拓展十二：導數(shù)大題的8種常見考法總結考點一利用導數(shù)求曲線的切線問題1．（2023春·山東臨沂·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足.(1)求在處的導數(shù)；(2)求的圖象在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，再令即可得出答案；（2）由（1）求得，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】（1）由，得，則，所以；（2）由（1）得，則，所以的圖象在點處的切線方程為，即.2．（2023秋·陜西·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)滿足.(1)求的值；(2)求的圖象在處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導得出，令可得出的值；（2）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】（1）解：因為，則，所以，，解得.（2）解：由（1）可知，則，則，，因此，的圖象在處的切線方程為，即.3．（2023秋·廣東廣州·高二西關外國語學校?？计谀┮阎瘮?shù)的圖象過點，且．(1)求a，b的值；(2)求曲線在點處的切線方程．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）根據(jù)點以及列方程，從而求得的值.（2）利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】（1）因為函數(shù)的圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得：，．（2）由（1）知，又因為，，所以曲線在處的切線方程為，即．4．（2023秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O為實數(shù)，已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性(2)若過點有且只有兩條直線與曲線相切，求的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，即可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設切點為，利用導數(shù)寫出切線方程，將點的坐標代入切線方程，可得出，結合（2）中的結論以及三次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關于的等式，解之即可.【詳解】（1）因為，則，由可得，，①當時，即當時，對任意的，且不恒為零，此時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；②當時，即當時，由可得，由可得或，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；③當時，即當時，由可得，由可得或，此時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.（2）解：設切點為，對函數(shù)求導得，所以，切線方程為，將點的坐標代入切線方程整理可得，即，故關于的方程有兩個不等的實根，①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則方程至多一個實根，不合乎題意；②當時，則，故當時，，此時方程至多一個實根，不合乎題意；③當時，則，則，解得，合乎題意.綜上所述，.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.5．（2023秋·云南·高二云南師大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)在恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程；（2）二次求導后，對a分類討論，分別研究單調(diào)性，求最值進行驗證.【詳解】（1）當時，，所以.故在處的切線方程為.（2）由題意知，令，當時，對任意，則，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；當時，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減，則，①當，即時，，所以在單調(diào)遞減，所以，滿足題意；②且時，即時，由零點存在性定理知，，使得.當時，，所以在單調(diào)遞增，所以，不滿足題意；③當時，即時，對任意單調(diào)遞增，所以，不滿足題意.綜上，的取值范圍為.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導數(shù)解決恒（能）成立問題．6．（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線(1)求a的值.(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；【答案】(1)(2)增區(qū)間為,減區(qū)間；極小值,沒有極大值.【分析】（1）由，而曲線在點處的切線垂直于，所以，解方程可得的值；（2）由（1）的結果知,于是可用導函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間與極值；【詳解】（1）對求導得，由在點處切線垂直于直線，知解得；（2）由（1）知，則令，解得或.因不在的定義域內(nèi)，故舍去.當時，故在內(nèi)為減函數(shù)；當時，故在內(nèi)為增函數(shù)；所以函數(shù)在時取得極小值,沒有極大值.7．（2023秋·山西晉中·高二山西省平遙中學校?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若，求在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；(2)若，試判斷的零點的個數(shù)．【答案】(1)1(2)答案見解析.【分析】（1）先求導，把代入，得到切線的斜率，再結合切點坐標寫出切線的方程，再求切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）函數(shù)的零點個數(shù)，即為方程的解的個數(shù)，再轉化為函數(shù)的零點個數(shù)，對求導，分類討論當，時函數(shù)的單調(diào)性，再找到零點的個數(shù).【詳解】（1）若，，，所以，即切線的斜率為2.又，即切點坐標為.所以在處的切線方程為，令，解得；令，解得.所以在處的切線與坐標軸圍成的面積.（2）由且，整理得．令，．

若，則，令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以在上有且僅有兩個零點，即在上有且僅有兩個零點．

若，令，又，，，所以在上有兩個零點且．令，解得或，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，所以，，又，所以在區(qū)間上有唯一零點.，所以在區(qū)間上有唯一零點，所以在上有且僅有3個零點，即在上有且僅有3個零點．

