第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和A組專項(xiàng)基礎(chǔ)測試三年模擬精選選擇題1.(2015·黃岡中學(xué)檢測)已知{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－2，a3＝2，則{an}的公差d＝()A.－1B.－2C.－3解析a1＋a7＝a3－2d＋a3＋4d＝2a3＋2d＝－2，得d＝－3.答案C2.(2015·惠州市三調(diào))等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a1＝4，則公差d等于()A.1B.eq\f(5,3)C.－2D.3解析∵a1＝4，S3＝6，∴S3＝4×3＋eq\f(3×2,2)d＝6，得d＝－2.答案C3.(2015·長春調(diào)研)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝20，S6－S2＝36，則該等差數(shù)列的公差d＝()A.－2B.2C.－4D.解析由題意，a1＋a2＋a3＋a4＝20，a3＋a4＋a5＋a6＝36，作差可得8d＝16，即d＝2.答案B4.(2013·河南安陽三模)已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a10＝S4，則eq\f(S8,a9)等于()A.4B.5C.8D.10解析由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋eq\f(4×3,2)d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.∴S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝8a1＋28d＝36d，∴eq\f(S8,a9)＝eq\f(36d,a1＋8d)＝eq\f(36d,9d)＝4.答案A一年創(chuàng)新演練5.已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S21＝S4000，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(1，an)，Q(2011，a2011)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))等于()A.2011B.－2011C.0D.1解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾21＝S4000，且等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可看成二次函數(shù)，所以由對稱性可得S1＝S4020，則有a1＝4020a1＋eq\f(4020×4019,2)d，整理得a2011＝0，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2011＋an·a2011＝2011.答案A6.已知an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n)，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排列成如下的三角形形狀，記A(m，n)表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則A(10，12)＝()a1a2a3a5a6a7a……A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(93)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(92)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(94)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(112)解析記每一行的數(shù)的個(gè)數(shù)組成數(shù)列{bn}，則{bn}為首項(xiàng)b1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，所以前9行共有eq\f(9×（b1＋b9）,2)＝81個(gè)數(shù)，所以第10行的第1個(gè)數(shù)是a82，第10行的第12個(gè)數(shù)為a93＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(93).故選A.答案AB組專項(xiàng)提升測試三年模擬精選一、選擇題7.(2015·濟(jì)南一中高三期中)等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整數(shù)n為()A.7B.8C.9D.10解析法一S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝0，a13＝－a1＝12，d＝eq\f(a13－a1,13－1)＝2，故an＝a1＋(n－1)d＝2n－14，解an＞0，得n＞7，故使an＞0的最小正整數(shù)n為8.法二S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝13a7＝0，得a7＝0，故a8＞0，故an＞0的最小正整數(shù)為n＝8.答案B8.(2015·巴蜀中學(xué)一模)在等差數(shù)列{an}中，an＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40，則a4·a5的最大值是()A.5B.10C.25D.50解析由a1＋a2＋a3＋…＋a8＝40得4(a4＋a5)＝40，即a4＋a5＝10，a4＋a5≥2eq\r(a4·a5)，得：a4·a5≤25，故a4·a5的最大值為25.答案C9.(2014·河南中原名校聯(lián)考(一))已知等差數(shù)列{an}滿足a1＞0，5a8＝8a13，則前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，A.20B.21C.22D.23解析由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)?d＝－eq\f(3,61)a1，由an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,61)a1))≥0，得n≤eq\f(64,3)＝21eq\f(1,3)，∴數(shù)列{an}前21項(xiàng)都是正數(shù)，以后各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，故Sn取最大值時(shí)，n的值為21.答案B二、解答題10.(2014·山東德州模擬)已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an·3an}的前n項(xiàng)和.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0).由條件可知：(2＋3d)2＝(2＋d)·(2＋7d)，解得d＝2.由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n(n∈N*).(2)由(1)知an·3an＝2n×32n，設(shè)數(shù)列{an·3an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝2×32＋4×34＋6×36＋…＋2n×32n，32Sn＝2×34＋4×36＋…＋(2n－2)×32n＋2n×32n＋2，故－8Sn＝2(32＋34＋36＋…＋32n)－2n×32n＋2，所以Sn＝eq\f(（8n－1）×9n＋1＋9,32).所以數(shù)列{an·3an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(（8n－1）×9n＋1＋9,32).一年創(chuàng)新演練11.已知函數(shù)f(x)＝cosx，x∈(0，2π)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，且方程f(x)＝m有兩個(gè)不同的實(shí)根x3，x4，若把這四個(gè)數(shù)按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)m等于()A.eq\f(1,2)B.－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D.－eq\f(\r(3),2)解析若m＞0，則公差d＝eq\f(3π,2)－eq\f(π,2)＝π，顯然不成立，所以m＜0，則公差d＝eq\f(\f(3π,2)－\f(π,2),3)＝eq\f(π,3).所以m＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，故選D.答案D12.把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設(shè)aij(i，j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a63＝18，若aij＝2012，則i＋j等于()124357681012911131517141618202224…A.75B.76C.77D.78解析觀察此三角形數(shù)表可得到以下信息：(1)奇數(shù)行中都是奇數(shù)，偶數(shù)行中都是偶數(shù)；(2)第一行有1個(gè)數(shù)，第二行有2個(gè)數(shù)，第三行有3個(gè)數(shù)，依此類推，第2n行有2n個(gè)數(shù)；(3)單看偶數(shù)行，第2行、第4行共有6個(gè)數(shù)，而第4行最后一個(gè)數(shù)為12＝6×2，第2行、第4行、第6行共12個(gè)數(shù)，而第6行最后一個(gè)數(shù)為24＝12×2，依此類推