57第12章壓軸題之開放探究類一、單選題1．已知關(guān)于、的二元一次方程組給出下列結(jié)論：①當時，此方程組無解；②若此方程組的解也是方程的解，則；③無論整數(shù)取何值，此方程組一定無整數(shù)解、均為整數(shù))，其中正確的是A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程組的解法逐個判斷即可．【解答】當時，方程組為，此時方程組無解結(jié)論①正確由題意，解方程組得：把，代入得解得，則結(jié)論②正確解方程組得：又為整數(shù)、不能均為整數(shù)結(jié)論③正確綜上，正確的結(jié)論是①②③故選：A．【點評】本題考查了二元一次方程組的解與解法，掌握二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵．2．“勾股圖”有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以“勾股圖”為背景的郵票（如圖1），歐幾里得在《幾何原本》中曾對該圖做了深入研究．如圖2，在中，，分別以的三條邊為邊向外作正方形，連結(jié)，，，分別與，相交于點，．若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先用已知條件利用SAS的三角形全等的判定定理證出△EAB≌△CAM，之后利用全等三角形的性質(zhì)定理分別可得，，，然后設(shè)，繼而可分別求出，，所以；易證Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），從而得，然后代入所求數(shù)據(jù)即可得的值．【解答】解：∵在△EAB和△CAM中，，∴△EAB≌△CAM（SAS），∴，∴,∴,,設(shè)，則，，，，∴；∵在Rt△ACB和Rt△DCG中，，Rt△ACB≌Rt△DCG（HL），∴;∴．故選D．【點評】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理等知識．3．如圖，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，黑、白兩個甲殼蟲同時從點A出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→…，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→…，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）．那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2017條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】先確定黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2017條棱分別停止的點，再根據(jù)停止點確定它們之間的距離．【解答】根據(jù)題意可知黑甲殼蟲爬行一圈的路線是AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，回到起點．乙甲殼蟲爬行一圈的路線是AB→BB1→B1C1→C1D1→D1A1→A1A．因此可以判斷兩個甲殼蟲爬行一圈都是6條棱，因為2017÷6=336…1，所以黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2017條棱分別停止的點都是A1，B.所以它們之間的距離是，故選D．【點評】此題考查了立體圖形的有關(guān)知識．注意找到規(guī)律：黑、白甲殼蟲每爬行6條邊后又重復原來的路徑是解此題的關(guān)鍵．4．在平面上，邊長為的正方形和短邊長為的矩形幾何中心重合，如圖①，當正方形和矩形都水平放置時，容易求出重疊面積．甲、乙、丙三位同學分別給出了兩個圖形不同的重疊方式；甲：矩形繞著幾何中心旋轉(zhuǎn)，從圖②到圖③的過程中，重疊面積大小不變．乙：如圖④，矩形繞著幾何中心繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，矩形的兩條長邊與正方形的對角線平行時，此時的重疊面積大于圖③的重疊面積．丙：如圖⑤，將圖④中的矩形向左上方平移，使矩形的一條長邊恰好經(jīng)過正方形的對角線，此時的重疊面積是個圖形中最小的．下列說法正確的是（）A．甲、乙、丙都對 B．只有乙對 C．只有甲不對 D．甲、乙、丙都不對【答案】C【分析】本題重疊部分面積需要結(jié)合圖形特點，利用對稱性質(zhì)，通過假設(shè)未知數(shù)表示未知線段，利用面積公式求解，并根據(jù)線段范圍判別面積大?。窘獯稹咳鐖D一所示，設(shè)AI=x，BJ=y，則有x+y=AB-IJ=2-1=1，重疊部分四邊形JILK面積為2．如圖二所示，設(shè)AI=x，BJ=y，因為JM=HE=1，△JIM為直角三角形，斜邊JI大于直角邊JM，故有：x+y＜1，重疊部分平行四邊形JILK面積為．如圖三所示，設(shè)AI=x（0＜x＜1），BJ=y=0，重疊部分四邊形JIDK面積為．在由圖一到圖三的轉(zhuǎn)變過程中，x+y的取值逐漸減小，則重疊部分面積逐漸增大，故甲同學說法錯誤．如圖四所示，設(shè)AI=AN=x（1＜x＜2），重疊部分多邊形BINDKM面積為．當0＜x＜2時，，所以圖四重疊部分的面積大于圖三重疊部分面積，乙同學說法正確．如圖五所示，設(shè)AI=AN=x，所以重疊部分四邊形INDB面積為，因為，所以重疊部分面積小于2，即小于圖一重疊面積．綜上，圖一到圖四重疊部分面積逐漸增大，圖五面積小于圖一，故圖五面積最小，丙同學說法正確．故答案為C選項．【點評】本題考查正方形以及矩形性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)進行知識延伸，需要假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合對稱性質(zhì)化抽象問題為形象問題，利用未知量取值范圍求解本題．二、填空題5．