綜上，若，在上有且僅有兩個零點；若，在上有且僅有3個零點．【點睛】關于函數(shù)導數(shù)的零點問題，一般要進行分類討論，難度比較大.1.函數(shù)零點個數(shù)也就是函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)，所以可以借助函數(shù)圖像的特征求解函數(shù)的零點個數(shù)問題.2.對于含參函數(shù)的零點個數(shù)，可以對函數(shù)進行適當?shù)淖冃?，也可以進行參變分離，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，做出函數(shù)的大致圖象，根據(jù)極大值和極小值的符號確定函數(shù)零點的個數(shù)，即“幾個交點幾個根，正負極值定乾坤”.8．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚中高級中學校考期末）已知函數(shù).(1)求曲線在處切線方程；(2)若直線過坐標原點且與曲線相切，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式寫切線方程即可；（2）設切點坐標，然后利用導數(shù)的幾何意義得到斜率，進而得到直線的方程.【詳解】（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.（2），所以，設切點坐標為，所以切線斜率為，則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.考點二利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性9．（2023秋·陜西西安·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處取得極值．(1)求的解析式，并討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；(2)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)，是函數(shù)的極大值，是函數(shù)的極小值(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為【分析】（1）求導得到導函數(shù)，根據(jù)極值點得到是方程的兩個實根，解得，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到極值.（2）根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1），在處取得極值，故是方程的兩個實根．所以，解得，所以，．令，得或；令，得．故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極大值，是函數(shù)的極小值．（2），．令，得或；令，得．故的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為．10．（2023秋·山西太原·高二山西大附中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當時，證明：；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【分析】（1）構造函數(shù)，利用函數(shù)的最值即可證明不等式；（2），對分類討論即可得出函數(shù)的單調(diào)性．【詳解】（1）當時，令，，可得時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)取得極小值即最小值，，∴，即．（2）函數(shù)的定義域為，，

當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，時，，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，，函數(shù)在單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.11．（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函數(shù)．(1)若曲線經(jīng)過點，求該曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)求得，利用切點和斜率求得切線方程.（2）由在區(qū)間恒成立分離常數(shù)，結合三角函數(shù)的最值求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，，，所以曲線在點處的切線方程為.（2），，依題意可知在區(qū)間恒成立，即，，所以.12．（2023秋·山東濰坊·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)，求出的值，檢驗即可；（2）求出的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可；【詳解】（1）解：因為，所以，依題意，即，解得，此時，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處取得極小值，符合題意，所以.（2）解：因為，所以，，則，令，則或，當時，令可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，令，可得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當時，在上恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，令可得：或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；綜上可得：當時單調(diào)遞增區(qū)間為，當時單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時單調(diào)遞增區(qū)間為，當時單調(diào)遞增區(qū)間為，.13．（2023秋·北京·高二北京市十一學校?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)若函數(shù)在x＝1處取得極值，求a的值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求定義域，求導，根據(jù)求出，驗證后得到答案；（2）求定義域，求導并對導函數(shù)進行因式分解，分，，與分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）定義域為，，因為在x＝1處取得極值，所以，解得：，經(jīng)驗證，此時x＝1為極大值點，滿足要求，故；（2），當時，恒成立，令得：，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，，故令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，，令得：或，令得：，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；14．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城中學?？计谀┰O函數(shù)（a為非零常數(shù)）(1)若曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)1；(2)分類討論，答案見解析.【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線方程，再代入計算作答.（2）求出函數(shù)定義域，利用導數(shù)結合分類討論求解單調(diào)區(qū)間作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導得：，則有，而，因此曲線在點處的切線方程為，則有，即，而，則，所以實數(shù)的值為1.（2）函數(shù)的定義域為，，當時，恒有，當且僅當且取等號，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，由解得，，當，即時，當或時，，當時，，因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當，即時，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；當時，遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是；當時，遞增區(qū)間是.考點三利用導數(shù)求函數(shù)的極值15．（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）求導得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計算極值得到答案.