第3課整式及其運算

基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系

基礎(chǔ)自測題型二合并同類項與整式的加減運算題型三整式的混合運算與求值題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律思想與方法1.代數(shù)式表示多位數(shù)知識點索引易錯警示2.冪運算易出現(xiàn)錯誤1.單項式由____________或____________相乘組成的代數(shù)式叫做單項式，所有字母指數(shù)的和叫做______________，數(shù)字因數(shù)叫做______________．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引2.多項式由幾個____________組成的代數(shù)式叫做多項式，多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個______________，其中不含字母的項叫做____________．

3.整式

__________________統(tǒng)稱為整式.單項式的系數(shù)數(shù)與字母字母與字母單項式的次數(shù)常數(shù)項單項式相加多項式的次數(shù)單項式和多項式要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引4.合并同類項同類項：多項式中所含________相同并且相同字母的

________也相同的項，叫做同類項，它與單項式的系數(shù)無關(guān)．合并同類項就是把同類項的________相加作為結(jié)果的系數(shù)，而字母與字母的________不變，即把多個同類項合并成一項．特別地，當兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)時其和為0.

整式的加減，其一般步驟是：如果遇到括號，按去括號法則先________，再______________．合并同類項字母指數(shù)系數(shù)指數(shù)去括號5.冪運算法則

(1)同底數(shù)冪相乘：

am·an＝__________________________________(2)冪的乘方：

(am)n＝___________________________________(3)積的乘方：

(ab)n＝___________________________________(4)同底數(shù)冪相除：

am÷an＝__________________________________要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引6.整式乘法單項式與單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘作為積的因式，只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式．單項式乘多項式：m(a＋b)＝____________________

多項式乘多項式：(a＋b)(c＋d)＝_______________ma＋mb

ac＋ad＋bc＋bd

7.乘法公式

(1)平方差公式：________________________(2)完全平方公式：________________________

理解公式(x＋a)(x＋b)＝________________與以上乘法公式之間的關(guān)系：當a＝b時，上式變形為完全平方公式；當a＝－b時，上式變形為平方差公式．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引8.整式除法單項式與單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相

______，作為商的因子，對于只在被除式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個因式．多項式除以單項式，將這個多項式的每一項________

這個單項式，然后把所得的商相______．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引除除以加1.(中考真題-濟寧)化簡－5ab＋4ab的結(jié)果是(

)A.－1B.aC.bD.－ab基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引D解析－5ab＋4ab＝(－5＋4)ab＝－ab.故選D.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引B2.(中考真題-重慶)計算2x6÷x4的結(jié)果是(

)A.x2B.2x2

C.2x4D.2x10解析

2x6÷x4＝2x2.故選B.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引C3.(中考真題-紹興)計算(ab)2的結(jié)果是(

)A.2abB.a2bC.a2b2D.ab2解析

(ab)2＝a2b2.故選C.4.(中考真題-益陽)下列式子化簡后的結(jié)果為x6的是(

)A.x3＋x3B.x3·x3

C.(x3)3D.x12÷x2基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引B解析

A、原式＝2x3，故本選項錯誤；B、原式＝x6，故本選項正確；C、原式＝x9，故本選項錯誤；D、原式＝x12－2＝x10，故本選項錯誤．故選B.5.(中考真題-威海)已知x2－2＝y(tǒng)，則x(x－3y)＋y(3x－1)－2

的值是(

)A.－2B.0C.2D.4基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學習知識點索引B解析∵x2－2＝y(tǒng)，即x2－y＝2，∴原式＝x2－3xy＋3xy－y－2＝x2－y－2＝2－2＝0.故選B.題型分類·深度剖析題型一列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系知識點索引【例1】

(1)(中考真題-鹽城)“x的2倍與5的和”用代數(shù)式表示為________．(2)(中考真題-海南)購買單價為a元的筆記本3本和單價為b元的鉛筆5支應(yīng)付款__________元．2x＋5(3a＋5b)解析首先表示“x的2倍”為2x，再表示“與5的和”為2x＋5.解析用3本筆記本的總價加上5支鉛筆的總價即可．即應(yīng)付款為：(3a＋5b)元．題型分類·深度剖析題型一列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系知識點索引探究提高列代數(shù)式，關(guān)鍵是列代數(shù)式時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把帶分數(shù)化為假分數(shù)；書寫單位名稱什么時候不加括號，什么時候要加括號，注意代數(shù)式括號的適當運用；實際問題列代數(shù)式，必須理解題意，這里利用“單價×數(shù)量＝總價”三者之間的關(guān)系解決問題．變式訓練1

