2023-2024學年湖北省武漢市高三上冊10月月考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．2．某企業(yè)為了解員工身體健康情況，采用分層隨機抽樣的方法從該企業(yè)的營銷部門和研發(fā)部門抽取部分員工體檢.已知該企業(yè)營銷部門和研發(fā)部門的員工人數(shù)之比是，且被抽到參加體檢的員工中，營銷部門的人數(shù)比研發(fā)部門的人數(shù)多72，則參加體檢的人數(shù)是（

）A．90 B．96 C．108 D．1443．已知復數(shù)在復平面上對應的點是一個正方形的3個頂點，則這個正方形的第4個頂點所對應的復數(shù)（

）A． B． C． D．4．已知點在棱長為2的正方體表面上運動，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．-2 B．-8 C．-1 D．05．李明開發(fā)的發(fā)布經(jīng)過天后，用戶人數(shù)，其中為常數(shù).已知發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過名至少經(jīng)過的天數(shù)為（

）?。〢．31 B．32 C．40 D．506．設函數(shù)，若，且，則下列不等式恒成立的是A． B．C． D．7．古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設橢圓的左、右焦點分別為，，若從橢圓右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓上的點A和點B反射后，滿足，且，則該橢圓的離心率為（

）．A． B． C． D．8．在數(shù)列中給定，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，函數(shù)且，則（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．科學研究已經(jīng)證實：人的智力、情緒和體力分別以天、天和天為周期，均可按進行變化．記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，則（

）A．第天時情緒曲線處于最高點B．第天到第天時，智力曲線與情緒曲線不相交C．第天到第天時，體力曲線處于上升期D．體力曲線關于點對稱10．若的三個內(nèi)角均小于，點滿足，則點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.根據(jù)以上性質，已知是平面內(nèi)的任意一個向量，向量滿足，且，則的取值可以是（

）A．10 B． C．3 D．11．設為正實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則12．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．的最大值大于C．， D．，三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知隨機變量，，且，則.14．在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為.15．已知直線，拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點關于軸對稱的點為.若過點的圓與直線相切，且與直線交于點，則當時，直線的斜率為.16．已知函數(shù)，若有且僅有兩個整數(shù)，滿足，則實數(shù)a的取值范圍為．四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17．如圖，在中，，點與點分別在直線的兩側，且.(1)求的大??；(2)求BD長度的最大值.18．已知數(shù)列滿足，(1)記，求證：為等比數(shù)列；(2)若，求.19．如圖，三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，且四點共面，記直線與的交點為.

