2021年全國新高考I卷數(shù)學試題

一、單選題(共32分)

1.設集合/={x|-2<x<4],B={234,5},則ACB=()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【分析】

利用交集的定義可求/nB.

【詳解】

由題設有/CB={2,3},

故選：B.

2.已知z=2—1,則z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】

利用復數(shù)的乘法和共規(guī)復數(shù)的定義可求得結果.

【詳解】

因為z=2-1,故5=2+i,故z(2+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故選：C.

3.已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2V2C.4D.4V2

【答案】B

【分析】

設圓錐的母線長為Z,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得2的值，即為所求.

【詳解】

設圓錐的母線長為由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則泡=2兀*或，解得E=2a.

故選：B.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=7sin-習單調(diào)遞增的區(qū)間是（）

A.（0$B.&兀）C.（喏）D停2兀）

【答案】A

【分析】

解不等式2左兀一三<%_?<2/CTT+W供eZ）,利用賦值法可得出結論.

262

【詳解】

因為函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為儂兀-，2/OT+eZ）,

對于函數(shù)f（x）=7sin（x—斗，由2/OT2/CTT+-（/CGZ）,

\6/262

解得2/C7T—I<x<2kli+g（keZ）,

取k=0,可得函數(shù)f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（-？芝），

則（05）〈（冶號）,圖加（_瀉）,A選項滿足條件,B不滿足條件;

取k=1,可得函數(shù)f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（軍野），

（兀號）,（*號）且（兀號）“票號）（表2兀）仁（早野），CD選項均不滿足條件.

故選：A.

【點睛】

方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成y=Asin（3x+"）形式，再求y=

/sin（3x+"）的單調(diào)區(qū)間，只需把3X+R看作一個整體代入y=sinx的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注

意要先把3化為正數(shù).

22

5.己知&,尸2是橢圓C：￡+?=1的兩個焦點，點M在C上，則IMF1I?IMF2I的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】

本題通過利用橢圓定義得到|MR|+IMF2I=2a=6,借助基本不等式IMF/?\MF2\<

（經(jīng)誓碼）2即可得到答案.

【詳解】

由題，a2=9,b2=4,則|MFJ+IMF2I=2a=6,

所以|M&|-\MF2\<（四哼出I7=9（當且僅當|M0|=[MF?]=3時，等號成立）.

故選：C.

【點睛】

6.若tanO=-2,則則等曾2=（）

sm6+cos6

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】

將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母（I=sin2e+cos2。），進行齊次化

處理，化為正切的表達式，代入tan?=-2即可得到結果.

【詳解】

將式子進行齊次化處理得：

sin0(l+sin20)sin0(sin20+cos20+2sin0cos0)

=sin0(sin6+cos0)

sind+cos0sin。+cos0

sin6(sin6+cos。)_tan20+tan0__4-2

sin20+cos20l+tan201+4

故選：c.

【點睛】

易錯點睛：本題如果利用tan6=-2,求出sin。,cos?的值，可能還需要分象限討論其正負，通過

齊次化處理，可以避開了這一討論.

7.若過點（a,b）可以作曲線y=e》的兩條切線，則（）

A.eh<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【分析】

解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定

結果；

解法二：畫出曲線丫=短的圖象，根據(jù)直觀即可判定點（a,b）在曲線下方和％軸上方時才可以作出

兩條切線.

【詳解】

在曲線y=e*上任取一點對函數(shù)y=e*求導得y'=ex,

所以，曲線y=e》在點P處的切線方程為y-/=6鼠％-t),即丫=+(1-t)e、

由題意可知，點(a,b)在直線y=efx+(1—t)/上，可得b=aet+(1—t)ef=(a+1—t)e、

令fQ)=(a+1-t)ef,則f'(t)=(a-t)ef.

