第29頁/共29頁南京一中2023-2024學年度第一學期10月考試試卷高二數(shù)學一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一個選項符合題意.）1.復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.2.已知直線和互相垂直，則a的值為（）A.1 B. C. D.1或3.打靶時，甲命中目標的概率為0.8，乙命不中目標的概率為0.3．若兩人同時射擊，則他們同時命中目標的概率為（）A. B. C. D.4.在平面直角坐標系中，點關于直線的對稱點為（）A. B. C. D.5.已知F為拋物線C：x2=8y的焦點，P為拋物線C上一點，點M的坐標為，則周長的最小值是（）A. B. C.9 D.6.已知，，則（）A. B. C. D.7.斜率為k的直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓（x-5）2+y2=9相切于點M，且M為線段AB的中點，則k=（）A. B.C. D.8.已知圓O:，直線，點在直線上。若存在圓O上的點Q，使得(O為坐標原點)，則的取值范圍是（）A. B.[01] C. D.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.每題有多項符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.）9.甲袋中有個白球，個紅球，乙袋中有個白球，個紅球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取個球，則下列結論正確的是（）A.個球顏色相同的概率為 B.個球不都是紅球的概率為C.至少有個紅球的概率為 D.個球中恰有個紅球的概率為10.已知直線，則（）A.恒過定點 B.當時，不經(jīng)過第二象限C.與直線垂直 D.當時，點到的距離最大11.已知圓與圓交于A，B兩點，則（）A.直線AB與直線互相垂直 B.直線AB方程為C. D.線段AB的中垂線方程為12.如圖，正方體棱長為1，E是的中點，F(xiàn)是側面上的動點，且平面，下列說法正確的是（）A.F是軌跡長度為B.與是異面直線C.三棱錐外接球表面積的最大值為D.過A作平面與平面平行，則正方體在內(nèi)的正投影為正六邊形三、非選擇題：（本題共4小題，共20分.）13.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為________．14.已知平面向量，，則的值是___________.15.在平面內(nèi)，一只螞蟻從點出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．16.已知A?B?C是橢圓上的三個點，O為坐標原點，A?B兩點關于原點對稱，AC經(jīng)過右焦點F，若且，則該橢圓的離心率是___________.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，習近平總書記強調(diào)要“人民至上、生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學，停課不停教”的通知．為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保．某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．18.在平面四邊形中，，.（1）若，求的面積；（2）若，，，求.19.已知拋物線：()的焦點與雙曲線：右頂點重合.（1）求拋物線標準方程；（2）設過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，是拋物線的焦點，且，求直線的方程.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，點E為棱上的一點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角.21.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知等軸雙曲線的左頂點A，過右焦點F且垂直于x軸的直線與E交于B，C兩點，若的面積為．（1）求雙曲線E的方程；（2）若直線與雙曲線E的左，右兩支分別交于M，N兩點，與雙曲線E的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，求的取值范圍．22.已知為橢圓上一點，上、下頂點分別為、，右頂點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）點為橢圓上異于頂點的一動點，直線與交于點，直線交軸于點.求證：直線過定點.

南京一中2023-2024學年度第一學期10月考試試卷高二數(shù)學2023.09命題人:張軍利校對人:吳小軍審核人:吳小軍一、單項選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分.每題只有一個選項符合題意.）1.復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡已知復數(shù)z，由共軛復數(shù)的定義可得．【詳解】解：化簡可得，的共軛復數(shù)，故選：B．2.已知直線和互相垂直，則a的值為（）A.1 B. C. D.1或【答案】D【解析】【分析】利用直線垂直的公式計算即可.【詳解】直線和互相垂直,，解得或.故選：D.3.打靶時，甲命中目標的概率為0.8，乙命不中目標的概率為0.3．若兩人同時射擊，則他們同時命中目標的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設表示“甲擊中目標”，表示“乙擊中目標”，他們同時命中目標的概率是，由此能求出結果．【詳解】設表示“甲擊中目標”，表示“乙擊中目標”，兩人同時射擊一目標，，，他們同時命中目標的概率是．故選：A4.在平面直角坐標系中，點關于直線的對稱點為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設出點關于直線的對稱點的坐標，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可．