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值.20．2023年3月華中師大一附中舉行了普通高中體育與健康學業(yè)水平合格性考試．考試分為體能測試和技能測試，其中技能測試要求每個學生在籃球運球上籃、羽毛球對拉高遠球和游泳3個項目中任意選擇一個參加．某男生為了在此次體育學業(yè)考試中取得優(yōu)秀成績，決定每天訓練一個技能項目．第一天在3個項目中任意選一項開始訓練，從第二天起，每天都是從前一天沒有訓練的2個項目中任意選一項訓練．(1)若該男生進行了3天的訓練，求第三天訓練的是“籃球運球上籃”的概率；(2)設該男生在考前最后6天訓練中選擇“羽毛球對拉高遠球”的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．21．已知、、是直線上的三點，且，，切直線于點，又過、作異于的兩切線，設這兩切線交于點.(1)求點的軌跡方程；(2)設、是的軌跡上的不同兩點且不關于原點對稱，若，的斜率分別為，，問：是否存在實數(shù)，使得當時，的面積是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.22．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．D【分析】先利用一元二次不等式求解集合B，然后利用集合的關系及交并補運算逐項判斷即可.【詳解】因為或，又，所以集合不是的子集，故選項A錯誤，，故選項B錯誤，因為，，所以集合不是的子集，故選項C錯誤，，故選項D正確.故選：D.2．C【分析】根據(jù)分層抽樣的性質列方程求解即.【詳解】設參加體檢的人數(shù)有人，則，解得，即參加體檢的人數(shù)是人.故選：C.3．B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求得，結合復數(shù)的幾何意義可得對應的點，利用正方形性質，根據(jù)向量相等，即可求得答案.【詳解】由，設復數(shù)在復平面上分別對應點，設正方形的第四個頂點對應的坐標是，則其對應的復數(shù)為，結合對應點的位置特征知：，又，∴,，∴，故這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)是.故選：B4．A【分析】通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長為2的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任一點，則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑，它等于棱長的一半，即長度為1，的長為正方體的對角線長，為，我們將三角形單獨抽取出來如下圖所示：，所以的最小值為.故選：A.5．D【分析】根據(jù)題意列出不等式，取對數(shù)求解不等式即可.【詳解】由題意，時，，即，令，即，即，取常用對數(shù)可得，，即，故選：D6．D【詳解】試題分析：由已知可得：是偶函數(shù)，在區(qū)間上遞增，且在區(qū)間上均為正數(shù)，所以在區(qū)間上遞增，因為，所以，所以，故應選.考點：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的奇偶性.7．D【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質，可設線段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.【詳解】由題意，可作圖如下：則，，即，可設，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.8．A【分析】求導利用函數(shù)零點定義即可求得，得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.再利用引入輔助角公式對化簡，構造新函數(shù)，利用導數(shù)判斷新函數(shù)的單調(diào)性并結合題意進而求解即可.【詳解】因為有唯一的零點，且為偶函數(shù)，則，可得，，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.又，令，則為奇函數(shù)，因為，所以在上單調(diào)遞增，由題意得，則，∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，其中，則，假設，因為是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，∵，∴，與已知矛盾，故不成立；假設，同理可得，與已知矛盾，故不成立；綜上，．故選：A9．AC【分析】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，根據(jù)周期求出對應的解析式，然后利用正弦函數(shù)的性質可判斷ACD，對于B，設，利用零點存在定理可判斷.【詳解】設人的智力曲線、情緒曲線和體力曲線用，，，所以，，.A項：第天時，，故處于最高點，A正確；B項：設，因為，，故利用零點存在定理可得存在，使得，故此時智力曲線與情緒曲線相交，B錯誤；C項：因為，所以，因為，所以根據(jù)正弦函數(shù)的性質可得此時單調(diào)遞增，故處于上升期，C正確；D項：因為，所以，體力曲線不關于點對稱，D錯.故選：AC.10．AB【分析】設，，，由題意可得所求為點到三點的距離之和，由費馬點的性質可知當時，取得最小值，然后求解即可.【詳解】因為，，設，，，則，即為點到三點的距離之和，則是等腰銳角三角形，如圖：由費馬點的性質可知，當點滿足時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，因為，所以，故，則的最小值是.故選：AB11．AC【分析】根據(jù)已知條件及不等式的性質逐一判斷選項即可.【詳解】對于A，由及為正實數(shù)，可知，，則，由，可得，所以，故A正確；對于B，若，則，所以，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D錯誤.故選：AC12．BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質分別判斷各選項.【詳解】的定義域為，，故選項A錯誤；，故選項B正確；，故選項C正確；，，，當時，，，而在上單調(diào)遞增，，當時，，故選項D正確，故選：BCD.13．##0.5【分析】根據(jù)二項分布及正態(tài)分布的期望求解即可.【詳解】，，，，，，解得，故14．【分析】根據(jù)題意，求得，得到，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由數(shù)列中，因為，且，可得，解得，所以，則為的二次函數(shù)，對稱軸為，故當或6時取得最大值，又由，所以的最大值為.故答案為.15．【分析】設：，聯(lián)立方程根據(jù)韋達定理得到，根據(jù)向量運算得到，解方程組代入斜率公式計算得到答案.【詳解】如圖所示：拋物線的焦點為，準線方程為，，設，，，，：，則，即，，故，，即，即，故，；或，；.故答案為.16．【分析】先對全分離，即，構造新函數(shù)，求導求單調(diào)性判斷最值點，若有且僅有兩個整數(shù)使得不等式成立，只需大于最小值點附近的兩個整數(shù)處的函數(shù)值，且小于等于該整數(shù)處相鄰的整數(shù)點處函數(shù)值，列出不等式，解出即可.【詳解】解：若，即，因為，所以，即，記，故只需有且僅有兩個整數(shù)使得成立即可，所以，記，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以，使得，即，在上，即，單調(diào)遞減，在上，即，單調(diào)遞增，所以有最小值，因為，且，，而，若使有且僅有兩個整數(shù)，只需即可，解得.故方法點睛：該題考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，屬于難題，關于不等式成立問題的方法有：（1）對不等式進行全分離，使分母較簡單或容易判斷正負，以便少分類討論；（2）構造新函數(shù)，求導求單調(diào)性，判斷極值點，在草稿紙上畫出草圖；（3）根據(jù)題意轉化為數(shù)學語言，建立不等式，解出即可.17．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理可解得，即可得解；（2）由正弦定理及余弦定理求出，利用正弦型函數(shù)求最大值即可.【詳解】（1）在中，設，則，由及正弦定理，得，即，解得，因為，所以或（舍去）.（2）在中，設，則由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以.在中，由余弦定理可得，即，當時，得長度取得最大值，最大值為，18．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由可知結合可得進而可證為等比數(shù)列；（2）由（1）結論可先求出的通項公式，進而求出的通項公式，再根據(jù)求出的通項公式，則可求.【詳解】（1）證明：且，又，為以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，，又，，所以.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接與的交點為，連接，可證得，進而證，再證四邊形是菱形得，從而可證；（2）過點作，交于點，則平面，分別求得，，再以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，再利用面面角的向量求法即可求解.【詳解】（1）如圖，連接與的交點為，連接，