當tVa時,f(t)>0,此時函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，

當t>a時，r(t)<0,此時函數(shù)f(t)單調(diào)遞減，

所以，f(t)max=f(a)=e。，

由題意可知，直線y=b與曲線y=f(t)的圖象有兩個交點，貝防<f(t)max=ea,

當￡<@+1時，/(t)>0,當t>a+l時，/(t)<0,作出函數(shù)f(t)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當0<b<e。時，直線y=b與曲線y=f(t)的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=蛾的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(a,b)在曲線下方和％軸上方

時才可以作出兩條切線.由此可知0<b<e。.

【點睛】

解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性

進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的

有效方法.

8.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次，每次取1個

球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表

示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7“，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【分析】

根據(jù)獨立事件概率關系逐一判斷

【詳解】

P（效=3,P（乙）=3,P（電=9P（刀=卷="，

1

p（尹劭=0wp（乃p（電，p（甲?。?外=p（gpcr），

36

1

p（乙兩p（乙）p（劭，p（丙丁）=owP（T）P（兩，

36

故選：B

【點睛】

判斷事件4B是否獨立，先計算對應概率，再判斷尸G4）P（3）=PQ4B）是否成立

二、多選題（共16分）

9.有一組樣本數(shù)據(jù)%i，不，…，％n，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y>丫2，…，%，其中%=/+

c(i=1,2,…,n),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【分析】

A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關系有E(y)=E(x)+c、D(y)=0(%),即可判斷正誤；根據(jù)中位

數(shù)、極差的定義，結合已知線性關系可判斷B、D的正誤.

【詳解】

A：E(y)=E(x+c)=EQ)+c且c。0,故平均數(shù)不相同，錯誤；

B：若第一組中位數(shù)為刈，則第二組的中位數(shù)為%=/+c,顯然不相同，錯誤；

C：D(y)=O(x)+D(c)=￡)(%),故方差相同，正確；

D:由極差的定義知：若第一組的極差為Xmax-%min，則第二組的極差為％ax-'min=Qmax+

C)一(%min+C)=Xmax-^min，故極差相同，正確；

故選：CD

10.已知。為坐標原點，點Pi(cosa,sina),P?(cos/?,-sin/?),P3(cos(a+^),sin(a+/?)),

A(1,0),則()

A.IMI=\0K\B.|^|=|展|

-->-->-->--->-->--?--->---?

C.OA-0P3=0P1-0P2D.OA-OP]=0P2-0P3

【答案】AC

【分析】

A、B寫出砥，西、福，麗的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的

坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】

=

A：0P1=(cosa,sina),OP?=(cos凡—sin/?),所以|OPJ=Vcos2a+sin2a=1,|0P2l

7(cos/?)2+(-sin/?)2=1,故|0P/=QP2I，正確；

B：APX=(cosa—1,sina),AP2=(cos^—1,—sin/?),所以lAPJ=J(cosa—+sin2a=

A/COS2a-2cosa+1+sin2a=,2(1-cosa)=JsiM]=21sin1|，同理MP21=

J(cos4-I1+sin2/?=2|sing|,故|APJ,I/P2I不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OA-0P3=1xcos(a+g)+0xsin(a+0)=cos(a+/?),0Pr-0P2=cosa?

cos/3+sina'(—sin/?)=cos(a+0),正確；

D：由題意得：。/-OP]=1xcosa+0xsina=cosa,0P2-0P3=cos/?xcos(a+/?)+

(—sin/?)xsin(a+°)

=cos(p+(a+P))=cos(a+20),故一般來說。4-0P1中0P2-OP?故錯誤；

故選：AC

11.已知點P在圓(％—5尸+(y-5)2=16上，點/(4,0)、8(0,2),則()

A.點P到直線AB的距離小于10

B.點P到直線的距離大于2

C.當ZPBA最小時，\PB\=3V2

D.當NPBA最大時，\PB\=3V2

【答案】ACD

【分析】

計算出圓心到直線的距離，可得出點P到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正

誤；分析可知，當NPBA最大或最小時，PB與圓M相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.