（2）在上恒成立，得到，解得答案.【詳解】（1）當時，，，令得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.所以的極小值為，無極大值.（2）在上恒成立，即在上恒成立，所以.16．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)求的極值；(2)令，若，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對求導，分類討論與兩種情況，利用導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，進而得到的極值；（2）法一：先由（1）得，再構造函數(shù)，從而將問題轉化為，利用導數(shù)求得的最大值，由此得解；法二：構造函數(shù)，將問題轉化為證，利用導數(shù)分類討論的取值范圍得到的單調(diào)性，從而得到關于的不等式，解之即可.【詳解】（1）由題知，，得，當時，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值；當時，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，無極大值；綜上：當時，有極大值，無極小值；當時，有極小值，無極大值.（2）法一：由，即，即，令，由（1）知，從而得，即，令，則，又，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取到最大值，且，所以，即a的取值范圍為．法二：由，即，即，令，由（1）知，令，，則，因為，令，則，當，即時，則，在上單調(diào)遞增，，與題意矛盾；當，即時，令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，解得，所以；當，即時，，故恒成立，所以在上遞增，即，故，解得，而，無解，舍去；綜上，，即a的取值范圍為．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．17．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)當時，求在上的單調(diào)區(qū)間；(2)若在內(nèi)有極值，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(2)．【分析】將代入中，求導后分別令和，求出單調(diào)區(qū)間即可；對求導，根據(jù)在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號零點，然后將問題轉化為與x軸在內(nèi)有交點，再求出的取值范圍即可解決．【詳解】（1）當時，，則，令，得，故在上單調(diào)遞減；令，得，故在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由，得，由在內(nèi)有極值，可知在內(nèi)存在變號零點，即方程在內(nèi)存在解，所以函數(shù)與x軸在內(nèi)有交點，，當時，，單調(diào)遞增，又，則在恒成立，則與x軸在內(nèi)沒有交點，不符合題意；當時，若，則，單調(diào)遞增，若，則，單調(diào)遞減，則當時，取得最小值，當時，，則與x軸沒有交點，不符合題意；當時，，則與x軸有公共點，則與x軸在內(nèi)沒有交點，不符合題意；當時，，，，則與x軸在內(nèi)至少有一個交點，符合題意，綜上，的取值范圍為．【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．18．（2023秋·山西太原·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，求的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1），分和討論即可；（2），題目轉化為有兩個零點，利用分離參數(shù)法得，設，利用導數(shù)研究得圖像即可得到答案.【詳解】（1），，當，則若,則在上單調(diào)遞增；若,令，即，則在上單調(diào)遞增.令，解得，則在上單調(diào)遞減，綜上，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），，因為有兩個極值點,所以有兩個零點,顯然,1不是的零點，由,得.即直線與有兩個交點，，令,令，解得，且當時，，當時，所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,而,故,所以在,和上單調(diào)遞減，又在上,趨近于0時,趨近于正無窮，趨近于1時,趨近于負無窮，故函數(shù)在之間存在唯一零點，在上,趨近于1時,趨近于正無窮，趨近于正無窮時,趨近于0.作出圖形如下圖所示：所以.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵在于等價轉化為導函數(shù)在定義域上有兩零點，然后利用分離參數(shù)法，得到，轉化為直線與有兩個交點，研究的圖象，數(shù)形結合即可得到的范圍.19．（2023秋·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個極值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）先將代入，然后求導，利用導函數(shù)的正負判斷其單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間即可；（2）求導將極值的問題轉化為導函數(shù)的零點問題，然后讓導函數(shù)有三個不相同的變號零點，求出的取值范圍即可.【詳解】（1）當時，，.令，得或；令，得.的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），.若函數(shù)有3個極值點，則有兩個不同的零點，且都不是.，故不可能是函數(shù)的零點.所以，令，解得.在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.的最小值為，，解得，又趨向或時，趨向，當時，存在，使得，且.實數(shù)的取值范圍為.考點四利用導數(shù)求函數(shù)的最值20．（2023秋·陜西商洛·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)求在上的最值．【答案】(1)(2)在區(qū)間上的最小值為-3，最大值為15.【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再根據(jù)點斜式方程即可求解；(2)求出函數(shù)在上的所有極值和，通過比較即可求解.【詳解】（1），所以曲線在點處的切線方程為，即.（2），當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上有極小值而，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-3，最大值為15.21．（2023秋·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求在點處的切線方程；(2)求在上的最值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）求導，得出切線的斜率，確定切點的縱坐標，寫出切線方程；（2）研究函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，計算在上的極值及和，然后比較可得最值．【詳解】（1），.，所以切線方程為，即.（2）在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減，時，取極大值也是最大值，，.22．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？