【詳解】設點關于直線的對稱點是,則，解得：.故選：B．5.已知F為拋物線C：x2=8y的焦點，P為拋物線C上一點，點M的坐標為，則周長的最小值是（）A. B. C.9 D.【答案】B【解析】【分析】的周長最小，即求最小，過P做拋物線準線的垂線，垂足為,轉化為求最小，數(shù)形結合即可求解.【詳解】如圖：由已知，準線方程，在拋物線內(nèi)部，作準線于，準線于，所以，由拋物線定義知，當且僅當三點共線時取最小值，故周長的最小值是.故選：B6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，切化弦，結合兩角和的正弦公式分別求出的值，代入兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】因為，即，所以，因為，即，解得，因為，所以.故選：C【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式；考查運算求解能力；熟練掌握兩角和與差的正弦公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.7.斜率為k直線l與拋物線y2=4x相交于A，B兩點，與圓（x-5）2+y2=9相切于點M，且M為線段AB的中點，則k=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用“點差法”，求出直線斜率，再利用直線與圓相切的垂直性質(zhì)，即可求解.【詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則又兩式相減得，則.設圓心為C（5，0），則kOM=，因為直線l與圓相切，所以，解得，代入得，故選A.8.已知圓O:，直線，點在直線上。若存在圓O上的點Q，使得(O為坐標原點)，則的取值范圍是（）A. B.[0,1] C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意分析可得滿足，就能保證一定存在點，使得，由，帶入兩點間的距離公式可得，解不等式即可.【詳解】圓外又一點，圓上又一動點，在與圓相切時取得最大值，如果變長，那么可以獲得的最大值將變小，可以得知，當，且與圓相切時，，而當時，在圓上任意移動，恒成立，因此滿足，就能保證一定存在點，使得，否則，這樣的點是不存在的，點在直線，，即，，，解得，的取值范圍是.故選：A【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了基本運算求解能力，屬于中檔題.二、多項選擇題：（本題共4小題，每小題5分，共20分.每題有多項符合題意，全對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.）9.甲袋中有個白球，個紅球，乙袋中有個白球，個紅球，這些小球除顏色外完全相同.從甲、乙兩袋中各任取個球，則下列結論正確的是（）A.個球顏色相同的概率為 B.個球不都是紅球的概率為C.至少有個紅球的概率為 D.個球中恰有個紅球的概率為【答案】ACD【解析】【分析】分別計算出從甲袋和乙袋中任取個球，該球為白球或紅球的概率，然后利用獨立事件、互斥事件以及對立事件的概率公式可判斷各選項.【詳解】從甲袋中任取個球，該球為白球的概率為，該球為紅球的概率為，從乙袋中任取個球，該球為白球的概率為，該球為紅球的概率為.對于A選項，個球顏色相同的概率為，A對；對于B選項，個球不都是紅球的概率為，B錯；對于C選項，至少有個紅球的概率為，C對；對于D選項，個球中恰有個紅球的概率為，D對.故選：ACD.10.已知直線，則（）A.恒過定點 B.當時，不經(jīng)過第二象限C.與直線垂直 D.當時，點到的距離最大【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點斜式方程判斷A；結合當時，直線與軸交點橫坐標為判斷B；根據(jù)直線一般式的垂直判斷公式判斷C；根據(jù)直線與過點和的直線垂直時，點到的距離最大求解判斷D.【詳解】解：將直線整理變形得，對于A選項，由點斜式方程得直線過定點，故A錯誤；對于B選項，當時，直線與軸的交點橫坐標為，又直線過定點，所以直線不經(jīng)過第二象限，故B選項正確；對于C選項，由于恒成立，所以與直線垂直，故C選項正確；對于D選項，當直線與過點和的直線垂直時，點到的距離最大，此時，又因為直線的斜率為，故當時，點到的距離最大，故錯誤；.故選：BC11.已知圓與圓交于A，B兩點，則（）A.直線AB與直線互相垂直 B.直線AB的方程為C. D.線段AB的中垂線方程為【答案】ABD【解析】【分析】利用圓的幾何特征，易證直線AB的中垂線即直線，根據(jù)過兩個圓的公共點的圓系方程可求得公共弦AB所在直線方程，進而求出弦長.【詳解】因為A，B是兩個圓的公共點，所以，在線段AB的中垂線上，同理，也在線段AB的中垂線上，故A正確；所以直線即直線AB的中垂線，，，則直線的方程為，即，D正確；圓和圓的公共弦所在直線方程為，即，B正確；點到直線AB的距離為，則，C錯誤.故選：ABD.12.如圖，正方體的棱長為1，E是的中點，F(xiàn)是側面上的動點，且平面，下列說法正確的是（）A.F是軌跡長度為B.與是異面直線C.三棱錐的外接球表面積的最大值為D.過A作平面與平面平行，則正方體在內(nèi)的正投影為正六邊形【答案】ACD【解析】【分析】對A，取的中點，證明平面平面即可判斷；對B，根據(jù)當為與的交點時判斷即可；對C，分析到三棱錐的外接球的直徑與的外接圓直徑和構成直角三角形，進而得到當最小時三棱錐的外接球的直徑最大，進而求得外接球表面積即可；對D，直觀想象分析即可【詳解】分別取的中點，連接，如圖，平面，平面，平面，同理可得平面，又是平面內(nèi)的兩條相交直線，平面平面，而平面，平面，得點的軌跡是線段，長度為，故A正確；對B，當為與的交點時，與相交，故B錯誤；對C，易得到平面三棱錐的距離為定值，根據(jù)外接球的性質(zhì)可得，因為平面，故三棱錐的外接球的直徑與的外接圓直徑和構成直角三角形，設的外接圓直徑為，則，故當最小時三棱錐的外接球的直徑最大.因為為鈍角，故當最大時，最小，此時為中點，連接交于，可得為與的交點.