OABNMC角平分線性質(zhì)的應(yīng)用.P暖氣天然氣MN實(shí)際問題

生活中有很多數(shù)學(xué)問題：小明家居住在一棟居民樓的一樓，剛好位于一條暖氣和天然氣管道所成角的平分線上的P點(diǎn)，現(xiàn)要從P點(diǎn)建兩條管道，分別與暖氣管道和天然氣管道相連.問題1：怎樣修建管道最短？問題2：新修的兩條管道長度有什么關(guān)系，畫來看看.OBAC

∠AOB=2∠AOC=2∠BOC角平分線性質(zhì)溫故知新∵OC是∠AOB的平分線,

且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)幾何語言:角平分線性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。EDOABPC溫故知新1、如圖,已知AD是△ABC的角平分線,∠BAD=25°,則∠BAC=

.練習(xí)50°練習(xí)變式：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，若∠BAC＝70°，則∠BAD＝

.35°2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC4練習(xí)3、如圖,點(diǎn)P在∠BAC的平分線上,PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列結(jié)論中不正確的是（

）A.PE=PF

B.AE=AFC.△APE≌△APF

D.AP=PED4、

如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么AE+DE=

。練習(xí)6CM變式:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝8,BD＝5，則點(diǎn)D到AB的距離為

。ACDBE練習(xí)E35、如圖，已知在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝50，DE＝14，則△BCE的面積等于________．350練習(xí)變式：如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC于點(diǎn)F，S△ABC=7，DE＝2，AB＝4，則AC長是(

)

A.6

B.5C.4

D.3練習(xí)D6、如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若∠ADE=70°，則∠ADF=___.練習(xí)70°7、已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.證明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，DF⊥AC∴

DE＝DF(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,DE=DF（已證）

BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等）BAEDCF練習(xí)變式二：已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,求證:AB=AC.BADC練習(xí)EF

8、已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。證明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE（已證）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形對應(yīng)邊相等）ACDBEF9、如圖，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G，求證：BF＝CG.

思考證明：連接BE、EC，

∵ED⊥BC，D為BC中點(diǎn)，

∴BE=EC，

∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，

∴FE=EG，

在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE＝CE，EF＝EG，∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL)∴BF=CG.提示:連接BE、CE，可先證Rt△BEF≌Rt△CEG下課了!這節(jié)課我們學(xué)到了什么？