【詳解】

圓(%-5)2+(y-5)2=16的圓心為M(5,5),半徑為4,

直線的方程為.+^=1,即％+2y—4=0,

42

圓心M到直線的距離為片2X"41=窄=￥>4,

Vl2+22V55

所以，點P到直線AB的距離的最小值為呼-4<2,最大值為竽+4<10,A選項正確，B選

項錯誤；

如下圖所示：

當乙PBA最大或最小時，PB與圓M相切，連接MP、BM,可知PM1PB,

\BM\=J(0—5J+(2-5尸=V34,\MP\=4,由勾股定理可得|BP|=y/\BM\2-\MP\2=

3vLCD選項正確.

故選：ACD.

【點睛】

結論點睛：若直線/與半徑為r的圓C相離，圓心C到直線1的距離為d,則圓C上一點P到直線用勺距

離的取值范圍是[d-r,d+r].

12.在正三棱柱/BC—A/Ci中，AB=44i=l,點P滿足而=A就+〃西，其中;le[0,1],

〃G[0,1],則()

A.當；1=1時，AABiP的周長為定值

B.當〃=1時，三棱錐P-//C的體積為定值

C.當；l=g時，有且僅有一個點P,使得&P_LBP

D.當〃=機寸，有且僅有一個點P,使得&B_L平面ABiP

【答案】BD

【分析】

對于A,由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內(nèi)，進而確定點的坐標；

對于B,將P點的運動軌跡考慮到一個三角形內(nèi)，確定路線，進而考慮體積是否為定值；

對于C,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個

數(shù)；

對于D,考慮借助向量的平移將P點軌跡確定，進而考慮建立合適的直角坐標系來求解P點的個

數(shù).

【詳解】

易知，點P在矩形BCCiBi內(nèi)部（含邊界）.

對于A,當；1=1時，前=麗+〃西=近+〃西，即此時PC線段CG，△力B止周長不是定

值，故A錯誤；

對于B,當〃=1時，BP=XBC+西=西+4瓦高，故此時P點軌跡為線段BiG，而

B^CJ/BC,BiG〃平面&BC,則有P到平面&BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正

確.

對于C,當％時，BP=^BC+nBB[,取BC,BIG中點分別為Q，H,則前=的+〃麗，所

以P點軌跡為線段Q”，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，4（日,0,1）,P（0,0,〃），

5（0,1,0）,則審=而=（0,舊，〃），審?前=〃（〃-1）=0，所以〃=0或

“=1.故/Q均滿足，故C錯誤；

對于D,當〃=機寸，麗=%就+：西，取BBi，CCi中點為M,N.BP='BM+AMN,所以P點

軌跡為線段MN.設P（O,yo，￡），因為Ag,0,0）,所以而=（-今y。3），彳了=

（—券1）,所以：+Jy?！?=0=>y（）=—；,此時P與N重合，故D正確.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內(nèi).

三、填空題（共12分）

13.已知函數(shù)f(%)=x3(a-2X-2-x)是偶函數(shù),則a=.

【答案】1

【分析】

利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)a的值.

【詳解】

因為f(%)=-2X-2-x),故/'(-%)=-x3(a-2~x-2X),

因為f(x)為偶函數(shù)，故/(—%)=/(%),

時%3。.2X-2-x)=-%3(a-2-x-2工)，整理得到(a-1)(2工+2-*)=0,

故a=1,

故答案為：1

14.已知。為坐標原點，拋物線C：y2=2p%(p>0)的焦點為凡P為C上一點，P5與x軸垂直，Q

為工軸上一點，S.PQ1OP,若|FQ|=6,則C的準線方程為.

【答案】％=*

【分析】

先用坐標表示P,Q,再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得p,即得結果.

【詳解】

拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點Fg,0),

???P為C上一點，PF與t軸垂直，

所以P的橫坐標為導代入拋物線方程求得P的縱坐標為土p,

不妨設Pg,P),

因為。為久軸上一點，且PQ_LOP,所以。在尸的右側(cè)，

又???|FQ|=6,

???Q(6+]()),??.所=(6,-p)

因為PQ1OP,所以所-OP=6-p2=0,

vp>0,???p=3,

所以c的準線方程為％=-號

故答案為：x=-1.