此時，故，故，故，故三棱錐的外接球直徑平方，即三棱錐的外接球表面積最大值為，故C正確；對D，根據(jù)題意可得，過A作平面與平面平行，則正方體在內(nèi)的正投影為以的投影為頂點的正六邊形，故D正確；故選：ACD三、非選擇題：（本題共4小題，共20分.）13.以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為________．【答案】【解析】【詳解】雙曲線焦點(±4,0)，頂點(±2,0)，故橢圓的焦點為(±2,0)，頂點(±4,0)．答案：14.已知平面向量，，則的值是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件，由解得，再利用向量模的求法，計算即可求解.【詳解】由得，所以，所以，所以.故答案為：.15.在平面內(nèi)，一只螞蟻從點出發(fā)，爬到軸后又爬到圓上，則它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得點關于軸的對稱點為，結合圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圓，得圓心坐標，半徑為，求得點關于軸的對稱點為，可得.如圖所示，可得爬到的最短路程為.故答案為：16.已知A?B?C是橢圓上的三個點，O為坐標原點，A?B兩點關于原點對稱，AC經(jīng)過右焦點F，若且，則該橢圓的離心率是___________.【答案】##【解析】【分析】方法一：設橢圓的左焦點為，由條件證明四邊形為矩形，設，結合橢圓的定義求，，利用勾股定理列方程可得關系由此可求離心率.方法二：設，，由可得，由可得，結合點的坐標滿足橢圓方程列方程，消元可得關系由此可求離心率.【詳解】方法一：設橢圓的半焦距為，左焦點為，則因為兩點關于原點對稱，所以，又，所以，所以四邊形為矩形，設，因為，所以，由橢圓的定義可得，，在，，，，所以，所以，故，，在中，，所以，所以，所以離心率.故答案為：.方法二：設橢圓的半焦距為，點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為，點的坐標為，且①，②，②×4-①可得，，因為經(jīng)過右焦點，，所以，所以，故，所以，又，所以，因為，所以，又，所以，所以，所以，即，又，所以，所以離心率.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分）17.庚子新春，“新冠”病毒肆虐，習近平總書記強調(diào)要“人民至上、生命至上，果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學，停課不停教”的通知．為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保．某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．【答案】（1）人（2）平均數(shù)為，中位數(shù)為（3）【解析】【分析】（1）先根據(jù)各矩形的面積之和為1，求得a，再根據(jù)各層的人數(shù)比例抽取；（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解；（3）法一，分一人或二人獲優(yōu)秀，利用互斥事件和獨立事件的概率求解；法二：利用對立事件的概率求解.【小問1詳解】解：由，得，因為（人），（人）．所以不高于50分的抽（人）；【小問2詳解】平均數(shù)．因為在內(nèi)共有80人，則中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為；【小問3詳解】記“至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級”為事件A，則．答：至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為．法二：記“至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級”為事件A答：至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為．18.在平面四邊形中，，.（1）若，求面積；（2）若，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，從而利用三角形的面積公式可求得答案；（2）設，則，在中，由正弦定理可得，從而可求得，進而可求出【詳解】解：（1）在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，或(舍去)；所以.（2）設，則.在中，由正弦定理得，即，所以.因為，所以，..19.已知拋物線：()的焦點與雙曲線：右頂點重合.（1）求拋物線的標準方程；（2）設過點的直線與拋物線交于不同的兩點，，是拋物線的焦點，且，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解；（2）設，及直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，由判別式?韋達定理得出，，結合已知條件求出的值，即可求得直線的方程.【詳解】（1）由題設知，雙曲線的右頂點為，∴，解得，∴拋物線的標準方程為.（2）設，，顯然直線的斜率存在，故設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由得，即，∴，.又∵，，∴，∴，即，解得或，∴直線的方程為或.20.如圖，在四棱錐中，平面，，，，點E為棱上的一點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結交于點F，連結，由，結合，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）過點A作直線的垂線交的延長線于點G，連結，易證平面，得到即為直線與平面所成的角求解.【小問1詳解】證明：連結交于點F，連結，因為在底面中，，所以，又，則在中，，故，又因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】過點A作直線的垂線交的延長線于點G，連結，

因為平面，又平面，所以，，又因為，且，平面，所以平面，則即為直線與平面所成的角，又因為平面，所以，又在直角三角形中，，在直角