计谀┰O函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求在上的最大值；(2)若曲線在處的切線與曲線也相切，求實數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）求出后，根據(jù)可求出，再利用導數(shù)可求出在上的最大值；（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線，以及曲線在點處的切線方程，根據(jù)兩直線重合列式可求出結果.【詳解】（1）因為，所以，因為是函數(shù)的極值點，所以，得，此時，，當時，，當時,,所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以是的一個極小值點，所以符合題意.由以上可知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又，，所以，所以在上的最大值為.（2）由（1）知，，所以，又，所以切線，即，假設直線與曲線切于，因為，所以，又，所以在處的切線方程為，即,因為直線與直線重合，所以，消去，得，解得或.23．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)且．(1)求a的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在上的最大值和最小值．【答案】(1)(2)調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(3)最大值為，最小值為【分析】(1)求導得，代入，得可得答案；(2)由題意可得，分別解，，即可得函數(shù)的單調(diào)遞增、減區(qū)間；(3)根據(jù)導數(shù)的正負，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】（1）解：因為函數(shù)，∴，由，得，解得；（2）解：由（1）可知，解不等式，得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，解不等式，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）解：當時，函數(shù)與的變化如下表所示：令，解得或，x+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因為，；所以當時，函數(shù)取得極大值；又因為，，所以當時，函數(shù)取得極小值，∴函數(shù)的最大值為，最小值為．24．（2023秋·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處有極值.(1)求實數(shù)的值；(2)求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)題意列出方程，求得的值，可得答案.（2）求出函數(shù)的極值點，求得函數(shù)的極值以及區(qū)間端點處的函數(shù)值，比較可得答案.【詳解】（1），，解得，則，若，則；若，則或,即函數(shù)在處有極大值且極大值為，符合題意，故：（2）由（1）知，，，若，則；若，則或,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,又，.25．（2023秋·湖南邵陽·高二湖南省邵東市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)，．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)當時，若函數(shù)在上的最小值為，求實數(shù)a的值．【答案】(1)的極小值為，極大值為11；(2).【分析】（1）把代入，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值作答.（3）利用導數(shù)探討函數(shù)在的單調(diào)性，求出最小值即可求解作答.【詳解】（1）當時，函數(shù)定義域為R，，當或時，，當時，，即函數(shù)在，上遞減，在上遞增，因此當時，取得極小值，當時，取得極大值，所以的極小值為，極大值為11．（2）函數(shù)，，求導得，因為，則由得，顯然，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則函數(shù)在上的最小值為，解得，所以實數(shù)a的值為1.考點四利用導數(shù)證明不等式26．（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)當時，證明：.【答案】(1)當時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，當時，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)導數(shù)討論單調(diào)性即可；(2)根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性和極值的關系得到，即可證明.【詳解】（1），當時，得解得，得解得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當時，得解得，得解得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；（2）因為，由（1）知，當時，單調(diào)遞增，所以，即，設，，由得解得，由得解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，從而恒成立，即恒成立.27．（2023秋·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學?？计谀┮阎瘮?shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由在上單調(diào)遞增，得恒成立，討論的單調(diào)性，求的最小值大于等于恒成立，建立不等關系，求得答案.（2）利用分析法轉化需要證明的結論為，構造函數(shù)利用導數(shù)研究單調(diào)性，可判斷函數(shù)在上存在唯一零點，結合重要不等式對式子進行放縮，結論得證.【詳解】（1）在上單調(diào)遞增，所以恒成立，令恒成立，當時，恒成立.當時，所以h（x）在上單調(diào)遞增，所以時，，故不符合題意.當時，令，解得，當時，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，所以解得.綜上，的取值范圍是.（2）證明：當時，，要證，即證，只需證，即證令，令，當時，，當時，，所以，故存在使得所以，即在時遞增，在時遞減.令，則二次函數(shù)關于直線對稱，函數(shù)圖象開口向下，且，故當時，，又∴，又，所以函數(shù)在上存在唯一零點，使得.,當且僅當時等號成立.令，則，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以，即，當且僅當時等號成立因為取等號的條件不一致，故.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．28．（2023秋·河南信陽·高二信陽高中校考期末）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設，求證：當時，恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）分別在和兩種情況下，根據(jù)的正負可得單調(diào)區(qū)間；（2）將問題轉化為在上恒成立，利用導數(shù)可求得，由此可證得結論.【詳解】（1）由題意得：定義域為，；①當時，，則在上恒成立，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；②當時，令，解得：，當時，；當時，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由得：；令，則，，當時，，在上單調(diào)遞增，，，，使得，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，即在上恒成立，當時，恒成立.