冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用高一數(shù)學(xué)陳名喜復(fù)習(xí):冪函數(shù)的概念

討論冪函數(shù)的性質(zhì)：

函數(shù)y=xα（α是常數(shù)）叫做冪函數(shù)冪函數(shù)由于指數(shù)α的不同，它們的定義域、值域也不同，性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性）也不同。主要分α>0和α<0兩大類情況去討論它們的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。定義：

當(dāng)0<<1時(shí)，函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)（0，0）、（1，1）呈拋物線型，上凸遞增。當(dāng)

>1時(shí)，函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)（0，0）、（1，1）呈拋物線型，下凸遞增。當(dāng)

<0時(shí)，函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的規(guī)律如下過(guò)點(diǎn)（1，1）呈雙曲線型，遞減，與兩坐標(biāo)軸的正半軸無(wú)限接近。2、冪函數(shù)的圖象規(guī)律：練習(xí)：討論冪函數(shù)-1\2的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性并畫(huà)出它的草圖。y=x例2：利用冪函數(shù)的性質(zhì)，比較下面各組中兩個(gè)值的大小1解：2解：變式練習(xí)

1．函數(shù)y＝（x2－2x）-1/2的定義域是（）A．{x|x≠0或x≠2}

B．（－∞，0）（2，＋∞）C．（－∞，0）］［2，＋∞］D．（0，2）答案：B2．函數(shù)y＝的定義域是（）A．5≥x≥－3

B．5＞x＞－3C．x≥5或x≤－3

D．R答案：A3．已知函數(shù)y＝

（1）求函數(shù)的定義域、值域（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．答案：（1）定義域?yàn)椋郏?，3］，值域?yàn)椋?，2］；（2）函數(shù)即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

解析：這是復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，用換元法令t＝15－2x－x2，則y＝，（3）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?，3］，對(duì)稱軸為x＝1，∴x∈［－5，1］時(shí)，t隨x的增大而增大；x∈（1，3）時(shí)，

t隨x的增大而減小．又∵函數(shù)y＝在t∈［0，16］時(shí)，y隨t的增大而增大，∴函數(shù)y＝的單調(diào)增區(qū)間為[－5,1]，單調(diào)減區(qū)間為(1,3]。（1）由15－2x－x2≥0得函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?，3］，∴t＝16－（x－1）2∈［0，16］∴函數(shù)的值域?yàn)椋?，2］．（2）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋郏?，3］且關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．

2．對(duì)于冪函數(shù)y＝xa，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖象的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即a＜0，0＜a＜1和a＞1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意a＝0，±1三個(gè)曲線的形狀；對(duì)于冪函數(shù)在第一象限的圖象的大致情況可以用口訣來(lái)記憶：“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即a＞0（≠1）時(shí)圖象是拋物線型；a＜0時(shí)圖象是雙曲線型；a＞1時(shí)圖象是豎直拋物線型；0＜a＜1時(shí)圖