第8章點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)

8.1合成運(yùn)動(dòng)的概念8.2點(diǎn)的速度合成定理8.3牽連運(yùn)動(dòng)為平移的加速度合成定理*8.4牽連運(yùn)動(dòng)為轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度合成定理

8.1合成運(yùn)動(dòng)的概念

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征（運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度等）與參考系有密切關(guān)系。

例如圖8-1所示的橋式起重機(jī)，

當(dāng)卷揚(yáng)小車水平直線運(yùn)行時(shí)，在不同的參考系中觀察重物（動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)是不同的。

當(dāng)以地面為參考系時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是平面曲線，當(dāng)以小車為參考系時(shí)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為鉛垂直線。

圖8-2所示的直升飛機(jī)，

當(dāng)其勻速垂直上升時(shí)，主旋翼端點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡是空間的密圈螺旋線，而相對(duì)機(jī)身的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓周曲線。在不同的參考系中不僅是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡不同，而且所觀測(cè)的速度和加速度也不同。

重物的曲線運(yùn)動(dòng)可以看成為兩個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的合成，即:點(diǎn)相對(duì)小車作直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)隨同小車相對(duì)地面作平移。同樣，旋翼上點(diǎn)的螺旋線運(yùn)動(dòng)可看成為相對(duì)機(jī)身的圓周運(yùn)動(dòng)與機(jī)身垂直平移的合成。于是，相對(duì)于某一參考系的運(yùn)動(dòng)可由相對(duì)于其他參考系的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)組合而成，稱這種運(yùn)動(dòng)為合成運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)研究的問題涉及到兩個(gè)參考系時(shí)，通常把固定在地球上的參考系稱為定參考系，簡(jiǎn)稱定系

把相對(duì)定系運(yùn)動(dòng)的參考系稱為動(dòng)參考系，簡(jiǎn)稱動(dòng)系

研究的對(duì)象是動(dòng)點(diǎn)

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)

動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)

動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)

動(dòng)系作為一個(gè)整體運(yùn)動(dòng)著，因此，牽連運(yùn)動(dòng)具有剛體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)

常見的牽連運(yùn)動(dòng)形式即為平移或定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。

動(dòng)點(diǎn)在相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度、相對(duì)加速度，分別用

和表示。動(dòng)點(diǎn)在絕對(duì)運(yùn)動(dòng)中的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度，

分別用

和表示。在某一瞬時(shí)，動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的一點(diǎn)稱為此瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的牽連點(diǎn)。

某瞬時(shí)牽連點(diǎn)相對(duì)于定參考系的速度、加速度稱為動(dòng)點(diǎn)的牽連速度、牽連加速度，

分別用

和表示。

例如沿直管OA以等角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起始瞬時(shí)管與Ox軸重合，如例圖8-3所示。

管內(nèi)的M點(diǎn)以勻速

相對(duì)于管運(yùn)動(dòng)。

在某瞬時(shí)小球在直管中的M點(diǎn)，這時(shí)牽連速度的大小為

其方向與直管垂直

牽連加速度的大小為

其方向指向O點(diǎn)。

定參考系與動(dòng)參考系是兩個(gè)不同的參考系，可以利用坐標(biāo)變換來建立絕對(duì)、相對(duì)和牽連運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。以平面問題為例，設(shè)oxy是定系

,o?x?y?是動(dòng)系，是動(dòng)點(diǎn)，如圖8-4所示。動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

動(dòng)系o?x?y?相當(dāng)于定系oxy運(yùn)動(dòng)可由如下三個(gè)方程完全描述由圖8-3可得動(dòng)系o?x?y?與定系oxy之間的坐標(biāo)變換關(guān)系為（8-1）

例8-1用車刀切削工件的端面，車刀刀尖M沿水平軸x作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，如圖8-5所示。設(shè)oxy為定坐標(biāo)系，刀尖的運(yùn)動(dòng)方程為