(1)(中考真題-呼和浩特)某商品先按批發(fā)價a元提高

10%零售，后又按零售價降低10%出售，則它最后的單價是(

)A.aB.0.99aC.1.21aD.0.81a題型分類·深度剖析題型一列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系知識點索引B解析原價提高10%后商品新單價為a(1＋10%)元，再按新價降低10%后單價為a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a(元)．故選B.(2)(中考真題-咸寧)體育委員小金帶了500元錢去買體育用品，已知一個足球x元，一個籃球y元，則代數(shù)式500－3x

－2y表示的實際意義是_____________________________________________________________________．題型分類·深度剖析題型一列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系知識點索引體育委員買了3個足球、2個解析∵買一個足球x元，一個籃球y元，∴3x表示體育委員買了3個足球，2y表示買了2個籃球，∴代數(shù)式500－3x－2y表示體育委員買了3個足球、2個籃球后剩余的經(jīng)費．籃球后剩余的經(jīng)費

【例2】

(1)(中考真題-畢節(jié))若－2amb4與5an＋2b2m＋n可以合并成一項，則mn的值是(

)A.2B.0C.－1D.1題型分類·深度剖析題型二合并同類項與整式的加減運算

知識點索引D

解析根據(jù)同類項是字母相同且相同字母的指數(shù)也相同，可得m、n的值，根據(jù)乘方，可得答案．若－2amb4與5an＋2b2m＋n可以合并成一項，題型分類·深度剖析題型二合并同類項與整式的加減運算

知識點索引(2)(中考真題-廣東)計算3a－2a的結(jié)果正確的是(

)A.1B.aC.－aD.－5aB解析

3a－2a＝(3－2)a＝a.故選B.題型分類·深度剖析題型二合并同類項與整式的加減運算

知識點索引探究提高本題考查了合并同類項，系數(shù)相加字母部分不變是解題關(guān)鍵．同類項是字母相同且相同字母的指數(shù)也相同．(1)判斷同類項時，看字母和相應(yīng)字母的指數(shù)，與系數(shù)無關(guān)，也與字母的相關(guān)位置無關(guān)，兩個只含數(shù)字的單項式也是同類項；(2)只有同類項才可以合并．變式訓練2

(1)(中考真題-蘇州)計算－2x2＋3x2的結(jié)果為

(

)A.－5x2B.5x2

C.－x2D.x2題型分類·深度剖析題型二合并同類項與整式的加減運算

知識點索引D解析－2x2＋3x2＝(－2＋3)x2＝x2.故選D.題型分類·深度剖析題型二合并同類項與整式的加減運算

知識點索引(2)若－4xay＋x2yb＝－3x2y，則a＋b＝________．

3解析－4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay，x2yb，－3x2y是同類項，則a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.題型分類·深度剖析題型三整式的混合運算與求值知識點索引【例3】

(1)(中考真題-宜昌)化簡：(a＋b)(a－b)＋2b2.解原式＝a2－b2＋2b2

＝a2＋b2.題型分類·深度剖析題型三整式的混合運算與求值知識點索引求代數(shù)式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．∴(x＋1)2－2x＋y(y－2x)＝x2＋2x＋1－2x＋y2－2xy＝x2＋y2－2xy＋1＝(x－y)2＋1題型分類·深度剖析題型三整式的混合運算與求值知識點索引探究提高注意多項式乘多項式的運算中要做到不重不漏，應(yīng)用乘法公式進行簡便計算．另外去括號時，要注意符號的變化，最后把所得式子化簡，即合并同類項，最后代入求值計算．記住：先化簡，后求值．題型分類·深度剖析題型三整式的混合運算與求值知識點索引變式訓練3

(1)(中考真題-紹興)先化簡，再求值：a(a－3b)＋

(a＋b)2－a(a－b)，解原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab

＝a2＋b2題型分類·深度剖析知識點索引解原式＝x2－1－x2＋x＝x－1，題型三整式的混合運算與求值題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引【例4】