（1）如圖①，五角形的頂點分別為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________（2）如圖②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_________（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_________（4）如圖④，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝_________【答案】【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠A+∠C=∠B+∠D=，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可得解；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠A+∠D=，在△BCE中，利用三角形的內(nèi)角和列式計算即可得解；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠A+∠C=，∠B+，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式即可得解；（4）如圖，連接，由三角形的內(nèi)角和定理可得：，再由四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：（1）如圖，標注字母，由三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠C=∠B+∠D=，∵∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；故答案為：（2）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠D=，∵，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°；故答案為：（3）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，，，故答案為：（4）如圖，標注字母，連接，由三角形的內(nèi)角和定理可得：，由四邊形的內(nèi)角和定理可得：，故答案為：【點評】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于準確識圖，理清圖中各角度之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化．6．在平面直角坐標系中，點A（0，4），B（-2，0），C（a，-a），△ABC的面積小于10，則a的取值范圍是__________________．【答案】且【分析】根據(jù)A、B坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式，根據(jù)點C坐標可得點C在直線y=-x上，即在直線OC上，聯(lián)立AB、OC解析式可得交點坐標，分a=0，a＞0，＜a＜0、a＜四種情況，畫出圖形，分別用a表示出△ABC的面積，根據(jù)△ABC的面積小于10列不等式求出a的取值范圍即可得答案．【解答】設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵A（0，4），B（-2，0），∴OA=4，OB=2，∵點A、B在直線AB上，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y=2x+4，①當a=0時，點C（0，0），與原點重合，S△ABC=OA·OB=4＜10，∴a=0符合題意，②如圖，當a＞0時，點C（a，-a）在第四象限，連接OC，∴S△ABC=S△ABO+S△AOC+S△BOC=×2×4+×4a+×2a=4+3a，∵△ABC的面積小于10，∴4+3a＜10，解得a＜2，∴0＜a＜2，∵點C（a，-a），∴點C在直線y=-x上，即在直線OC上，聯(lián)立直線AB與直線OC的解析式得，解得：，∴直線AB與直線OC的交點坐標為（，），∴a≠，②如圖，當＜a＜0時，點C在△ABO的內(nèi)部，∴S△ABC＜S△ABO＜10，∴＜a＜0符合題意，③如圖，當a＜時，點C（a，-a）在第二象限，且在△ABO的外部，連接OC，∴S△ABC=S△AOC+S△BOC-S△ABO=×4(-a)+×2(-a)-×2×4=3a-4，∵△ABC的面積小于10，∴-3a-4＜10，解得：a＞，∴＜a＜，綜上所述：a的取值范圍是＜a＜2，且a≠．故答案為：＜a＜2，且a≠【點評】本題考查一次函數(shù)的交點問題及三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、利用圖形正確表示出△ABC的面積并靈活運用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．7．如圖，點的坐標為，過點作軸于點，軸于點，點為線段上一點，若第一象限內(nèi)存在點，使為等腰直角三角形，請直接寫出符合條件的點坐標________________．【答案】或或或【分析】分點N為直角頂點、點E為直角頂點、點M為直角頂點三種情況，再分別利用矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)求解即可得．【解答】軸，軸，四邊形OEDF是矩形，點的坐標為，，由題意，分以下三種情況：（1）當點N為直角頂點時，①如圖，點N在EM的下方，過點N作，于G，GN的延長線交DF于H，則四邊形GEDH是矩形，，為等腰直角三角形，∴，，，在和中，，，，，，，，解得，，則此時點N的坐標為；②如圖，點N在EM的上方，過點N作于G，GN的延長線交FD的延長線于H，同理可得：，，，，解得，，則此時點N的坐標為；（2）當點E為直角頂點時，如圖，過點N作于G，過點M作于H，則四邊形HEDM是矩形，，同理可得：，，，，，，解得，，則此時點N的坐標為；（3）當點M為直角頂點時，如圖，過點M作于G，過點N作，交GM延長線于H，則四邊形GEDM是矩形，，同理可得：，，，，，，，解得，，則此時點N的坐標為；綜上，符合條件的點坐標為或或或，故答案為：或或或．【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，正確分三種情況討論，并畫出圖形，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE，使點B落在點F處，連接AF，則當線段AF的長取最小值時，sin∠FBD是_____．【答案】【分析】先確定取最小值的情況，畫出相應的圖形，并求得，再通過添加輔助線“連接，過作于”構(gòu)造出直角三角形，最后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)即可求得答案．