摘要：《雞兔同籠》問題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題，教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的同時，重在理解和應(yīng)用假設(shè)思想。然而“一題多解”的解題策略教學(xué)中，一節(jié)課下來師生取得的效果并不理想，學(xué)生不理解假設(shè)從何來，且用假設(shè)法解決問題的方法過于模式化。在新課標(biāo)的指導(dǎo)下，開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，側(cè)重假設(shè)法學(xué)習(xí)和理解，借助思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)可視的結(jié)構(gòu)，“深度”掌握數(shù)學(xué)模型，促進學(xué)生思維發(fā)展。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中指出：“重點是對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，重視數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程；根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認知規(guī)律，適當(dāng)采取螺旋式的方式，逐漸拓展和加深課程內(nèi)容，適應(yīng)學(xué)生的發(fā)展需求?！苯Y(jié)構(gòu)化教學(xué)體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)容整體性和一致性，學(xué)生從學(xué)習(xí)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)中體會到核心概念，并在其后學(xué)習(xí)中進行反復(fù)運用和強化，進而促進核心素養(yǎng)的發(fā)展?！峨u兔同籠》是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)趣題，引導(dǎo)學(xué)生在感受數(shù)學(xué)文化魅力的同時，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，重在假設(shè)思想。對此，如何幫助學(xué)生梳理與《雞兔同籠》相關(guān)的知識，更好地理解和掌握假設(shè)思想，呈現(xiàn)完整的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)過程，促進學(xué)生的思維發(fā)展呢？文章筆者將以《雞兔同籠》一課為例，嘗試開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)實踐。一、課前思考，分析學(xué)情筆者回顧教學(xué)中發(fā)現(xiàn)師生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中遇到的困難如下：從學(xué)生角度來看：一是假設(shè)從何而來？在教學(xué)中往往“假設(shè)”一詞都是教師提出，引導(dǎo)學(xué)生進行解題，學(xué)生不理解為什么要進行“假設(shè)”；二是模型的掌握固化，即學(xué)生對《雞兔同籠》系列數(shù)學(xué)模型更多的是一種“公式”的掌握，無法變通解決“雞、兔”以外的相關(guān)問題。教學(xué)中我們引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)模式是有必要的，但不能是模式化。從教師角度來看：人教版教材提倡“一題多解”，讓學(xué)生體驗解決問題的多樣化，了解列表法、假設(shè)法和畫圖法等，然而一節(jié)課下來多種方法的呈現(xiàn)，學(xué)生掌握并不理想。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在實際解決《雞兔同籠》問題中，學(xué)生在多種解題方法中用到假設(shè)法的約占80%以上。