證明．（2）根據(jù)得到，結(jié)合得到，即可得結(jié)論．（1）解：在和中，∴．（2）解：．理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，常用的判定方法有：、、、、等，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3綜合運(yùn)用三角形的判定定理進(jìn)行證明和計(jì)算.【例3-1】如圖，已知AB⊥CF于點(diǎn)B，DE⊥CF于點(diǎn)E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．(1)求證：△ABH≌△DEG；(2)求證：CE＝FB．(1)見分析；(2)見分析．【分析】（1）由可證明；（2）證明．得出，則可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠DEG＝∠ABH＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵，∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，∵，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴CE＝FB．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、垂直的定義；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例3-2】已知如圖，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC與DE相交于點(diǎn)F，連接CD、EB．(1)求證：△ABC≌△ADE；(2)圖中還有哪幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉（無(wú)需證明）；(3)求證：CF=EF．(1)見分析；(2)△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；(3)見分析【分析】（1）利用“HL”直接證明即可；（2）求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS可證△ADC≌△ABE，得到CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，再求出∠DCF＝∠BEF，利用AAS可證△DFC≌△BFE；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．解：（1）證明：在Rt△ABC和Rt△ADE中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）；（2）圖中還有兩對(duì)全等三角形：△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE；證明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，∴∠DAC＝∠BAE，又∵AD＝AB，AC＝AE，∴△ADC≌△ABE（SAS）；∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，∵△ABC≌△ADE，∴∠ACB＝∠AED，∴∠ACB?∠ACD＝∠AED?∠AEB，∴∠DCF＝∠BEF，又∵∠DFC＝∠BFE，∴△DFC≌△BFE（AAS）；（3）由（2）可得：△DFC≌△BFE，∴CF＝EF．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.如圖①，E，F(xiàn)分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，若AB=CD，BF=DE，BD交(1)求證：AE=CF，(2)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)答案見解析(2)仍然成立，理由見解析【分析】（1）利用HL可證明△DEC≌△BFA，可得AF=CE，根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得AE=CF，利用AAS可證明△DEM≌△BFM，即可得MB=MD；（2）同（1）的證明方法即可得上述結(jié)論依然成立．【詳解】（1）解：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和RtBF=DEAB=CD∴△DEC≌△BFAHL∴AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，∴AE=CF，在△DEM和△BFM中，∠DME=∠BMF∠DEM=∠BFM∴△DEM?△BFMAAS∴MB=MD；（2）仍然成立，AE=CF，理由如下：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△ABF和Rt△CDE中，BF=DE∴△ABF≌△CDEHL∴AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，∴AE=CF，在△DEM和△BFM中，∠DME=∠BMF∠DEM=∠BFM∴△DEM?△BFMAAS∴MB=MD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定定理有SSS、2.如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，BD=CD，BE=CF．(1)求證：△ADE≌(2)若AC=20，BE=6，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)AB=8．【分析】（1）由題所給條件可得Rt△BED≌Rt△CFDHL，即得（2）由（1）可得AE=AF，CF=BE=6，則【詳解】（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E=∠DFC=90°，在Rt△BED和RtBD=CDBE=CF∴Rt△BED≌∴DE=DF，在Rt△BED和RtDE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌即△ADE≌（2）解：∵△ADE≌△ADF∴AE=AF，∵AC=20，∴AE=AF=20-6=14，∴AB=AE-BE=14-6=8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，以及HL全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．3.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板，如圖①所示放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請(qǐng)找出圖②中的全等三角形，并給予證明．（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）（2）證明：DC⊥BE．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS判定△ABE≌△ACD；因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)角相等，所以∠ACD＝∠ABE＝45°，已知∠ACB＝45°，所以可得到∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，即DC⊥BE．【解答】解：（1）△ABE≌△ACD，證明：∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）；（2）由△ABE≌△ACD得∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法以及性質(zhì)是并準(zhǔn)確確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1.如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，．要根據(jù)證明，則還需要添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】．D【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判斷．解：∵于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，∴，∵，∴當(dāng)添加時(shí)，根據(jù)“”判斷．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形全等的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．2.如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度與右邊滑梯的水平長(zhǎng)度相等，那么判定與全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)，判斷出≌．解：滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，在和中，，≌，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題3.如圖，已知，，若用“”判定和全等，則需要添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖示可知BD為公共邊，若想用“HL”判定證明和全等，必須添加AD=CB．解：在和中∴故選A【點(diǎn)撥】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．4.判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有（

）A．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等 B．斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等C．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等 D．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定條件逐一判斷即可．解：A、兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可以利用SAS證明兩個(gè)直角三角形全等，說(shuō)法正確，不符合題意；B、斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，可以利用AAS證明兩個(gè)直角三角形全等，說(shuō)法正確，不符合題意；C、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，可以利用HL證明兩個(gè)直角三角形全等，說(shuō)法正確，不符合題意；D、兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，不可以利用AAA證明兩個(gè)直角三角形全等，說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在Rt△ABC的斜邊AB上截取AD＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB交BC于E，則有（

）A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD【答案】B【分析】由“HL”Rt△ACE≌Rt△ADE，可得DE=CE，即可．解：如圖，連接AE，∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠C=90°，在Rt△ACE和Rt△ADE中，∵AE=AE，AC=AD，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴DE=CE．故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，要使，下面給出的四組條件，錯(cuò)誤的一組是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐項(xiàng)判定即可．解：A、∵，，AB=AB，∴(AAS)，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，AB=AB，∴(SSS)，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，，AB=AB，∴(ASA)，正確，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，，AB=AB，兩邊以及一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，不能判定，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查全靠等三角形的判定，熟練掌握全靠三角形判定定理：SSS，SAS，ASA，AAS，HL是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在和中，，，，線段BC的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)F，連接AF．若，，，則線段EF的長(zhǎng)度為（