。工件以等角速度

逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。求車刀在工件圓端面上切出的痕跡。解：根據(jù)題意，需求車刀刀尖M相對(duì)于工件的軌跡方程。設(shè)刀尖M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在工件上。則動(dòng)點(diǎn)M在動(dòng)系和定系中的坐標(biāo)關(guān)系為：將點(diǎn)M的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程代入上式中，得：上式就是車刀相對(duì)于工件的運(yùn)動(dòng)方程。從上式中消去時(shí)間t，得刀尖的相對(duì)軌跡方程8.2點(diǎn)的速度合成定理

下面研究點(diǎn)的相對(duì)速度、牽連速度和絕對(duì)速度三者之間的關(guān)系。設(shè)動(dòng)點(diǎn)M沿著曲線AB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)參考系固連于曲線AB上（圖中未畫出），曲線又隨同動(dòng)系相對(duì)定系運(yùn)動(dòng)，如圖8-6所示。

經(jīng)過瞬時(shí)后，曲線AB移至新的位置，點(diǎn)M沿曲線運(yùn)動(dòng)到。

動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)可看成隨牽連點(diǎn)經(jīng)過路程到點(diǎn)，同時(shí)又沿動(dòng)系移動(dòng)了一段弧長(zhǎng)，在瞬時(shí)位于點(diǎn)。圖中是牽連位移，是相對(duì)位移，是絕對(duì)位移。由圖中幾何關(guān)系得當(dāng)時(shí)，取極限上式左端為動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度，方向沿絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的切線方向；等號(hào)右端第一項(xiàng)為牽連點(diǎn)（曲線AB上的M點(diǎn)）的速度，即牽連速度，其方向沿該點(diǎn)軌跡的切線；等號(hào)右端第二項(xiàng)為動(dòng)點(diǎn)M的相對(duì)速度，其方向沿相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡AB的切線方向。由此得（8-2）

即某瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度等于該瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。

這就是點(diǎn)的速度合成定理。

上式表明，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度可以由牽連速度與相對(duì)速度所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來確定。這個(gè)平行四邊形稱為速度平行四邊形。

在推導(dǎo)速度合成定理時(shí)，并未限制動(dòng)參考系作什么樣的運(yùn)動(dòng)，因此這個(gè)定理適用于牽連運(yùn)動(dòng)是任何運(yùn)動(dòng)的情況，即動(dòng)參考系可作平移、轉(zhuǎn)動(dòng)或其他任何較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。例8-2刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖8-7所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊在搖桿上滑動(dòng)，并帶動(dòng)搖桿繞固定軸擺動(dòng)。設(shè)曲柄長(zhǎng)，兩軸間的距離。求當(dāng)曲柄在水平位置時(shí)搖桿的角速度。

圖8-7解：（1）選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。本題應(yīng)選取曲柄端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在搖桿上，機(jī)架為定系。（2）分析三種運(yùn)動(dòng)和三個(gè)速度。點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿方向的直線運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)則是搖桿繞軸的擺動(dòng)。于是，絕對(duì)速度的方向與曲柄垂直，大小為相對(duì)速度的方向沿