因此，筆者將用學(xué)生已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗和需求進行教學(xué)，設(shè)計符合學(xué)生的學(xué)習(xí)情境感知“假設(shè)”的由來，在新舊知識對比中掌握數(shù)學(xué)模型，面對多種解法中采取“任弱水三千，我只取一瓢”，即側(cè)重假設(shè)法教學(xué)。二、尋找關(guān)聯(lián)，梳理結(jié)構(gòu)經(jīng)筆者對教材的知識梳理，與本節(jié)課相關(guān)聯(lián)的知識點包括以下：第一，三年級上冊《多位數(shù)乘一位數(shù)》和三年級下冊《除數(shù)是一位數(shù)的除法》的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌握了乘除法計算能力，能夠結(jié)合“單一”的數(shù)學(xué)信息解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，為《雞兔同籠》問題中乘除法計算解決問題作了鋪墊；第二，三年級上冊《測量》中《噸的認識》這節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)了列表法解決問題，而且題目中大小車和課后的練習(xí)題大小船與《雞兔同籠》中的雞兔問題基本相同。因此，這些已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗不僅為本節(jié)課解決問題的方法提供了幫助，也為《雞兔同籠》問題的數(shù)學(xué)模型形成提供了依據(jù)。據(jù)此，《雞兔同籠》的教學(xué)定位：一是從“單一”信息（籠子里全是雞或全是兔）導(dǎo)入新知，為假設(shè)的由來作好鋪墊；二是在觀察與對比“單一”信息與《雞兔同籠》問題中，初步形成《雞兔同籠》數(shù)學(xué)模型；三是回顧與《雞兔同籠》的相關(guān)知識，即《噸的認識》例題，引出列表法解決問題，并借此優(yōu)化方法。同時用大小車、大小船等知識的回顧及引導(dǎo)學(xué)生嘗試列舉，逐步加深數(shù)學(xué)模型認知和運用，由淺入深，從而更好地發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。三、實踐課堂，呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)（一）引問新知，回顧舊知師：同學(xué)們，你知道《雞兔同籠》問題嗎？能介紹下嗎？（生答）師：你們知道的可真多，為你們點贊?？墒钱?dāng)初我沒有學(xué)的時候，想得很簡單，同學(xué)可別笑話我，知道我是怎么想的嗎？課件出示（一個籠子里全是雞，或者全是兔）師：我當(dāng)時就認為很多只雞在同一個籠子，很多只兔在同一個籠子。這樣的問題多簡單，你們看如果籠子里有35只雞，能算出有多少只腳嗎？生1：能，一共70只，用35×2就可以了。師：為什么要乘2呢？生：因為一只雞有2只腳。師：是的。如果籠子的雞腳一共有60只，能知道有多少只雞嗎？生：30只。師：籠子里有35只兔子，知道有多少只腳嗎？生2：一只兔子4只腳，一共有35×4=140只腳。師：真棒。如果籠子里共有80只腳，有多少只兔子呢？生3：80÷4=20只兔子。師：同學(xué)們，你們看，這樣的雞、兔同籠問題多簡單。（二）新舊關(guān)聯(lián)，理解假設(shè)1.數(shù)學(xué)文化師：《雞兔同籠》問題是1500年前我國古代名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)趣題。（出示課件）師：在生活中產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題，可以看出當(dāng)時我們的先輩對數(shù)學(xué)的熱愛和他們的智慧，能讀懂題的意思嗎？2.巧引假設(shè)師：見到真正的《雞兔同籠》問題，再和我想象的對比下，有什么感覺？生：變難了。師：是?。∮须u也有兔，混合在一起多難算??！所以我就在想：籠子里裝的……就好了。同學(xué)們，你知道我在想什么嗎？生1：你肯定在想如果籠子里全是雞就好了。師：哇！你真懂我的心思。生2：還有，籠子里全是兔子也行。