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的討論、利用導數(shù)證明不等式的問題；證明不等式的關鍵是能夠通過構造函數(shù)的方式，將問題轉化為函數(shù)最大值的求解問題，通過導數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，進而確定最大值.29．（2023秋·廣東深圳·高二深圳大學附屬中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若是的極小值點，求的取值范圍；(2)若只有唯一的極值點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)分，和討論函數(shù)單調(diào)性即可求解；（2）由（1）可知當時，此時有唯一的極大值點，題意轉化成，令，利用導數(shù)求其最值即可【詳解】（1）由可得，當時，，則當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故是的極大值點，不符合題意，舍去；當時，令，則或；由可得當時，，單調(diào)遞增；當或時，，單調(diào)遞減，故是的極大值點，不符合題意，舍去；當時，，①若，即，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去；②若，即時，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，故是的極大值點，不符合題意，舍去；③若，即時，當時，，單調(diào)遞減；當或時，，單調(diào)遞增，故是的極小值點，符合題意.綜上所述，的取值范圍.（2）由（1）可知，當時，此時有唯一的極大值點，要證：，設，，設，，，當，當，于是在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，于是，則由可得，當，當，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，那么，即證【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．30．（2023秋·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)已知點在函數(shù)的圖象上，求函數(shù)在點P處的切線方程．(2)當時，求證．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）求出，由求得，然后計算出，用點斜式得切線方程并化簡；（2）求出導函數(shù)，再利用導數(shù)確定的單調(diào)性，從而確定的零點存在，得出其為極小值點，由得間的關系，代入變形，然后由基本不等式結合已知條件得證結論．【詳解】（1）由解得，所以，，所以，，切線方程為，即所求切線方程為；（2）證明得定義域為，，設，則，故是增函數(shù)，當時，，時，，所以存在，使得①，且時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，故②，由①式得③，將①③兩式代入②式，結合得：，當且僅當時取等號，結合②式可知，此時，故恒成立．【點睛】方法點睛：用導數(shù)證明不等式的方法：利用導數(shù)求得的最小值，證明最小值大于0即得，問題常常遇到最小值點不能直接求出，只有利用零點存在定理確定為，為此可利用的性質(zhì)：確定與參數(shù)的關系，從而化為一個變量的函數(shù)（一元函數(shù)），然后由不等式的知識或函數(shù)知識得出其大于0.31．（2023秋·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)當時，過點作曲線的切線l，求l的方程；(2)當時，對于任意，證明：．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）易知不在上，設切點，由導數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入求出對應，即可求解對應切線方程；（2）構造，求得，再令，通過研究正負確定單調(diào)性，再由正負研究最值，進而得證.【詳解】（1）由題，時，，，設切點，則切線方程為，該切線過點，則，即，所以或．又；；，．所以，切線方程為或；（2）設，則，令，則，可知，時，；時，，故時均有，則即在上單調(diào)遞增，，因為時，則，，故在上單調(diào)遞增，此時，．所以，當時，對于任意，均有．32．（2023秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┮阎瘮?shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求f(x)的最大值；(2)設a為整數(shù)，若在定義域上恒成立，求a的最大值；(3)證明.【答案】(1)1；(2)2；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值作答.（2）利用（1）的結論可得，進而可得當時，，再按、探討恒成立，構造函數(shù)并證明不等式作答.（3）利用（2）的結論，構造數(shù)列不等式，再借助等比數(shù)列求和公式推理作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得：，當時，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，.（2）由（1）知，，，即，因此對，，當時，對，，則有，于是當時，對，恒成立，當時，函數(shù)的定義域為，，必有，解得，而為整數(shù)，則最大值不大于2，因為對，恒成立，則對，有恒成立，當且僅當時取等號，又，恒成立，當且僅當時取等號，于是對，，綜上得當時，對，恒成立，即整數(shù)，所以整數(shù)a的最大值為2.（3）由（2）知，，，取，有，因此，從而，所以原不等式成立.【點睛】思路點睛：涉及含參函數(shù)不等式恒成立問題，可以結合導數(shù)分段討論，確定臨界值，再利用導數(shù)證明不等式作答.33．（2023秋·山西臨汾·高二統(tǒng)考期末）已知.(1)當，證明；(2)討論的單調(diào)性；(3)利用（1）中的結論，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）求導得到，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計算最值得到證明.（2）求導得到，討論，，三種情況，根據(jù)導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性.（3）根據(jù)得到，依次帶入數(shù)據(jù)相加得到證明.【詳解】（1）當時，，令，解得，當在之間變化時，及的變化情況如下表：10單調(diào)遞增0單調(diào)遞減因此當時，取得最大值，故；（2），所以，令，解得，①當時，方程的解為，且，在之間變化時，及的變化情況如下表：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，②當時，方程無解，此時恒成立，故在單調(diào)遞增，③當時，方程的解為，但，當時，恒成立，故在單調(diào)遞增，綜上所述：當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，當時，在單調(diào)遞減；（3）由（1）知，，其中“=”當且僅當時成立，當時，且，故，即，于是當時，依次有，，，，，相加得，即【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)證明不等式，討論函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中利用構造是解題的關鍵，需要熟練掌握這種技巧.考點五利用導數(shù)解決恒（能）成立問題34．（2023秋·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)【分析】（1）求出導函數(shù)，分類討論確定的正負得單調(diào)性；（2）分離參變量得在上恒成立，令，問題轉化為求函數(shù)的最大值的問題，求解即可．