【解答】解：∵由題意得，∴點在以為圓心、為半徑的圓上，作，連接交于點，此時的值最小，如圖：∵點是的中點∴∵∴∵∴∴連接，過作于，如圖：∵∴∴∴∴∴，∴∴∴．故答案是：【點評】本題考查了幾何圖形中求最值問題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)等知識點，能根據(jù)題意畫出相應圖形并構(gòu)造出直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題9．定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做三角形的“中垂心”．如圖1，在△ABC中，PA=PB，則點P叫做△ABC的“中垂心”．（1）根據(jù)定義，中垂心可能在三角形頂點處的三角形有________（舉一個例子即可）；（2）應用：如圖2；在△ABC中，請畫出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作圖痕跡，不寫畫法）（3）探究：①如圖3，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC邊上，求PA的長．②如圖4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC內(nèi)部，總有AC+BC2AP，請說明理由．【答案】（1）等腰三角形（答案不唯一）；（2）圖見解析；（3）①PA=或；②理由見解析【分析】（1）根據(jù)“中垂心”的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分別作出BC和AB的垂直平分線，交于點P即可；（3）①根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出BC和AB，然后根據(jù)“中垂心”的定義分類討論，分別畫出對應的圖形，利用勾股定理和中點的定義即可分別求出結(jié)論；②延長AP交BC于D，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)即可證出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意，若點C為△ABC的“中垂心”可得CA=CB∴△ABC為等腰三角形故答案為：等腰三角形（答案不唯一）；（2）分別作出BC和AB的垂直平分線，交于點P根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC∴點P即為所求；（3）①∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=90°－∠ABC=30°∴AB=2BC設(shè)BC=x，則AB=2x∵BC2＋AC2=AB2∴x2＋（）2=（2x）2解得：x=4或-4（不符合實際，舍去）∴BC=4，AB=8∵P在AC邊上，∠C=90°∴PB＞PC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC若PA=PB，如下圖所示設(shè)PA=PB=a，則PC=AC－PA=－a∵PC2＋BC2=BP2∴（－a）2＋42=a2解得：a=即PA=；若PA=PC，如下圖所示則點P為AC的中點∴PA==綜上：PA=或；②理由如下延長AP交BC于D根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：AC＋CD＞AD，DP＋DB＞PB∴AC＋CD＋DP＋DB＞AD＋PB∴AC＋（CD＋DB）＋DP＞PA＋DP＋PB∴AC＋BC＞PA＋PB∵PA=PB∴AC+BC2AP【點評】此題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應用，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、30°所對的直角邊是斜邊的一半、勾股定理和三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．如圖，在中，為的中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)、.（1）若為等邊三角形，試探究與有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）若為等邊三角形，當?shù)闹禐槎嗌贂r，？（3）當不是等邊三角形時，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請?zhí)砑右粋€條件，使得結(jié)論成立，并說明理由.【答案】（1），證明見解析；（2）或240；（3）不成立，理由見解析；【解析】【分析】1）、（2）可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)證得結(jié)論及求得的值；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論，運用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，從整體圖形或關(guān)鍵角度入手，便可得到需要添加的條件.【解答】解（1），證明如下：∵為等邊的中線，∴，即，∵，∴，即，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∴，∴.（2）或240.當時，由為等邊三角形，得到，∴，∴；當時，，∴.（3）不成立，添加的條件為理由如下：∵，，∴，即.∵，∴，即.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∴，∴.【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等諸多知識及觀察、分析、猜想與推理等能力，（1）、（2）由于對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)掌握不牢，導致不能證得結(jié)論或求不出的值；問題（3）由于缺乏觀察、分析與推理等能力，以致解答時無從下手，所添加的條件重復或不完全，出現(xiàn)諸如“”、“且”等錯誤答案.11．如圖，以點為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．（1）比較與的大小，并說明理由．