第四十二講：函數(shù)圖象和函數(shù)實際應用【教學目標】函數(shù)解析式，選出大致圖象；2.能利用已知函數(shù)模型求解實際問題；3.能根據(jù)實際需要構建指數(shù)型函數(shù)或?qū)?shù)型函數(shù)模型解決實際問題．【基礎知識】一、函數(shù)解析式，求圖象解題步驟：（1）首先確定函數(shù)的定義域；（2）通過函數(shù)的奇偶性，確定奇偶函數(shù)；（3）帶特殊值，確定函數(shù)的值；（4）利用函數(shù)的增長差異，確定函數(shù)的單調(diào)性，最終確定函數(shù)圖象.二、函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)解題步驟：(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，初步選擇模型．(2)建?！獙⒆匀徽Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型．(3)求?！蠼鈹?shù)學模型，得出數(shù)學模型．(4)還原——將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題．【題型目錄】考點一：簡單函數(shù)圖象的判斷考點二：復雜函數(shù)的圖象判斷考點三：由圖象判斷解析式考點四：實際應用的圖象問題考點五：指數(shù)型函數(shù)的實際應用考點六：對數(shù)型函數(shù)的實際應用【考點剖析】考點一：簡單函數(shù)圖象的判斷例題1．函數(shù)的圖象大致是（） A． B． C． D．變式訓練1．函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D．變式訓練2．已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（） A． B． C． D．變式訓練3．函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D．考點二：復雜函數(shù)的圖象判斷例2．函數(shù)的部分圖象大致為（） A． B． C． D．變式訓練1．函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D．變式訓練2．函數(shù)的部分圖象大致為（） A． B． C． D．變式訓練3．函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D．考點三：由圖象判斷解析式例3．“家在花園里，城在山水間．半城山色半城湖，美麗惠州和諧家園．．．．．．”首婉轉(zhuǎn)動聽的《美麗惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市環(huán)境．下圖1是惠州市風景優(yōu)美的金山湖片區(qū)地圖，其形狀如一顆愛心．圖2是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為（） A． B． C． D．變式訓練1．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中．有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（） A． B． C． D．變式訓練2．已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（） A． B． C． D．變式訓練3．如圖所示為函數(shù)的圖象，則的解析式可能是（） A． B． C． D．考點四：實際應用的圖象問題例4．如圖，是邊長為2的等邊三角形，點E由點A沿線段AB向點B移動，過點E作AB的垂線l，設，記位于直線l左側(cè)的圖形的面積為y，那么y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（） A． B． C． D．變式訓練1．在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長，專家預測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)的圖象大致為（） A． B． C． D．變式訓練2．杭州亞運會火炬如圖（1）所示，小紅在數(shù)學建?；顒訒r將其抽象為圖（2）所示的幾何體.假設火炬裝滿燃料，燃燒時燃料以均勻的速度消耗，記剩余燃料的高度為，則關于時間的函數(shù)的大致圖象可能是（） A． B． C． D．變式訓練3．如圖，點在邊長為1的正方形上運動，設點為的中點，當點沿運動時，點經(jīng)過的路程設為，面積設為，則函數(shù)的圖象只可能是下圖中的（） A． B． C． D．考點五：指數(shù)型函數(shù)的實際應用例5．目前，新冠疫情形勢依然嚴峻，因防疫需要，某學校決定對教室采用藥熏消毒法進行消毒，藥熏開始前要求學生全部離開教室．已知在藥熏過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與藥熏時間t（小時）成正比：當藥熏過程結(jié)束，藥物即釋放完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達到最大值．此后，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時間t（小時）的）函數(shù)關系式為（a為常數(shù)）．已知從藥熏開始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關于時間t（小時）的變化曲線如圖所示．(1)從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數(shù)關系式；(2)據(jù)測定，當空氣中每立方米的藥物含量不高于毫克時，學生方可進入教室，那么從藥薰開始，至少需要經(jīng)過多少小時后，學生才能回到教室．變式訓練1．西湖龍井，中國十大名茶之一，屬綠茶，其產(chǎn)于浙江省杭州市西湖龍井村周圍群山，并因此得名，具有多年歷史．清乾隆游覽杭州西湖時，盛贊西湖龍井茶，把獅峰山下胡公廟前的十八棵茶樹封為“御茶”．其外形扁平挺秀，色澤綠翠，內(nèi)質(zhì)清香味醇，泡在杯中，芽葉色綠，而泡制龍井的口感與水的溫度有關：經(jīng)驗表明，在室溫下，龍井用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足．(1)求常數(shù)的值；(2)經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的龍井大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到分鐘）（參考數(shù)據(jù)：，，，）變式訓練（的單位：天）的Logistic模型：，其中為最大確診病例數(shù).已知目前疫情在該地區(qū)發(fā)生第53天，累計確診病例數(shù)達最大確診病例數(shù)的一半.(1)求的值；(2)為了切實保障人民群眾的基本生活需要，目前政府需要根據(jù)疫情發(fā)展部署進一步強化生活必需品市場供應保障的工作.請你根據(jù)上述Logistic模型預測：①第54天單日新增確診病例數(shù)；（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）②約多少天后累計確診病例數(shù)為最大確診病例數(shù)的99%？請說明理由.參考數(shù)據(jù)：，.變式訓練3．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度為，環(huán)境溫度為，那么經(jīng)過后物體的溫度（單位），科學家在建立實際生活中有廣泛應用需求的“物體冷卻模型”的過程中，通過大量的實驗對比，從冪函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型和對數(shù)函數(shù)模型中，篩選出指數(shù)模型：，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．(1)科學家最后確定了m，n這兩個系數(shù)為請你給出合理的解釋；(2)現(xiàn)有的水杯中的水，放在的環(huán)境溫度中冷卻，以后的溫度為，求的值（結(jié)果用對數(shù)表示，不要作近似計算）；(3)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經(jīng)驗表明，某種綠茶用的水泡制，等茶水降至時飲用，可以達到最佳飲用口感，那么在的環(huán)境溫度下，用的水泡制該綠茶，需要放置多少時間茶水才能達到最佳飲用口感？