）A．4 B． C．5 D．【答案】B【分析】證明，，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，得到，，由解得，繼而解得，最后由解答．解：，，，，，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．8.如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過(guò)點(diǎn)、作、的垂線，交點(diǎn)為，畫射線．可判定，依據(jù)是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．HL【答案】D【分析】由垂線的定義可知和都是直角三角形，已知條件滿足斜邊相等和一組直角邊相等，因此依據(jù)HL判定．解：由題意可知，和都是直角三角形，在和中，，滿足斜邊相等和一組直角邊相等，因此，故選D．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠依據(jù)HL判定兩個(gè)直角三角形全等．二、填空題（每小題4分，共20分）9.如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，，，若用“”判定，則添加的一個(gè)條件是___________．【答案】（答案不唯一）【分析】用“”判定，只需要滿足一條直角邊對(duì)應(yīng)線段，斜邊對(duì)應(yīng)相等即可解：添加條件：，在和中，，∴，故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知“”的判定條件是解題的關(guān)鍵．如圖，四邊形ABCD，連接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，則BE＝________．【答案】2【分析】根據(jù)HL證明，可得，根據(jù)即可求解．解：AB⊥AD，CE⊥BD，，在與中，，，AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，故答案為：2【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握HL證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．11.如圖，已知，是的兩條高線，，，則___________度．【答案】40【分析】由，是的兩條高線，得，證明，得，則，．解：∵，是的兩條高線，∴，，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，故答案為：40．【點(diǎn)撥】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識(shí)，正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且證明是解題的關(guān)鍵．12．如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，則的長(zhǎng)是________．【答案】5【分析】先證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，∴，在與中，，∴，∴

∴，故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證明13.如圖，直線過(guò)正方形的頂點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為______________．【答案】【分析】利用同角的余角相等，證得，根據(jù)垂直定義，得，結(jié)合已知，證得，進(jìn)而證得，，據(jù)此可求出，問(wèn)題得解．解：∵四邊形是正方形，∴，，∴∵∴∴∵，∴在和中∵∴∴，∴故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三角形，學(xué)會(huì)利用同角的余角相等是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（共6小題，48分）14.（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于F．（1）求證：△ABD≌△ACE．（2）求證：∠EAF＝∠DAF．【分析】（1）求出∠AEC＝∠ADB＝90°，根據(jù)AAS推出即可．（2）根據(jù)全等求出AE＝AD，根據(jù)HL證出Rt△AEF≌Rt△ADF，推出∠EAF＝∠DAF即可．【解答】證明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）．（2）∵△ABD≌△ACE，∴AE＝AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，AF=AFAE=AD∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴∠EAF＝∠DAF，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有定理HL，全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．15（8分）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AD＝AE，BE與CD相交于點(diǎn)O．求證：∠BDO＝∠CEO．【分析】首先由“SAS”可證△ABE≌△ACD，由全等三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C；然后由“AAS”證得△BDO≌△CEO，得到結(jié)論．【解答】證明：在△ABE與△ACD中，AB=AC∠A=∠A則△ABE≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C．∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE．在△BDO與△CEO中，∠DOB=∠EOB∠B=∠C∴△BDO≌△CEO（AAS）．∴∠BDO＝∠CEO．【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形。16.（8分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE相交于點(diǎn)F，且AE＝CD．求證：AB＝CB；【分析】首先利用已知同解證明△AEF≌△CDF（AAS），然后利用全等三角形的性質(zhì)繼續(xù)證明△ABD≌△CBE（AAS）即可證明結(jié)論；【解答】證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CDF＝∠BEC＝∠BDA＝90°．在△AEF和△CDF中，∠AFE=∠CFD，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF＝DF，AF＝CF．∴EF+CF＝DF+AF，∴EC＝DA，在△ABD和△CBE中，∠B=∠B∠BDA=∠BEC∴△ABD≌△CBE（AAS），∴AB＝CB；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)有一定的綜合性．17.（8分）如圖，在△ABC中，AH＝BH，AH⊥BC于點(diǎn)H，D為AH上一點(diǎn)，且BD＝AC，直線BD與AC交于點(diǎn)E，連接EH．（1）求證：DH＝CH；（2）判斷BE與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【分析】（1）先判斷出△ABH為等腰直角三角形，然后根據(jù)“HL”得出△AHC≌△BHD；（2）根據(jù)對(duì)頂角和等量代換即可得出∠ADE+∠DAE＝90°，結(jié)論得證；△AHE≌△BHF，即可得出EH＝FH，可得答案．【解答】（1）證明：∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°在Rt△BHD和Rt△AHC中，AH=BHBD=AC∴Rt△BHD≌Rt△AHC（HL），∴DH＝CH；（2）解：BE⊥AC．由（1）可知△BHD≌△AHC，∴∠DBH＝∠CAH．∵∠CAH+∠C＝90°，∴∠DBH+∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC；【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形的全等的性質(zhì)和判定，同角或等角的余角相等，注：出現(xiàn)直角，要聯(lián)想到互余．18.（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，且BD＝AB．過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E．（1）求證：△ABC≌△BDE；（2）請(qǐng)找出線段AB、DE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）利用已知得出∠A＝∠DBE，進(jìn)而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBE+∠ABE＝90°，