（2）當時，若，請你編制一個計算題（不標注新的字母），并解答【答案】（1），理由見解析；（2）不唯一，舉例見解析【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到，由此可以分別求出和，即可求解；（2）此題屬于開放性試題，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)自行編制即可；【解答】解：（1），理由如下；線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段（2）不唯一，舉例如下：層次一：利用其中一個條件求簡單元素，并解答正確如：求，層次二：利用其中一個條件求比較復雜的元素，要利用到一些公式或三角函數(shù)，并解答正確如：①求②求弧長，弧的長③④求層次三：利用兩個條件求復雜元素，并解答正確，如：求線段掃過的面積為【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)軌跡是求解本題的關(guān)鍵.12．問題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點為點，，的兩邊分別交直線，于點，，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特例研究：如圖1，當點，分別在線段，上，且，時，請直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：________；（2）問題解決：如圖2，當點落在射線上，點落在線段上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請通過證明探究出線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應用：如圖3，當點落在射線上，點落在射線上時，若，，請直接寫出的長和此時的面積．【答案】（1）；（2）不成立，理由見解析；；（3），．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得每一個內(nèi)角都是，則可知△BDE與△CDF是含角的直角三角形，根據(jù)角所對直角邊是斜邊的一半即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意可證得，得到，，進而求出，得到，在中，，，即．（3）過點作，可求得，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積，【解答】（1）∵△ABC是等邊三角形，∴，又∵，，∴，∴,,∴．（2）不成立．理由如下：如圖1，分別過點作于點，于點，易證得，則，．∵，，∴．∵，∴，則，∴，∴，即．在中，，∴，即．（3），．解法提示：如圖2，過點作，可求得．同（2）可證，可求得．在中可求出，根據(jù)頂角為的等腰三角形面積的算法可求出的面積為．【點評】本題主要考查了三角形的綜合應用，準確理解三角形全等判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．綜合與實踐問題情境從“特殊到一般”是數(shù)學探究的常用方法之，類比特殊圖形中的數(shù)量關(guān)系和探究方法可以發(fā)現(xiàn)一般圖形具有的普遍規(guī)律．如圖1，在中，，，為邊上的中線，為上一點，將以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，的延長線交線段于點．探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．數(shù)學思考（1）請你在圖1中證明；特例探究（2）如圖2，當垂直于時，求證：；類比再探（3）請判斷（2）的結(jié)論在圖1中是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立．證明見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，可得△AEC≌△BFC，得到∠FBC=∠EAC，再由三角形內(nèi)角和證明AP⊥BE即可．（2）先證明四邊形CEPF是正方形，得到CE=FP，再證明△CED≌△BPD，可得CE=BP，則問題可證．（3）過點C作CG⊥AD，垂足為G，CH⊥BP，垂足為H，則按照（1）中方法問題證．【解答】（1）證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)，可得△AEC≌△BFC，∴∠FBC=∠EAC．又∵∠ADC=∠BDP，∠EAC+∠ADC=180°-∠ACD=90°，∴∠BDP+∠FBC=90°，∴∠BPD=180°-（∠BDP+∠FBC）=90°，∴AP⊥BE．（2）證明：∵∠CEP=∠EPF=∠ECF=90°，∴四邊形CEPF是矩形．∵CE=CF∴四邊形CEPF是正方形．∴CE=EP=FP．又∵∠CDE=∠BDP，CD=BD，∠CED=∠BPD=90°∴△CED≌△BPD，∴CE=BP．∴EP+FP=2CE=2BP．（3）成立．理由如下：過點C作CG⊥AD，垂足為G，CH⊥BP，垂足為H．∵△BFC由△AEC逆時針90°旋轉(zhuǎn)得到，∴∠AEC=∠BFC，CE=CF，∠ECF=90°．∵∠CEG+∠AEC=180°，∠CFH+∠BFC=180°，∴∠CEG=∠CFH．∵∠CGE=∠CHF=90°，∴△CEG≌△CFH，∴CH=CG，EG=FH．∴EP+FP=GP+HP∵∠CGP=∠GPH=∠H=90°，∴四邊形CGPH是正方形．又（2）可知，GP+PH=2BP，∴EP+PF=2BP．【點評】本題考查了利用圖形旋轉(zhuǎn)證明三角形全等以及正方形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是應用由特殊到一般思想，通過類比方法證明問題．14．在△ABC中，AB=AC，點D與點E分別在AB、AC邊上，DEBC，且DE=DB，點F與點G分別在BC、AC邊上，∠FDG∠BDE．（1）如圖1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，點G與點C重合，BF=1，直接寫出BC=；（2）如圖2，當G在線段EC上時，探究線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當G在線段AE上時，直接寫出線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系：_____________．【答案】（1）4；（2）FG=BF+EG，見解析；（3）FG=BF-EG【分析】（1）解直角三角形分別求出DF，CF即可解決問題．