牽連速度是桿上與點(diǎn)A點(diǎn)重合的那一點(diǎn)的速度，方向垂直于

（3）應(yīng)用速度合成定理，作出速度平行四邊形，求解。已知四個(gè)要素，即可作出速度平行四邊形，如圖8-7所示。由幾何關(guān)系可求得設(shè)搖桿在此瞬時(shí)的角速度為，由，則方向如圖所示。例8-3如圖8-8所示，半徑為R、偏心距為的凸輪，以勻角速度繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸。求當(dāng)時(shí)，桿AB的速度。解：桿AB作平移，其上任一點(diǎn)的速度即為桿的速度。選取桿AB的端點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)則是凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。絕對(duì)速度方向沿AB，相對(duì)速度方向沿凸輪圓周的切線，而牽連速度的方向垂直于OA，大小為根據(jù)速度合成定理，作出速度平行四邊形，如圖8-8所示。由三角關(guān)系求得桿的絕對(duì)速度為用運(yùn)動(dòng)分解的方法解題時(shí)，分解方案不是惟一的。在本題中還可將動(dòng)系固結(jié)于頂桿上（圖8-9），但不能再選桿上A點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，因它與動(dòng)系無相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可選凸輪中心C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)。動(dòng)點(diǎn)C的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)；因輪心C到動(dòng)系原點(diǎn)A的距離總為R，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以A為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為鉛垂方向的平移。作出圖示速度平行四邊形，得例8-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B上，如圖8-10a所示。站在地面上觀察礦砂下落的速度為，方向與鉛直線成角。已知傳送帶B水平傳動(dòng)速度。求礦砂相對(duì)于傳送帶B的速度。解：以礦砂M為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固定在傳送帶B上。礦砂相對(duì)地面的速度為絕對(duì)速度；牽連速度應(yīng)為動(dòng)參考系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的那一點(diǎn)的速度。可設(shè)想動(dòng)參考系為無限大，由于它作平動(dòng)，各點(diǎn)速度都等于。于是等于動(dòng)點(diǎn)M的牽連速度。由速度合成定理知，三種速度形成平行四邊形，絕對(duì)速度必須是對(duì)角線，因此作出的速度平行四邊形如圖8-10b所示。根據(jù)幾何關(guān)系求得與間的夾角為總結(jié)以上各例，在分析三種運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先要選取動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)參考系。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)系是運(yùn)動(dòng)的，因此它們不能處于同一物體上；為便于確定相對(duì)速度（和相對(duì)加速度），動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)軌跡應(yīng)簡(jiǎn)單清楚。在速度合成定理中，三種速度都有大小和方向兩個(gè)要素，共六個(gè)要素，只有已知四個(gè)要素時(shí)才能畫出速度平行四邊形。必須注意，作圖時(shí)要使絕對(duì)速度成為平行四邊形的對(duì)角線。8.3牽連運(yùn)動(dòng)為平移的加速度合成定理對(duì)于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度合成定理都是適用的。但是加速度合成問題則比較復(fù)雜，對(duì)于不同形式的牽連運(yùn)動(dòng)會(huì)得到不同的結(jié)論，先研究牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的情況。設(shè)為定參考系，為平移參考系，如圖8-11所示。

其點(diǎn)的速度，加速度為?，F(xiàn)在求M點(diǎn)的絕對(duì)加速度。因?yàn)閯?dòng)系作平移，因而動(dòng)系上各點(diǎn)的速度和加速度都相同，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)系中的坐標(biāo)為，則動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)矢徑為在動(dòng)系中對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度，即

將速度合成定理（8-2）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

因有動(dòng)系作平移，動(dòng)系的三個(gè)單位矢量，，方向不變，有于是得

即當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度等于牽連加速度和相對(duì)加速度的矢量和。這就是牽連運(yùn)動(dòng)為平移時(shí)的加速度合成定理。例8-5曲柄滑道機(jī)構(gòu)如圖8-12所示。曲柄長(zhǎng)。當(dāng)時(shí)，曲柄的角速度為，角加速度為。求圖示瞬時(shí)導(dǎo)桿的加速度。解：取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系固連于導(dǎo)桿上。由于動(dòng)點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，于是絕對(duì)加速度可分解為切向加速度和法向加速度，大小為方向如圖；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，故相對(duì)加速度應(yīng)是水平方向，大小未知；牽連運(yùn)動(dòng)是直線平移，牽連加速度為鉛垂方向，大小未知。各加速度方向如圖所示。由牽連運(yùn)動(dòng)為平移的加速度合成定理將上述矢量式在鉛垂方向投影，可得

解得由于導(dǎo)桿平移，所以A點(diǎn)的牽連加速度就是導(dǎo)桿上點(diǎn)C的加速度。例8-6凸輪在水平面上向右作減速運(yùn)動(dòng)，如圖8-13a所示。設(shè)凸輪半徑為R，圖示瞬時(shí)的速度和加速度分別為和。求桿AB在圖示位置時(shí)的加速度。解：以桿AB上的點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，凸輪為動(dòng)系，則點(diǎn)A的絕對(duì)軌跡為直線，相對(duì)軌跡為凸輪輪廓曲線。由于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)，點(diǎn)