【詳解】（1）定義域為，，當時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當時，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由題意知：在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，由，得，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，只需，所以實數(shù)的取值范圍是.35．（2023秋·江蘇常州·高二江蘇省奔牛高級中學?？计谀┮阎瘮?shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設函數(shù)，若對于任意，都有，求的取值范圍.【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）求出函數(shù)定義域，利用導數(shù)分類討論求解的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）變形給定不等式，分離參數(shù)構造函數(shù)，求出在的最小值即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，求導得，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；若，當時，，當時，，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）令，于是恒成立，即恒成立，令，求導得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，，則有，所以的取值范圍是.【點睛】利用導數(shù)解決不等式恒成立問題的方法(1)分離參數(shù)法求范圍：若或恒成立，只需滿足或即可，利用導數(shù)方法求出的最小值或的最大值，從而解決問題；(2)把參數(shù)看作常數(shù)利用分類討論方法解決：對于不適合分離參數(shù)的不等式，常常將參數(shù)看作常數(shù)直接構造函數(shù)，常用分類討論法，利用導數(shù)研究單調(diào)性、最值，從而得出參數(shù)范圍.36．（2023秋·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？计谀┖瘮?shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，極大值，無極小值；(2)【分析】（1）直接求導，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值；（2）構造，由，可得，可得，又，，即得，可得時，恒成立.【詳解】（1）因為，所以，故當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，故在處取得極大值，無極小值；（2）因為時，，即，故，令，故時，恒成立，故，即（必要性），當時，因為，，因為，又由，由（1）知，，故，故時，恒成立（充分性），即時，恒成立，綜上所述：實數(shù)的取值范圍是.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．37．（2023秋·江蘇揚州·高二江蘇省江都中學校考期末）已知函數(shù)，其中.(1)當時，討論在上的單調(diào)性；(2)若對任意都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)【分析】（1）根據(jù)題意將代入中，求導，解導數(shù)方程，討論導數(shù)的正負，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意，構造函數(shù)和，對進行分類討論，結合單調(diào)性即可求解的取值范圍.【詳解】（1）當時，，則，令，當時，解得，故當時，；當時，.所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）令，則.當時，，所以.當時，，故在上單調(diào)遞增.又，故.當時，令，則，故在上單調(diào)遞增.故存在使得，且當時，即在上單調(diào)遞減，所以當時，，故不符合.綜上所述，的取值范圍為.38．（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，當時，函數(shù)有極小值0.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用極值點及對應的極小值列出方程組，再求解并驗證作答.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構造函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)，求導得：，因為當時，函數(shù)有極小值0，因此，解得，此時，當時，，當時，，于是得函數(shù)在處取得極小值0，所以函數(shù)的解析式為.（2），不等式，令，，求導得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則當時，，因為存在，使不等式成立，則存在，使不等式成立，即有，所以實數(shù)的取值范圍是.39．（2023秋·湖南岳陽·高二湖南省汨羅市第一中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)圖象上各點切線斜率的最大值為2，求函數(shù)的極值；(2)若不等式有解，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)且【分析】（1）求導后可知，當時取最大值，求得的值，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的極值；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到，將有解轉化為，設函數(shù)，結合函數(shù)的單調(diào)性得到，則等價于且，由此求得的取值范圍．【詳解】（1）由于圖像上各點切線斜率的最大值為2，即取得最大值為2，由題可知的定義域為，則，即是關于的二次函數(shù)，，當時，取得最大值為，，而，，此時，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值．（2），其中且，在上，，則單調(diào)遞減，在上，，則單調(diào)遞增，，關于的不等式有解，，，，設，則，在上，，則單調(diào)遞增，在上，，則單調(diào)遞減，，即在內(nèi)恒成立，要求，即，則只需即可，即，等價于，解得：且，的取值范圍是：且.40．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學校考期末）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出導數(shù)，分，，討論單調(diào)性.(2)根據(jù)第（1）問，分，，討論在的單調(diào)性，求【詳解】（1）當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當時，時，；時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當時，時，；時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上：時在上單調(diào)遞增.時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若在區(qū)間上有解，即求當時在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為不成立，故不滿足題意.當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，所以成立，滿足題意.