（2）如圖2中，結(jié)論：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用兩次全等，證明FG=GH即可解決問題．

（3）如圖3中，結(jié)論：FG=BF-EG．在射線EA上截取EH，使得EH=BF．利用兩次全等，證明FG=GH即可解決問題．【解答】（1）∵DE∥BC，

∴∠BDE+∠ABC=180°，

∵∠BDE=120°，

∴∠ABC=60°，

∵DF⊥BF，

∴∠BFD=90°，

∴DF=BF?tan60°，

∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，

∴CF=DF?tan60°，∴BC=BF+CF=1+3=4；

（2）如圖2中，結(jié)論：FG=BF+EG．

理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠DEH=∠B，

在△DBF和△DEH中，，

∴△DBF≌△DEH（SAS），

∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，

∵∠FDG∠BDE，

∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，

∴∠GDF=∠GDH，在△DGF和△DGH中，，

∴△DGF≌△DGH（SAS），

∴FG=HG，

∵HG=EG+HE=EG+BF，

∴FG=BF+EG；

（3）如圖3中，結(jié)論：FG=BF-EG．

理由：在射線EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，，

∴△DBF≌△DEH（SAS），

∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，

∴∠BDE=∠FDH，

∵∠FDG∠BDE∠FDH，

∴∠GDF=∠GDH，

在△DGF和△DGH中，，

∴△DGF≌△DGH（SAS），

∴FG=HG，

∵HG=HE-GE=BF-EG，

∴FG=BF=-EG．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．15．如圖，點的坐標為，點的坐標為，將沿直線對折，使點與點重合，直線與軸交于點與交于點．（1）求出的長度；（2）求的面積；（3）在平面上是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）AB＝20；（2）的面積為；（3）點P的坐標為（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）【分析】（1）利用勾股定理計算即可；（2）連接BC，設(shè)AC＝BC＝x，則OC＝16－x，在RtBOC中，利用勾股定理計算即可求得AC的長，進而在RtACD中可求得CD的長，最后利用三角形的面積公式即可求得答案；（3）分類討論，畫出相應圖形，作出正確的輔助線構(gòu)造全等三角形，計算即可．【解答】解：（1）∵點的坐標為，點的坐標為，∴OA＝16，OB＝12，在RtAOB中，，∴AB＝20；（2）如圖，連接BC，∵折疊，∴AC＝BC，∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝10，設(shè)AC＝BC＝x，則OC＝16－x，在RtBOC中，，∴，解得，∴，∴在RtACD中，∴，∴的面積為；（3）如圖1，當點P在第一象限，PB＝AB且∠PBA＝90°時，過點P作PE⊥OB交y軸于點E，則∠PEB＝∠AOB＝90°，∴∠PBE＋∠BPE＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBE＋∠ABO＝90°，∴∠BPE＝∠ABO，∵∠PEB＝∠AOB，∠BPE＝∠ABO，PB＝AB，∴PEB≌BOA，∴PE＝OB＝12，BE＝OA＝16，∴OE＝BE＋OB＝28，∴點P的坐標為（12，28），如圖2，當點P在第三象限，PB＝AB且∠PBA＝90°時，過點P作PF⊥OB交y軸于點F，則∠PFB＝∠AOB＝90°，∴∠PBF＋∠BPF＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBF＋∠ABO＝90°，∴∠BPF＝∠ABO，∵∠PFB＝∠AOB，∠BPF＝∠ABO，PB＝AB，∴PFB≌BOA，∴PF＝OB＝12，BF＝OA＝16，∴OF＝BF－OB＝4，∴點P的坐標為（－12，－4），如圖3，當點P在第一象限，PA＝AB且∠PAB＝90°時，過點P作PG⊥OA交x軸于點G，則∠PGA＝∠AOB＝90°，∴∠PAG＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAG＋∠BAO＝90°，∴∠APG＝∠BAO，∵∠PGA＝∠AOB，∠APG＝∠BAO，PA＝AB，∴PAG≌ABO，∴PG＝OA＝16，AG＝OB＝12，∴OG＝OA＋AG＝28，∴點P的坐標為（28，16），如圖4，當點P在第四象限，PA＝AB且∠PAB＝90°時，過點P作PH⊥OA交x軸于點H，則∠PHA＝∠AOB＝90°，∴∠PAH＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAH＋∠BAO＝90°，∴∠APH＝∠BAO，∵∠PHA＝∠AOB，∠APH＝∠BAO，PA＝AB，∴PAH≌ABO，∴PH＝OA＝16，AH＝OB＝12，∴OH＝OA－AH＝4，∴點P的坐標為（4，－16），如圖5，當點P在第四象限，PA＝PB且∠APB＝90°時，過點P作PM⊥OB交y軸于點M，過點A作AN⊥PM，交MP的延長線于點N，則∠PNA＝∠PMB＝90°，∴∠PAN＋∠APN＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APN＋∠BPM＝90°，∴∠PAN＝∠BPM，∵∠PNA＝∠PMB，∠PAN＝∠BPM，PA＝PB，∴PAN≌BPM，∴PM＝AN，BM＝PN，設(shè)PM＝AN＝a，則PN＝BM＝12＋a，∵MN＝OA＝16，∴a＋12＋a＝16解得a＝2，∴PM＝2，OM＝AN＝2，∴點P的坐標為（2，－2），如圖6，當點P在第一象限，PA＝PB且∠APB＝90°時，過點P作PI⊥OB交y軸于點I，過點A作AJ⊥PI，交IP的延長線于點J，則∠PJA＝∠PIB＝90°，∴∠PAJ＋∠APJ＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APJ＋∠BPI＝90°，∴∠PAJ＝∠BPI，∵∠PJA＝∠PIB，∠PAJ＝∠BPI，PA＝PB，∴PAJ≌BPI，∴PI＝AJ，BI＝PJ，設(shè)PI＝AJ＝b，則PJ＝BI＝b－12，∵IJ＝OA＝16，∴b＋b－12＝16，解得b＝14，∴PI＝14，OI＝AJ＝14，∴點P的坐標為（14，14），綜上所述，點P的坐標為（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）．【點評】本題考查了勾股定理、三角形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．綜合與實踐將矩形和按如圖1的方式放置，已知點在上（），，連接，．