【點睛】

利用向量數(shù)量積處理垂直關系是本題關鍵.

15.函數(shù)f(%)=|2x-1|-21nx的最小值為.

【答案】1

【分析】

由解析式知/(%)定義域為(0,+8),討論0<久三［、|<%<1>%>1,并結合導數(shù)研究的單調(diào)

性，即可求f(%)最小值.

【詳解】

由題設知:/(x)=|2x-1|-21nx定義域為(0,+00),

...當凱寸，/(x)=l-2x-21nx,此時f(%)單調(diào)遞減；

當時，/(x)=2x-l-21nx,有/(%)=2W0,此時f。)單調(diào)遞減；

當％>1時，/(X)=2x-l-2\nx,有:(%)=2-|>0,此時f(%)單調(diào)遞增；

又f(%)在各分段的界點處連續(xù)，

.?.綜上有：0<%Wl時，/(%)單調(diào)遞減，%>1時，f(%)單調(diào)遞增；

?V(x)>/(I)=1

故答案為：1.

四、雙空題(共4分)

16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為

20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，

它們的面積之和I=240dm2,對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm

三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖

形的種數(shù)為；如果對折ri次，那么2bls上二dm2.

【答案】(1).5⑵.720-嚶段

【分析】

(1)按對折列舉即可；(2)根據(jù)規(guī)律可得又，再根據(jù)錯位相減法得結果.

【詳解】

(1)由對折2次共可以得到5dmx12dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，所以

對著三次的結果有：|x12,5x6,10x3；20x|,共4種不同規(guī)格(單位dm?)；

故對折4次可得到如下規(guī)格：Jx12,|x6,5x3,10x120xp共5種不同規(guī)格；

(2)由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如

何，其面積成公比為國勺等比數(shù)列，首項為120(dm2),第〃次對折后的圖形面積為120x(3"-,

對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)(1)的過程和結論，猜想為Ti+l種(證明從

略)，故得猜想又=王典義

120X2?120X3120x4120(n+l)

設s=Sk=+21----+???--------

22271T

120X2120X3120n120(n+l)

則尹=21+22十+-----H-------------

2"T2n

兩式作差得:

1/I11\120(n+1)

-5=240+120++-+

2^

6。(1-6)

1200+1)

=240+

2^

36。-鼠120(n+l)360-120(n+3)

-2"_―-2"_一

因止匕，S=720—2嗎+3)=720—1；(二3)

故答案為：5；720-駕空.

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

(1)對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；

(2)對于｛每垢｝結構，其中｛&｝是等差數(shù)列，｛3｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

(3)對于｛冊+匕｝結構，利用分組求和法；

(4)對于［」一］結構，其中｛oj是等差數(shù)列，公差為d(dHO),則」一=；(二一一利用

Wnan+iJanan+id\anan+1J

裂項相消法求和.

五、解答題(共24分)

ci+1,n為奇數(shù),

17.已知數(shù)列｛%｝滿足的=1,冊+］=n

an+2,n為偶數(shù).

(1)記夙=。2般，寫出瓦，b2,并求數(shù)列出工的通項公式；

(2)求｛%｝的前20項和.

【答案】(1)=2,b2=5,bn=3n—1；(2)300.

【分析】

(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數(shù)列｛匕｝的特征，然后求和其通項公式即可；

⑵方法二：分組求和，結合等差數(shù)列前九項和公式即可求得數(shù)列的前20項和.

【詳解】

解：(1)［方法一］【最優(yōu)解】：

顯然2九為偶數(shù)，則。2?1+1=a2n+2,。2?1+2=<^2n+l+

所以a2n+2=a2"+3,即bn+i=bn+3,旦瓦—a2=cii+1=2,

所以｛與｝是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，

于是瓦=2,b2=5,bn=3n—1.