時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以不成立，舍去時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，所以綜上的取值范圍為：考點六利用導數(shù)解決零點問題41．（2023秋·河南周口·高二項城市第一高級中學?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的最小值；(3)求函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)只有一個零點，理由見解析【分析】（1）求導，求得切線斜率，再由點斜式得解；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得最小值；（3）結合零點存在定理和單調(diào)性，即可得出結論．【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，則，又，由點斜式可得，所求切線方程為，即；（2）令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（3），，則，令，解得；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，則在上無零點，在上單調(diào)遞增，，，則在只有一個零點，綜上在定義域只有一個零點．42．（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值：(2)若函數(shù)無零點，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【分析】（1）求導后，根據(jù)的正負可得的單調(diào)性，由極值定義可求得結果；（2）根據(jù)單調(diào)性可知，則只需，解不等式即可.【詳解】（1）由題意得：定義域為，；令，解得：，則當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.（2）由（1）知：的極小值即為的最小值，即；若無零點，則，即，，解得：，則的取值范圍為.43．（2023秋·云南昆明·高二昆明一中?？计谀┮阎瘮?shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間；減區(qū)間(2)【分析】（1）求函數(shù)的導函數(shù)，由求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，，該函數(shù)的定義域為，，令可得，列表如下：取值為正取值為負單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由，可得，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，函數(shù)的定義域為，，由，可得，列表如下：取值為正取值為負單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的極大值為，且當時，，當時，和函數(shù)相比，一次函數(shù)呈爆炸性增長，所以，且，，又，根據(jù)以上信息，作出其圖象如下：當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．44．（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極小值；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)極小值為(2)【分析】（1）求導，根據(jù)導函數(shù)的正負即可求解，（2）求導，分類討論，結合零點存在性定理即可求解.【詳解】（1）當時，，令，解得，列表如下：0極小值所以的極小值為.（2）函數(shù)有兩個零點即有兩個零點.因為，①當時，在上是增函數(shù)，最多只有一個零點，不符合題意；②當時，由得，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù).（i）若，則，最多只有一個零點；（ii）若，因為，且，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點.令，則，當時，在上是增函數(shù)；當時，在上是減函數(shù).所以，故.所以，又，所以在區(qū)間內(nèi)有一個零點.綜上可知：當時，有兩個零點，故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應用，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結合思想的應用.45．（2023秋·山西晉城·高二統(tǒng)考期末）設函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，，求實數(shù)a的范圍.【答案】(1)當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間.(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分類討論a的取值范圍，根據(jù)導數(shù)的正負，即可得答案;（2）分類討論a的取值，確定的單調(diào)性，若為單調(diào)函數(shù)，不可能有兩個零點;當先減后增時，要使有兩個零點，需要其最小值小于0，求得a的取值范圍，再證明確實有兩個零點.【詳解】（1）由于，則定義域為，可得：，當時，∵，∴，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；當時，∵，∴由可得，由得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2），，，當時，，為單調(diào)函數(shù)，不可能有兩個零點，舍去;當時，由得或(舍去).當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以當時取得最小值，要使有兩個零點，，需要，即，解得，又，且，所以在上有唯一的零點，令，，當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以當時取得最小值，故，即（當且僅當時取等號），，且，所以在上有唯一的零點，綜上:當時，有兩個零點.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法:(1)將函數(shù)可方程變形構建新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結合求解函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在性定理，先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).46．（2023秋·山西呂梁·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在時有極值0．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記，若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，由在時有極值0，則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，檢驗所得a，b的值是否符合題意，從而得解析式；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由可得，因為在時有極值0，所以，即，解得或，當，時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時有極值，故舍去，當，時滿足題意，所以常數(shù)a，b的值分別為，，所以．（2）由（1）可知，，令，解得，，∴當或時，，當時，，∴的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，有極大值；當時，有極小值，要使函數(shù)有三個零點，則須滿足，解得．47．（2023秋·福建福州·高二福州三中?？计谀┮阎瘮?shù)（）．