特例研究（1）如圖1，當，時，線段與之間的數(shù)量關(guān)系是_______；直線與直線之間的位置關(guān)系是_______；（2）在（1）條件下中，將矩形繞點旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，試判斷（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；探究發(fā)現(xiàn)（3）如圖3，當，時，試判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系和直線與直線之間的位置關(guān)系，并說明理由；知識應用（4）如圖4，在（3）的條件下，連接，，若，請直接寫出的值．【答案】（1），；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由見解析；（3），，理由見解析；（4）的值為．【分析】（1）先證，便可證得BF=DE，∠BFC=∠CED，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余及直角三角形判定不難證得BF⊥DE；（2）方法同（1），問題易證；（3）利用∽證得∠BFC=∠CED，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余及、對頂角相等及直三角形的判定即可證得結(jié)論成立；（4）延長ED交BF于點G，根據(jù)勾股定理求出EB2，F(xiàn)D2，F(xiàn)E2，不難求出結(jié)果．【解答】解：（1）在矩形中，∠BCD=90，BC=CD，在，∠FCE=90，F(xiàn)C=CE，∴∠BCD=∠FCE，∴，∴，∠BFC=∠DEC∵∠BFC+∠FBC=90，∴∠FBC+∠DEC=90，∴故答案為：BF=DE，（2）（1）中結(jié)論仍然成立．理由如下：如圖，延長交于點，交于點，四邊形是矩形，，，，，，．，，在和中，，，，．，．，，，，，．（1）中結(jié)論仍然成立．（3），．如圖，延長交于，交于．四邊形是矩形，，，，，．，，．，．．，．，．．．（4）如圖，延長ED交BF于點G，則EG⊥BF于G，∵，，∴CD=1，CF=4，BC=2，∵在RtFGD中，GF2+GD2=FD2，在RtGBE中，GE2+GB2=BE2，∴BE2+FD2=（GF2+GE2）+（GB2+GD2）=連接BD，則BD2=，∵在Rt△FCE中，EF2=∴BE2+FD2=20+5=25．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)變換等知識，側(cè)重考查了對知識的綜合應用．17．解答下列各題：（1）如圖1，點P是∠AOB的內(nèi)部任意一點，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，D是OP的中點．求證：∠MDN＝2∠MON．（2）如圖2，若P是∠AOB的外部任意一點，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別是M、N，D是OP的中點，問∠MDN與∠MON有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DM=DO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DMO=∠DOM，同理得到∠NDP=2∠NOP，結(jié)合圖形計算，證明結(jié)論；（2）仿照（1）的證明方法解答即可．【解答】（1）證明：∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中點，∴DM＝OP＝DO，∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠MDP+∠NDP＝2∠MON；（2）解：∠MDN＝2∠MON．理由如下：如圖2，∵PM⊥OA，∴∠OMP＝90°，在Rt△OMP中，D是OP的中點，∴DM＝OP＝DO，∴∠DMO＝∠DOM，∴∠MDP＝2∠MOP，同理可知，∠NDP＝2∠NOP，∴∠MDN＝∠NDP﹣∠MDP＝2∠MON．【點評】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．18．如圖1，射線OC，OD在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射線OM，ON分別平分∠AOD，∠BOC．（1）若∠AOC=60°，試通過計算比較∠NOD和∠MOC的大??；（2）如圖2，若將圖1中∠COD在∠AOB內(nèi)部繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①旋轉(zhuǎn)過程中∠MON的大小始終不變．求∠MON的值；②如圖3，若旋轉(zhuǎn)后OC恰好為∠MOA的角平分線，試探究∠NOD與∠MOC的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）①；②．【分析】（1）先根據(jù)角的和差求出和的度數(shù)，再角平分線的定義可得和的度數(shù)，然后根據(jù)角的和差即可得；（2）①先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，然后根據(jù)角的和差即可得；②設(shè)，先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)建立方程可求出，從而可得，然后根據(jù)角的和差、角平分線的定義可得，從而可得，由此即可得．【解答】（1），，射線OM，ON分別平分，，，，；（2）①，，射線OM，ON分別平分，，，，，，，；②設(shè)，是的角平分線，，射線OM平分，，，，解得，，，射線ON平分，，，．【點評】本題考查了角平分線的定義、角的和差等知識點，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．19．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點E在BC上，AE的延長線交BD于點F．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）探究的度數(shù)；（3）探究EF、DF、CF之間的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）CF=EF+DF，理由見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和“SAS”即可證明△ACE≌△BCD；（2）延長AF到Q，使FQ=DF，連接DQ，先證明△DFQ是等邊三角形，再根據(jù)“SAS”證明△CDF≌△EDQ，即可求出∠CFD的度數(shù)；（3）由△CDF≌△EDQ，可得CF=EQ，進而可得到EF、DF、CF之間的關(guān)系．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都為等邊三角形，∴∠ACE=∠BCD=60°，AC=BC，CE=CD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD；（2）延長AF到Q，使FQ=DF，連接DQ，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，又∵∠AEC=∠BEF，∴∠AFB=∠ACB=60°．∴∠DFQ=60°，∴△DFQ是等邊三角形，∴∠FDQ=∠FQD=60°，DF=DQ，∴∠CDF=∠EDQ，在△CDF和△EDQ中，∴△CDF≌△EDQ，∴∠CFD=∠DQF=60°；（3）∵△CDF≌△EDQ，

