顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.一、兩事件的獨立性A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)§6獨立性

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(B)P(A|B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.兩事件獨立的定義例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,說明事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2

在實際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立。

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立。甲、乙兩人向同一目標射擊，記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如：(即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率)。一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}，

i=1,2。若抽取是有放回的,則A1與A2獨立。

因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響。又如：因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響。若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立。請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.

若P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨立我們來計算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即若P(A)>0,P(B)>0,A與B獨立與A與B互不相容不能同時成立設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：

前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習(xí).=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)證明定理2若兩事件A、B獨立,則也相互獨立.僅證A與獨立例2

設(shè)事件A與B

相互獨立，P(A)=0.4,P(B)=0.3，求解：二多事件相互獨立的概念注意三個事件相互獨立三個事件兩兩相互獨立反例隨機投擲編號為1與2的兩個骰子事件A

表示1號骰子出現(xiàn)奇數(shù)

B

表示2號骰子出現(xiàn)奇數(shù)

C

表示兩骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)則但本例說明不能由A,B,C

兩兩獨立A,B,C

相互獨立n個事件相互獨立n個事件兩兩相互獨立包含等式總數(shù)為：有用的結(jié)論3.若n個事件A1,A2,…,An

相互獨立,將這n

個事件任意分成k

組,同一個事件不能同時屬于兩個不同的組,則對每組的事件進行求和、積、差、對立等運算所得到的k

個事件也相互獨立.相互獨立事件至少發(fā)生其一的概率的計算也相互獨立

也就是說，n個獨立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自對立事件概率的乘積.類似可以得出：特別的，若則有對獨立事件，許多概率計算可得到簡化：例3:三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解：將三人編號為1，2，3，三、獨立性概念在計算概率中的應(yīng)用所求為記Ai={第i個人破譯出密碼}，i=1,2,3。已知：P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,

P(A3)=1/4。=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]則請看演示“諸葛亮和臭皮匠”解：解：即解得例6

設(shè)有4個相互獨立的元件組成的系統(tǒng)，每個元件的可靠性都為r，（元件的可靠性是指元件能正常工作的概率），今對4個元件按如下兩種方式組成系統(tǒng)，試比較兩個系統(tǒng)可靠性的大小。

系統(tǒng)一：先串聯(lián)后并聯(lián)

系統(tǒng)二：先并聯(lián)后串聯(lián)

解用Ai，Bi表示如圖中諸元件可靠的事件，i=1,2，用C1、C2分別表示系統(tǒng)一和系統(tǒng)二可靠的事件，則

于是

易知，當(dāng)0＜r＜1時，有P（C2）＞P（C1），即兩者相比，后者的可靠性更高。

例7驗收100件產(chǎn)品的方案如下，從中任取3件進行獨立地測試,如果至少有一件被斷定為次品,則拒絕接收此批產(chǎn)品。設(shè)一件次品經(jīng)測試后被斷定為次品的概率為0.95,一件正品經(jīng)測試后被斷定為正品的概率為0.99,并已知這100件產(chǎn)品恰有4件次品。求此批產(chǎn)品能被接收的概率。解:設(shè)A={此批產(chǎn)品被接收}

Bi={取出3件產(chǎn)品中恰有i件是次品}，

i=0,1,2,3。則因三次測