師：謝謝，我們已經(jīng)是知己了。我當(dāng)時的確就是這樣想的。師：那籠子里能全是雞或者全是兔子嗎？生：不能，題中都說了雞和兔同籠的。師：是啊，這只不過是我的個人想法，不是真的。在數(shù)學(xué)中像老師這樣的想法，稱為假設(shè)。師：這樣的假設(shè)能解決雞兔同籠問題嗎？生：不知道。師：那我們不妨試一試，敢于想象，敢于嘗試，或許會有新的收獲。3.運用假設(shè)師：假設(shè)籠子里全是雞會有什么結(jié)果呢？生：腿數(shù)不夠。師：為什么不夠？生1：因為差兔子啊，把兔子當(dāng)成了雞，一只兔子就少算了2只腳。師：確實，兔子肯定也為難了。那一共少多少只腳呢？你們知道嗎？生：一共少24只。師：怎樣計算的？生2：因為一只雞2只腳，35只雞一共有35×2=70只腳，題中說一共有94只腳，還差24只。師：為了便于我們更好地理解，也可以借助畫圖的方法演示，一起看下。（課件演示）師：老師用算式把這個過程記錄下來。那24只腳是誰的呢？生3：是兔子的呀，因為剛才不是說了把兔子看成雞。師：明白了，那現(xiàn)在把腳還給兔子吧，應(yīng)該怎么去還呢？生4：給一只雞加上2只腳，就變成兔子了。師：為什么加2只腳？生5：因為一只兔子比一只雞多了2只腳。生6：他的意思是說，假設(shè)籠子里全是雞，那兔子也變成了雞，一只兔子就少算了2只腳，所以24要除以2，是12只兔子的腳數(shù)。師：謝謝你這么詳細的解釋。原來這個“2”是一只兔子和一只雞相差的腳數(shù)，利用這樣的數(shù)量關(guān)系，我們算出了籠子里兔子的只數(shù)共有12只，那雞就是多少只？生7：用35-12就是雞的只數(shù)了，雞有23只。師：籠子里有23只雞，12只兔，這個只數(shù)到底對不對呢？大家能驗算下嗎？生8：12×4+23×2=94，說明是正確的。師：真好！看來運用假設(shè)這個方法還能解決問題呢。4.自主探究師：同學(xué)們，再來一起看下假設(shè)全是雞的計算過程，我們先計算了35只雞的總腳數(shù)，再用籠子里雞兔的總腳數(shù)94-70得出了少的腳數(shù)，因為把兔子看成了雞，一只兔子就少算了2只腳，所以用24÷2就得出了兔子的只數(shù)，最后也就得到了雞的只數(shù)。師：如果假設(shè)全是兔，你能像這樣列式解決嗎？請大家試一試。（學(xué)生完成后匯報）生1：假設(shè)籠子里全是兔，籠子里共有35×4=140只，140-94=46表示比籠子里規(guī)定多出的腳數(shù)，這次假設(shè)全是兔，就是把雞也當(dāng)成了兔，一只雞就多出2只腳，所以用46÷2=23只就算出了雞的只數(shù)，用35-23=12只就是兔子的只數(shù)了。師：為他完整地解答鼓掌！那結(jié)果對不對呢？生2：不用計算了，和上面假設(shè)全是雞的答案一樣，所以計算是正確的。師：真棒！通過剛才大家的計算，再次驗證了假設(shè)法的確不錯。（三）對比分析，形成模型1.初識模型師：同學(xué)們，我們一起來對比下，老師想象的“雞、兔同籠”問題和真正的《雞兔同籠》問題，它們之間有什么不同的地方？生1：老師想的籠子里全是雞或者全是兔，而《雞兔同籠》里既有雞也有兔。生2：想的題比較簡單，而《雞兔同籠》問題比較難。師：從哪里看出了簡單和難呢？生3：全是雞或全是兔，就給一個數(shù)學(xué)信息，《雞兔同籠》既有雞，也有兔的比較復(fù)雜。師：是的，我想象的問題中給出的數(shù)學(xué)信息是單一的，而《雞兔同籠》問題就像是把這兩個單一不同的條件合在了一起。其實像這樣的問題，我們也并不陌生，三年級的時候就遇到過。2.優(yōu)化列表師：（出示課件，如圖1）同學(xué)們，能看出這題中的“雞”和“兔”嗎？生：大車是兔子，小車是雞。師：還記得怎樣解決這道題的嗎？（課件出示列表法）當(dāng)時我們是用列表法解決。師：我們也用列表法來解決下今天學(xué)習(xí)的《雞兔同籠》問題吧。（出示表格）如果雞有1只，兔子就要有34只，一共有多少只腳呢？生：1×2+34×4=138師：是的，如果雞有2只，兔子就要有33只，一共有136只腳。如果雞有3只，……以此類推，要算到哪里呢？生：雞有23只，兔子有12只。師：對的。運用列表法解決你有什么感覺？生：太麻煩了。師：不過，這里面也有簡便的地方，你發(fā)現(xiàn)了嗎？生1：我發(fā)現(xiàn)了，多一只雞，少一只兔子，總腳數(shù)就少2只。