∴CF=EQ，∵EQ=DF+FQ=EF+DF，∴CF=EF+DF．【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關(guān)鍵．20．綜合與探究問題情境：如圖，已知平分，于點D，E為延長線上一點，于點F，平分交于點G，．問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，當時，____________°；（2）如圖2，當為銳角時，與有什么數(shù)量關(guān)系，請說明理由；拓展探究（3）在（2）的條件下，已知直角三角形中兩個銳角的和是90°，試探究和的位置關(guān)系，并證明結(jié)論；（4）如圖3，當為銳角時，若點E為線段上一點，于點F，平分交于點H，．請寫出一個你發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論．【答案】（1）90；（2），理由見解析；（3），證明見解析；（4）答案不唯一，例如【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，即可求得；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，即可求得；（3）在Rt△EFG中，得到，結(jié)合，得到∠2=∠EGF，即可得到；（4）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得∠1=∠AOB，∠2=∠DEF，即可求得．【解答】（1）∵，∴，∵，∴，∵平分，平分，∴∠1=∠AOB=45，∠2=∠DEF=45，∴；故答案為：90；（2）．理由如下：∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∵，∴；（3）和的位置關(guān)系為OC∥GE．證明：∵于點，∴．∴．∵，∴，∴OC∥GE；（4）答案不唯一，例如．理由如下：∵，分別是，的平分線，∴，，∴，∵，∴；【點評】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．21．綜合實踐數(shù)學課上，各小組進行了特殊四邊形的探究活動，如圖所示，在中，分別以，，為邊在的同側(cè)作等邊三角形，等邊三角形，等邊三角形．（1）奮進小組發(fā)現(xiàn)：四邊形是平行四邊形，請你完成證明；（2）當四邊形是矩形時，求的度數(shù)；（3）當四邊形是菱形時，若，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）；（3）（或）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定可證，再利用全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠DAE=90°，再根據(jù)周角360°可求得∠BAC的度數(shù)；（3）由菱形的性質(zhì)和周角360°可證得△BAC是等腰三角形且∠BAC=120°，進而有∠ABC=30°，由等腰三角形的三線合一，可求得BC=2AB·cos30°=2DF·cos30°，即可求解．【解答】（1）證明：∵是等邊三角形，∴．∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，∴，，∴，即，∴，∴，∴．同理可證．∴四邊形是平行四邊形．（2）∵四邊形是矩形，∴，由（1）知，∴．（3）∵四邊形DAEF是菱形，∴DF=AD=AE，又AD=AB，AE=AC，∴DF=AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠DAE=120°，又，∴，∴∠ABC=30°，∴BC=2AB·cos30°=2DF·cos30°=DF，即（或）．【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、周角、利用特殊角的三角函數(shù)解直角三角形，是一道綜合題型，熟練掌握這些知識的運用是解答的關(guān)鍵．22．如圖，PQ⊥MN，垂足為O，點A、B分別在射線OM、OP上，直線BF平分∠PBA，且與∠BAO的平分線交于點C．（1）若∠BAO=45°，求∠ACB的度數(shù)；（2）若點A、B分別在射線OM、OP上移動，試探索∠ACB的大小是否會發(fā)生變化？如果不變，請說明理由；如果變化，請求出變化的范圍．【答案】（1）∠ACB=45°；（2）不變，45°【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠PBA，然后根據(jù)角平分線的定義表示出∠FBA與∠BAC，最后在△ABC中，利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；