(中考真題-重慶)如圖，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第(1)個圖形中面積為1

的正方形有2個，第(2)個圖形中面積為1的正方形有5個，第(3)個圖形中面積為1的正方形有9個，…，按此規(guī)律，則第(6)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為(

)A.20B.27C.35D.40題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引解析第(1)個圖形中面積為1的正方形有2個，第(2)個圖形中面積為1的正方形有2＋3＝5個，第(3)個圖形中面積為1的正方形有2＋3＋4＝9個，……按此規(guī)律，第n個圖形中面積為1的正方形有2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝個，則第(6)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為2＋3＋4＋5＋6＋7＝27個．故選B.【例4】

(中考真題-重慶)如圖，下列圖形都是由面積為1的正方形按一定的規(guī)律組成，其中，第(1)個圖形中面積為1

的正方形有2個，第(2)個圖形中面積為1的正方形有5個，第(3)個圖形中面積為1的正方形有9個，…，按此規(guī)律，則第(6)個圖形中面積為1的正方形的個數(shù)為(

)A.20B.27C.35D.40題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引B題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引探究提高此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形的個數(shù)的變化規(guī)律．對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，先用具體的數(shù)字等式表示，再用含字母的式子表示，即找出圖形與數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引變式訓練4

(中考真題-赤峰)平移小菱形

可以得到美麗的“中國結(jié)”圖案，下面四個圖案是由

平移后得到的類似“中國結(jié)”的圖案，按圖中規(guī)律，第20個圖案中，小菱形的個數(shù)是________個．題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引解析第一個圖形有2×12＝2個小菱形；第二個圖形有2×22＝8個小菱形；第三個圖形有2×32＝18個小菱形；……第n個圖形有2n2個小菱形；則第20個圖形有2×202＝800個小菱形．題型分類·深度剖析題型四用代數(shù)式表示變化規(guī)律知識點索引變式訓練4

(中考真題-赤峰)平移小菱形

可以得到美麗的“中國結(jié)”圖案，下面四個圖案是由

平移后得到的類似“中國結(jié)”的圖案，按圖中規(guī)律，第20個圖案中，小菱形的個數(shù)是________個．800題型分類·深度剖析思想與方法系列思想與方法系列1代數(shù)式表示多位數(shù)

知識點索引試題一個兩位數(shù)，將它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，證明所得的數(shù)與原來的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．題型分類·深度剖析思想與方法系列知識點索引審題視角為理解題意，不妨隨便寫一個兩位數(shù)，例如

37，將它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，得73，它與原來的二位數(shù)之差為36，是9的倍數(shù)．但是，兩位數(shù)很多，要一個一個去驗證，顯然很麻煩．為此想到利用字母去表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，用式子表示這個兩位數(shù)和對調(diào)數(shù)字所得的新兩位數(shù)，通過計算來證明一般的結(jié)論．題型分類·深度剖析思想與方法系列知識點索引規(guī)范答題證明：設(shè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是a，個位數(shù)字是b，那么這個兩位數(shù)就等于10a＋b.

將十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，所得的新數(shù)的十位數(shù)字是

b，個位數(shù)字是a，它等于10b＋a.

于是，所得的新數(shù)與原來的兩位數(shù)之差為：

(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b

＝9b－9a＝9(b－a)．因為b－a是一個整數(shù)，所以9(b－a)是9的倍數(shù)，即所得的新數(shù)與原來的兩位數(shù)之差是9的倍數(shù)．答題模板題型分類·深度剖析答題模板

知識點索引第一步：先考慮特殊的情形，寫出任意一個兩位數(shù)，以此為立足點探索一般規(guī)律；第二步：利用字母去表示兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字，用代數(shù)式表示原兩位數(shù)與新兩位數(shù)；第三步：通過計算新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的差，來證明一般的結(jié)論；第四步：明確結(jié)論；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點，完善解題步驟．題型分類·深度剖析思想與方法系列知識點索引批閱筆記用字母表示數(shù)，讓字母與數(shù)一樣參與運算，是數(shù)學中重要的思想方法．隨著掌握的數(shù)學知識的增加，以及所接觸