［方法二］:奇偶分類討論

由題意知的=l,a2=2,a3=4,所以瓦=a2=2,b2=a4=a3+1=5.

由an+i-an=l(ri為奇數(shù))及an+i-an=2(九為偶數(shù))可知，

數(shù)列從第一項起，

若葭為奇數(shù)，則其后一項減去該項的差為1,

若九為偶數(shù)，則其后一項減去該項的差為2.

所以％2+2—cin—3(n6N*),則%=瓦+(九-1)x3=3n—1.

［方法三］：累加法

由題意知數(shù)列｛冊｝滿足%=L%i+1=+|+號匕⑺eN*).

=a

所以瓦=a2i+|+(；)-=1+1=2,

匕2=&4=&3+|+等=&3+1=a2+>萼+1=+2+1=2+3=5,

則g=a，2n=(a2n-a2n-l)+(a2n-l-a2n-2)"I---^(.a2一%)+的=1+2+1+2H---F2+

1+%=71X1+2(n-1)+1—3n—1.

所以瓦=2,b2=5,數(shù)列｛bn｝的通項公式6n=3n-1.

(2)［方法一］:奇偶分類討論

a

52。=a1+a2+a3----^~2o=(ai+a3+a5+…9)+｛a2+a4+a6H----\-a2°)

二(瓦一1+82一l+①―1+…+瓦。―1)+瓦+厲+力3+…+瓦0

=2X⑸+&。心_10=300.

2

［方法二］:分組求和

a

由題意知數(shù)列Mn｝滿足=l,a2n=2n-l+1，?2n+l=a2n+2,

所以。2“+1=a2n+2=+3。

所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；

同理，由a2n+2=a2n+i+l=a2n+3知數(shù)列｛時｝的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.

從而數(shù)列｛&J的前20項和為：

10x9

S20=(Qi+Q3+。5+…+。19)+(02+。4+06+…+。20)=1。X1H----X3+10X2+

—x3=300.

2

【整體點評】

(1)方法一：由題意討論｛耳｝的性質(zhì)為最一般的思路和最優(yōu)的解法；

方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數(shù)列的性質(zhì)；

方法三：寫出數(shù)列｛斯｝的通項公式，然后累加求數(shù)列｛0｝的通項公式，是一種更加靈活的思路.

(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前71項和是一種常規(guī)的方法；

方法二：分組求和是常見的數(shù)列求和的一種方法，結合等差數(shù)列前九項和公式和分組的方法進行

求和是一種不錯的選擇.

18.某學校組織“一帶一路''知識競賽，有A,8兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選

擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問

題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回

答正確得20分，否則得0分；8類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得。分，已知小明

能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概

率與回答次序無關.

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)B類.

【分析】

(1)通過題意分析出小明累計得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)與

(1)類似，找出先回答B(yǎng)類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可.

【詳解】

(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,100.

p(X=0)=1-0.8=0.2；

P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32；

P(X=100)=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

(2)由(1)知，F(xiàn)(X)=0x0.2+20X0.32+100X0.48=54.4.

若小明先回答B(yǎng)問題，記丫為小明的累計得分，則y的所有可能取值為0,80,100.

P(y=0)=1-0.6=0.4；

P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；

P(Y=100)=0.8x0,6=0.48.

所以E(Y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因為54.4<57.6,所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題.

19.記△ABC是內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知/?2=ac,點。在邊AC上，BDsin^ABC=

asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AO=2DC,求coszABC.

【答案】⑴證明見解析；⑵cos乙4BC=套

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理的邊角關系有80=竽，結合已知即可證結論.

b

(2)方法一：兩次應用余弦定理，求得邊a與c的關系，然后利用余弦定理即可求得cos乙4BC的

值.

【詳解】

(1)設△ABC的外接圓半徑為R,由正弦定理，

得sin/ABC=—,sinC=—,

2Rf2R

因為BOsin/TlBC=asinC,所以=即BO?b=ac.