因為三棱錐和三棱錐均為棱長為的正四面體，所以，，，則，則，所以，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是菱形，則，因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；

（2）過點作，交于點，則平面，又三棱錐是正四面體，所以是的中心.在中，，在中，，又，所以，所以，由（1）知兩兩垂直，故以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，故，，設平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個法向量為，設平面的法向量為，則，即令，則，，得平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，

則，所以，故二面角的正弦值為.20．(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)乘法原理，結合古典概型計算求解即可；（2）由題知的可能取值為，再依次求對應的概率，列分布列，求期望即可.【詳解】（1）解：當?shù)谝惶煊柧毜氖恰盎@球運球上籃”且第三天也是訓練“籃球運球上籃”為事件；當?shù)谝惶煊柧毜牟皇恰盎@球運球上籃”且第三天是訓練“籃球運球上籃”為事件；由題知，三天的訓練過程中，總共的可能情況為種，所以，，，所以，第三天訓練的是“籃球運球上籃”的概率.（2）解：由題知，的可能取值為，所以，考前最后6天訓練中，所有可能的結果有種，所以，當時，第一天有兩種選擇，之后每天都有種選擇，故；當時，第一天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第二天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共2種選擇；第二天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第三天2種，后每天只有1種選擇，共4種選擇；第三天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天有1種選擇，第三天1種，第四天有2種選擇，之后每天只有1種選擇，共4種選擇；第四天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第六天有1種，第五天有2種選擇，共4種選擇；第五天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天有1種，第六天有2種選擇，共4種選擇；第六天選擇“羽毛球對拉高遠球”，則第一天有2種選擇，第二天，第三天，第四天，第五天，第六天都有1種選擇，共2種選擇；綜上，當時，共有種選擇，所以，；當時，第一天，第三天，第五天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；第一天，第三天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇第一天，第四天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；第二天，第四天，第六天，選擇“羽毛球對拉高遠球”，有種選擇；所以，當時，共有種選擇，所以，；所以，當，所以，的分布列為：所以，.21．(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)圓切線的性質，利用橢圓的定義可判斷動點軌跡為橢圓，適當建系可得軌跡方程；（2）假設直線的斜率存在，設直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根于系數(shù)關系，求得弦的長度，再利用點到直線距離可得到的距離，可得三角形面積，根據(jù)面積為定值可得的值，再驗證當直線斜率不存在時成立.【詳解】（1）如圖所示，設過、異于的兩切線分別切于、兩點，兩切線交于點，由切線的性質可知：，，，故，故由橢圓定義知，點的軌跡是以、為兩焦點的橢圓，以所在的直線為軸，以的中點為原點，建立坐標系，可求得動點的軌跡方程為：；（2）設存在這樣的常數(shù)，使，的面積為定值.當直線斜率存