師：真是善于觀察的孩子！如果反過來看，又有什么發(fā)現(xiàn)？生2：多一只兔子，少一只雞，總腳數(shù)就多2只了。師：了不起！所以我們也可以運用這樣的規(guī)律去解決雞兔同籠問題。但和假設(shè)法對比，可能假設(shè)法略勝一籌。大家選擇自己喜歡的方法就可以。3.深化模型師：課后還有一題，大家請看。（出示課件，如圖2）師：能看出這題中的誰是“雞”，誰是“兔”嗎？生：大船是雞，小船是兔。師：是的，它們都和雞兔同籠問題一樣，里面都是由兩個不同的數(shù)學(xué)信息組成?；\子裝的是雞和兔，就可以叫作《雞兔同籠》問題，那同學(xué)們再想下，剛剛這兩道題其實也可以有自己的名字，叫什么問題呢？生1：卡車問題。生2：大小船問題。師：雞兔同籠是一個代表性的問題，只要像它們這樣，將兩個不同的數(shù)學(xué)信息融合在一起，就可以設(shè)計出一道問題來。同學(xué)們，大膽地思考下，生活中還有什么樣的相似問題呢？你能舉例說一個嗎？生3：5元錢和1元錢放在一起，可以組成金錢問題。生4：八爪魚和兔子放在一起，魚兔問題。生5：牛和雞在一起，牛雞問題?！瓗煟赫媸菒鬯伎嫉暮⒆?，為你們點贊。像這樣的問題在我們生活中有很多，只要將兩個不同的“單一”數(shù)學(xué)信息放在一起，就可以組成是“雞兔同籠”問題了。四、反思教學(xué)，解析結(jié)構(gòu)通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)的開展，加深了學(xué)生對《雞兔同籠》問題的數(shù)學(xué)模型的理解，并能更好地運用假設(shè)法解決相關(guān)的問題。（一）以舊知引新知，搭建認知結(jié)構(gòu)人的認知規(guī)律特點是“溫故知新”，尤其對學(xué)生更加適合。本節(jié)課的教學(xué)從學(xué)生角度出發(fā)，設(shè)計適合學(xué)生的學(xué)習(xí)情境，以教師初學(xué)時猜想的“單一”數(shù)學(xué)信息（即一個籠子里全是雞或全是兔）的導(dǎo)入回顧舊知，喚起學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。在這個學(xué)習(xí)過程中，溝通了新舊知識的關(guān)系，為假設(shè)思想解決問題作好了鋪墊，激發(fā)了學(xué)生嘗試探究新知、獲取新知的需求，提高學(xué)生“主動學(xué)習(xí)”的積極性。以舊知引出新知學(xué)習(xí)的方式，體現(xiàn)了“降維思想”，從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和生活經(jīng)歷中開展教學(xué)，搭建符合學(xué)生認知的橋梁，符合結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求。（二）用關(guān)聯(lián)比不同，探究模型結(jié)構(gòu)《雞兔同籠》是一道典型的邏輯推理問題，部分學(xué)生學(xué)習(xí)后只識“雞兔”，不識“模型”。為了更好地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中認清“模型”，教學(xué)中聯(lián)系學(xué)生已有的學(xué)習(xí)“單一”數(shù)學(xué)信息問題與雞兔同籠問題進行對比不同，發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問題好比將兩個不同的“單一”數(shù)學(xué)信息捏合而成，在對比中學(xué)生初步感知模型結(jié)構(gòu)。再回顧三年級上冊《噸的認識》中例題大小卡車和課后練習(xí)題大小船，尋找“雞”和“兔”，深化模型的探究，引導(dǎo)學(xué)生感知《雞兔同籠》只是一個典型的代表，還可以有“大小卡車問題”“大小船問題”，以此讓學(xué)生列舉相關(guān)的問題。在這個學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生探究《雞兔同籠》問題的模型結(jié)構(gòu)是由淺入深、螺旋上升的方式，體現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)，為學(xué)生解決