2R2R

又因為川=ac,所以BD=b.

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：兩次應用余弦定理

n2ii,2_r2

因為/D=2DC,如圖，在△ABC中，cost=--,①

2ab

02+(字_盧

在^BCO中，cosC=-j-.②

2d,—

22

由①②得。2+力2-c2=3卜2+(1)-b］,整理得2a2-爭2+c2=0

又因為廬=ac,所以6a2-llac+3c2=0,解得a=:或a=亨，

當a=b2=ac=J時，a+b=￡+—<c(舍去).

3333

當a=—,b2=ac=至時，cosZ-ABC=4)4—―=—.

222,—,C12

2

所以COS乙4BC=—.

［方法二］:等面積法和三角形相似

如圖，已知4D=2OC,貝IJSMBD=|SMBC，

即工x-b2sinZ.ADB=-x-acxsinZ/lBC,

2332

故有〃=從而乙=

由旅=ac,即P=￡,即①=絲，即△4C8?△480,

abCBBD

2b

故冷祭艮吟哼

又爐二ac,所以c=|a,

222

則C0S4/BC=c+a-b7

2ac12

［方法三］:正弦定理、余弦定理相結合

由（1）知BD=b=/C,再由AO=2DC得AO=：瓦CO

在△ADB中，由正弦定理得ADBD

sin乙43。sinA

又”BD="，所以嘉=云,化簡得sinC=|sinA.

在△ABC中，由正弦定理知c=|a,又由爐=QC,所以標=|Q2.

a2+c2〃2_a2+以2一|a2

在△ABC中，由余弦定理，得cos乙4BC=7

2ac2x|a212

故coszABC=七

［方法四］:構造輔助線利用相似的性質(zhì)

如圖，作DEIIAB,交BC于點E,則4DEC八ABC.

由AO=2DC,得DE="C=”E*

夸產(chǎn)+（獷-反

在△BED中，cos^BED=

?2ac

Z~3

222

在△4BC中cos乙4BC=a+c-b

2ac

因為coszlZBC=-cosZ.BED,

a2+c2-b2旁產(chǎn)+（獷-爐

所以°.2ac，

2ac2T1

整理得6a2-11接+3。2=0.

又因為拉=ac,所以6a2—Hac+3c2=0,

即a=（或a=|c.

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

因為/0=2DC,所以標=2反.

以向量瓦I,就為基底，有麗=：麗+：雨.

所以說2=3就2+3函,就+工瓦%

999

即爐=-a2+-accosZ.ABC+-c2,

999

又因為匕2=ac,所以9ac=4a2+4ac?cosz.ABC+c2.③

由余弦定理得接=a2+c2—2accosz.ABC,

所以ac=a2+c2-2accos乙4BC④

聯(lián)立③④，得6a2一Hac+3c2=0.

所以a=或a=1c.

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以。為坐標原點，4C所在直線為x軸，過點。垂直于4c的直線為y軸,

0c長為單位長度建立直角坐標系，

如圖所示,則D(0,0),4(-2,0),C(l,0).

所以點8在以。為圓心，3為半徑的圓上運動.

設8(%,y)(—3<x<3),則/+丫2=%⑤

由爐=ac知,\BA\-\BC\=\AC\2,

即+2尸+y2?JQ；-1)2+y2-9.(6)

聯(lián)立⑤⑥解得％=-;或%=(33(舍去),y2-95

16

代入⑥式得a=\BC\=等,c=\BA\=y[6,b=3,

由余弦定理得cos乙4BC=0+c一力=L.

2ac12

【整體點評】

(2)方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性

質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問

題，相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不

錯選擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法

則可以將其與余弦定理充分結合到一起；

方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問

題更加直觀化.

20.如圖，在三棱錐/-BCO中，平面4B0，平面3。0,AB=AD,。為BD的中點.

(1)證明：041CD；

(2)若△0CD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱/。上，DE=2EA,且二面角E-BC-0的大

小為45。，求三棱錐A-BCD的體積.