(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個零點，（），求證：．【答案】(1)當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.(2)證明見解析【分析】（1）求導后，根據(jù)的不同取值范圍，對的符號進行討論即可；（2）由已知及（1）中單調(diào)性，可知，且，故只需證明，再借助不等式性質(zhì)和放縮，即可證出.【詳解】（1）由已知，的定義域為，，①當時，，恒成立，∴此時在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當時，令，解得，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，綜上所述，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）若函數(shù)有兩個零點，（），則由（1）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，當時，，當時，，（*）∵，∴，∴，又∵，∴，∴只需證明，即有.下面證明，設，，設，則，令，解得，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，∴，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又∵，∴，即，∴由（*）知，，∴，即.又∵，，∴，原命題得證.【點睛】本題第（2）問為極值點偏移的變式，首先需要通過和，確認只需證，再通過構造關于其中一個零點的一元差函數(shù)，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，證出，最后使用不等式性質(zhì)和放縮得到.48．（2023秋·山西太原·高二統(tǒng)考期末）（B）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，且，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先對求導，再分類討論與，結合導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系即可得解；（2）先將問題轉化為的圖像與的圖像有兩個交點，從而利用導數(shù)研究的圖像得到；再利用極值點偏移，構造函數(shù)證得，由此得證.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，當時，即時，，則在上單調(diào)遞增；當，即時，，，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）因為，所以，因為有兩個極值點，所以有兩個零點，即方程有兩個根，令，則的圖像與的圖像有兩個交點，又，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又當時，，則；當時，，則；當趨于無窮大時，的增長速率遠遠小于的增長速率，所以趨于，由此作出的圖像如下：所以，則，又，則，故，因為，令，則，令，則，，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以在上單調(diào)遞增，則，故當時，，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，則，即，所以，故，即，又，所以.【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．考點七利用導數(shù)解決雙變量問題49．（2023秋·福建福州·高二福建省福州第八中學?？计谀┮阎瘮?shù)(1)已知在上為單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)若在有兩個極值點，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)在上為單調(diào)遞增，可得，在上恒成立，即可轉化為一元二次不等式在上恒成立，即可求得的取值范圍；（2）若在有兩個極值點，即有在上有兩個根，轉化為為方程的兩個根，根據(jù)一元二次方程根的分布可得的范圍與滿足的關系式，從而化簡，再將所證問題轉化為，構造函數(shù)，求導得單調(diào)性，即可證明.【詳解】（1）由，，求導得，因為在上為單調(diào)遞增，故，在上恒成立，又恒成立，所以在上恒成立，由時，即，所以的取值范圍為.（2）證明：在上由兩個極值點，有在上有兩個根，即為方程的兩個根，所以，解得，可得，且，所以將代入上式，可得：，由題意，需證，令，求導得，當時，，則在上單調(diào)遞減，即，故.50．（2022秋·陜西渭南·高二期末）已知函數(shù).(1)討論極值點的個數(shù)；(2)若有兩個極值點，且，證明:.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分類討論導函數(shù)的實數(shù)根即可求解極值點，（2）構造函數(shù)和，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解最值，當導數(shù)正負不好確定的時候，需要構造新的函數(shù)，不斷的通過求導判斷單調(diào)性.【詳解】（1）,則,顯然不是的零點,令,則,在單調(diào)遞減,在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.當時，，當時，，且時,只有一個實數(shù)根，所以此時有1個極值點,時,沒有實數(shù)根，故有0個極值點,當時，，有一個實數(shù)根，但不是極值點，故此時沒有極值點，時,有兩個不相等的實數(shù)根，故有2個極值點.（2）由（1）知,,且在（0,1）單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,先證:,即證:，即證:.即證:.令,即證:,令則令,則,則在單調(diào)遞減,,即在單調(diào)遞減,,證畢.再證:,,且.在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,.即證:,又,即證:.令,.令,,令,令令,,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減.,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.,,,在單調(diào)遞增,,所以原命題得證.【點睛】本題考查了導數(shù)的綜合運用，利用導數(shù)求單調(diào)性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構造新的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數(shù)，構造有效的函數(shù)往往是解題的關鍵.51．（2022春·陜西安康·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若時，，求的取值范圍；(2)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)，判定單調(diào)性，求解最值可得范圍；（2）把雙變量問題轉化為單變量，結合導數(shù)求解單調(diào)性和最值，可以證明結論.【詳解】（1）∵，，∴，設，，當時，令得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，∴，與已知矛盾．當時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，滿足條件；綜上，取值范圍是．（2）證明：當時，，當，，當，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設，則，要證，只需證，∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴只需證，∵，∴只需證．設，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，即成立，∴．【點睛】方法點睛：恒成立問題的處