（單位：，最后結(jié)果取整數(shù)）．（注：本題取值）考點六：對數(shù)型函數(shù)的實際應用例6．候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進行大規(guī)模地遷徙,研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn),該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量M之間的關系為：，(其中a,b是實數(shù))，據(jù)統(tǒng)計，該種鳥類在靜止的時間其耗氧量為45個單位，而其耗氧量為105個單位時，其飛行速度為1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2m/s，則其耗氧量至少要多少個單位．變式訓練1．每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以用函數(shù)表示，v的單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)x0表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.(1)若，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位？（結(jié)果保留到整數(shù)位，參考數(shù)據(jù)：，）(2)若雄鳥的飛行速度為1.3km/min，雌鳥的飛行速度為0.8km/min，問雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍？變式訓練2．近年來，得益于我國先進的運載火箭技術，我國在航天領域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五號載人飛船搭載航天員費俊龍、鄧清明、張陸飛往中國空間站，與神舟十四航天員“會師”太空，12月4日晚神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲安全順利出艙，圓滿完成飛行任務.據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可用公式計算火箭的最大速度，其中是噴流相對速度，是火箭(除推進劑外)的質(zhì)量，是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知型火箭的噴流相對速度為.(1)當總質(zhì)比為時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術改進后，型火箭的噴流相對速度提高到了原來的倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技術改進前總質(zhì)比的最小整數(shù)值.（參考數(shù)據(jù):，，）變式訓練3．我們知道，聲音由物體的振動產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進行傳播.在物理學中，聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強I（W/cm2）.但在實際生活中，常用聲音的聲強級D（分貝dB）來度量，為了描述聲強級D（dB）與聲強I（W/cm2）之間的函數(shù)關系，經(jīng)過多次測定，得到如下數(shù)據(jù):組別1234567聲強I（W/cm2）10112×10113×10114×10111010①9×107聲強級D（dB）102040②現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:，，.(1)試根據(jù)第15組的數(shù)據(jù)選出你認為符合實際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值（參考數(shù)據(jù):；(3)已知煙花的噪聲分貝一般在，其聲強為；鞭炮的噪聲分貝一般在，其聲強為；飛機起飛時發(fā)動機的噪聲分貝一般在其聲強為，試判斷與的大小關系，并說明理由.【課堂小結(jié)】1．知識清單：(1)利用函數(shù)的相關圖象和性質(zhì)，確定復合函數(shù)的圖象；(2)應用已知函數(shù)模型解決實際問題；(3)指數(shù)型函數(shù)模型；(4)對數(shù)型函數(shù)模型．2．方法歸納：轉(zhuǎn)化法，數(shù)形結(jié)合法．3．常見誤區(qū)：實際應用題易忘記定義域和結(jié)論．【課后作業(yè)】1．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晩，烏龜還是先到達了終點…用、分別表示烏龜和兔子所行的路程，為時間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（） A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則的圖象大致為（） A． B． C． D．3．函數(shù)的部分圖像大致為（） A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致是（） A． B． C． D．5．已知，則的圖象大致為（） A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖像大致為（） A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象可能為（） A． B． C． D．8．嶺南古邑的番禺不僅擁有深厚的歷史文化底蘊，還聚焦生態(tài)的發(fā)展．下圖是番禺區(qū)某風景優(yōu)美的公園地圖，其形狀如一顆愛心．圖是由此抽象出來的一個“心形”圖形，這個圖形可看作由兩個函數(shù)的圖象構成，則“心形”在軸上方的圖象對應的函數(shù)解析式可能為（） A． B． C． D．9．某校學生社團心理學研究小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)注意力指數(shù)p與聽課時間t之間的關系滿足如圖所示的曲線．當時，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當時，曲線是函數(shù)(且)圖象的一部分．根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)p大于80時聽課效果最佳．(1)試求的函數(shù)關系式；(2)老師在什么時段內(nèi)講解核心內(nèi)容能使學生聽課效果最佳？請說明理由．10．某醫(yī)學研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在2h內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間（h）之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)的圖象，且.(1)寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關于時間的函數(shù)關系式；(2)據(jù)測定：每毫升血液中藥物含量不少于時治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上8點，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當天幾點鐘？(3)若按（2）中的最遲時間注射第二次藥物，則第二次注射后再過1.5h，該人每毫升血液中藥物含量為多少（參考數(shù)據(jù)：）？11，環(huán)境溫度是，那么分鐘后茶水的溫度（單位：）可由公式求得.現(xiàn)有某種剛泡好的紅茶，茶水溫度是，放在室溫的環(huán)境中自然冷卻，10分鐘以后茶水的溫度是.(1)求的值；(2)經(jīng)驗表明，當室溫為時，該種紅茶用的水泡制，自然冷卻至時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到）（附：參考值）12．某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.(1