【答案】(1)證明見解析;(2)理

【分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；

(2)方法二：利用幾何關系找到二面角的平面角，然后結合相關的幾何特征計算三棱錐的體積即

可.

【詳解】

(1)因為=O是BD中點，所以O4J.BD,

因為OAu平面ABO,平面ABOJ?平面BCO,

且平面/BDn平面BCD=BD,所以OAJ?平面BCO.

因為COu平面BCD,所以。/JLCD.

(2)［方法一］：通性通法一坐標法

如圖所示，以。為坐標原點，。4為z軸，0。為y軸，垂直0。且過。的直線為x軸，建立空間直

角坐標系。一xyz,

則璉怖,0),。(0,1,0),8(0,-1,0),設4(0,0,m),E(0W，|m),

所以EB=(0,—p—|m),BC=(y,|,0),

設記=(x,y,z)為平面EBC的法向量，

則由［皆呼=°可求得平面EBC的一個法向量為元=(一8,1-

又平面BCD的一個法向量為無f=(0,0,m),

所以cos(元04)=亨，解得zn=1.

又點C到平面ABD的距離為"，所以七-BCD=^C-ABD=；x；x2xlx"=W，

23226

所以三棱錐A-BCO的體積為日.

6

［方法二］【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角

如圖所示，作EGJ.BO,垂足為點G.

作GF1BC,垂足為點凡連結EF,則OAIIEG.

因為。4,平面BCD,所以EGJL平面BCD,

ZEFG為二面角E-BC-。的平面角.

因為ZEFG=45。，所以EG=EG.

由已知得OB=00=1,故OB=OC=1.

又NOBC=zOCB=30。，所以BC=g.

因為GO=-,GB=-,FG=-CD=-,EG=-,0A=1,

33，333，

VA-BCD=l-5ABCDXOA="2S&BOCxO4=：x2xGxfxlxl)xl=《.

O3oZZO

［方法三］:三面角公式

考慮三面角B-EOC,記NEBO為a,乙EBC為0,乙DBC=3。。,

記二面角E-BC-0為。.據(jù)題意，得。=45。.

對0使用三面角的余弦公式，可得cos什=cosa-cos30°,

化簡可得cos/?=jcosa.①

使用三面角的正弦公式，可得sin￡=|^，化簡可得sin/?=&sina.②

將①②兩式平方后相加，可得:cos2a+2sin2a=1,

如圖可知aG(0,^),即有tana=

根據(jù)三角形相似知，點G為。。的三等分點，即可得BG=%

結合a的正切值，

可得EG=l，0A=1從而可得三棱錐A-BCD的體積為￡

36

【整體點評】

(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于

將幾何問題代數(shù)化，適合于復雜圖形的處理；

方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特

征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.

方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題

更加簡單、直觀、迅速.

21.在平面直角坐標系％0y中，已知點a(一"7,0)、尸2(后，0)，IM&I-IMBI=2，點M的軌跡

為C.

(1)求C的方程；

(2)設點T在直線％上，過T的兩條直線分別交C于/1、B兩點和P,Q兩點，且|TA|-|TB|=

\TP\■\TQ\,求直線的斜率與直線PQ的斜率之和.

-.2

【答案】(I)x2-^=l(x>l);(2)0.

【分析】

(1)利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點Fi、尸2為左、右焦點雙曲線的右支，求出a、b的值，即

可得出軌跡C的方程；

(2)方法一：設出點的坐標和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線。的方程，結合韋達定理求得直線

的斜率，最后化簡計算可得七+七的值.

【詳解】

(1)因為也川一也叼=2<|FXF2|=2后，

所以，軌跡C是以點鳥、尸2為左、右焦點的雙曲線的右支，

22_________

設軌跡C的方程為a—色=1(。>0,b>0),則2a=2,可得a=l,b=V17—a2=4,

-,2

所以，軌跡C的方程為42-9=1(久21).