（2）根據(jù)（1）的求解思路，求出∠ACB的表達式，是常數(shù)，所以不論點A、B如何移動，角的大小保持不變．【解答】（1）∵MN⊥PQ，

∴∠BOA=90°，

在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=45°+90°=135°，

∵∠PBA與∠BAO的平分線相交于點C，

∴∠BAC=∠BAO=×45°=22.5°，

∠FBA=∠PBA=×135°=67.5°，

在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=67.5°-22.5°=45°；（2）∵MN⊥PQ，

∴∠BOA=90°，

在△ABO中，∠PBA=∠BAO+∠BOA=∠BAO+90°，

∵∠PBA與∠BAO的平分線相交于點C，

∴∠BAC=∠BAO，∠FBA=∠PBA=(∠BAO+90°)=∠BAO+45°，

在△ABC中，∠ACB=∠FBA-∠BAC=∠BAO+45°-∠BAO==45°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，求出各角的表達式是解題的關(guān)鍵．注意：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．23．已知點為線段上一點，分別以AC，BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA=CD．CB=CE，∠ACD=∠BCE，直線AE與BD交于點F．（1）如圖，若，則．（2）如圖，若，則(用含的代數(shù)式表示)；（3）將圖中的點順時針旋轉(zhuǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系，畫出圖形并證明你的結(jié)論．【答案】（1）120°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB＝α或∠AFB＝180°﹣α，圖形及證明見解析【分析】（1）如圖1，易證∠ACE＝∠BCD，然后根據(jù)SAS可證明△ACE≌△DCB，從而可得∠EAC＝∠BDC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD＝∠ACD=60°，進而可得結(jié)果；（2）如圖2，易證∠ACE＝∠BCD，然后根據(jù)SAS可證明△ACE≌△DCB，從而可得∠EAC＝∠BDC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AFD＝∠ACD=α，進一步即可求出結(jié)果；（3）在點A、F重合之前，如圖3，同（2）的證明可得∠AFD＝∠ACD=α，于是可得∠AFB＝180°﹣α；在點A、F重合之后，如圖4，根據(jù)SAS可證△ACE≌△DCB，于是可得∠AEC＝∠DBC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即得∠AFB＝∠BCE=α，從而可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD．∵AC＝DC，∠ACE＝∠BCD，CE＝BC，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠EAC＝∠BDC．∵∠AMC=∠D