16

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立

如圖所示，設7?通)，

設直線的方程為y—ri=ki(x-^),A(x1,y1),B(X2，y2)-

22

化簡得(16—fcf)x+(爛—2klri)x—/cf—n+k^n—16=0.

filll.+%_湖+Zn+16

人J%1+牝-好if，/工2—好-16'

故IT*=-》|78|=VTTk?(%2-|).

^\TA\-\TB\=(1+蜉)(X1-}(小一》=交詈詈迨.

設PQ的方程為y-n=/c2(x-1),同理|TP|?|TQ|=色箋啰】

因為|771|-|TB|=|7P|?|7Q|,所以道=我，

RJ—16k分一16

1717

化簡得1+=1+

好―16心T6,

所以好—以=——16,即好=心.

因為自。女1，所以自+k2=。?

［方法二］：參數(shù)方程法

設T&m).設直線的傾斜角為名,

1

x=-+tcos0

則其參數(shù)方程為1

y=m+tsinOi

聯(lián)立直線方程與曲線C的方程16%2—y2-16=0(%>I),

22222

可得16G+tcos91+tcos%)—(m+tsin01+27ntsin4)-16=0,

222

整理得(16cos2。1—sin01)t+(16cos%—2msin01)t—(m+12)=0.

設兀4=tlfTB=匕，

-(m2+12)m2+12

由根與系數(shù)的關系得|TA|?\TB\=ti-t=

2222

16cos01-sin011-17COS01,

設直線PQ的傾斜角為。2，TP=t3,TQ=t4,

同理可得|TP|-\TQ\=t3-t4=

2

由|TA|?|TB|=\TP\-\TQ\,得cos?%=cos02.

因為義二92,所以COS。］=—COS4.

由題意分析知名+%=兀.所以tan%+tang=0,

故直線的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

［方法三］:利用圓塞定理

^\TA\?\TB\=\TP\?\TQ\,由圓幕定理知A,B,P,。四點共圓.

設了G，t),直線AB的方程為y-t=HQ-

直線PQ的方程為y-t=k2(x-1),

則一次曲線(上/—y—Y+t)(/c2K—y—^+')=o.

又由％2一卷=1,得過A,B,P,Q四點的二次曲線系方程為：

4(均%-y-y+t')(kx-y—"7+0+〃(人—J—1)=0(2H0),

zz2io

整理可得：

(派也+〃)％2+(A-勺y2-Mb+k2')xy+［t(kr+k2')-k^Xx-2t)Ay+m=0,

其中m=4卜之+—|(/cx+/c2)j—

由于A,B,P,。四點共圓，則孫項的系數(shù)為0,即七+上2=0.

【整體點評】

(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結合韋達定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方

法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；

方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并

能夠靈活的應用到題目中.

方法三：圓基定理的應用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應用使得計算更為簡單.

22.已知函數(shù)f(%)=x(l—Inx).

(1)討論f(%)的單調(diào)性；

(2)設a,b為兩個不相等的正數(shù)，且blna—alnb=a—b,證明：2〈工+工＜e.

ab

【答案】(1)/"(%)的遞增區(qū)間為(0,1),遞減區(qū)間為(1,+8)；(2)證明見解析.

【分析】

(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導函數(shù)的解析式，由導函數(shù)的符號即可確定原函數(shù)的單調(diào)

性.

(2)方法二：將題中的等式進行恒等變換，令工=根［=71,命題轉(zhuǎn)換為證明：2＜加+九＜e,然

ab

后構造對稱差函數(shù)，結合函數(shù)零點的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結論.

【詳解】

(l)f(x)的定義域為(0,+8).

由f(%)=%。-Inx)得，/(%)=—In%,

當％=1時，/''(%)=0；當％6(0,1)時f'(x)＞0；當％6(1,+8)時，f'(x)＜0.

故f(%)在區(qū)間(0,1］內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間［1,+8)內(nèi)為減函數(shù)，

(2)［方法一］:等價轉(zhuǎn)化

由blna—a\nb—a—b得—ln1)=器(1—