第25頁/共25頁海安中學(xué)2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級階段檢測（二）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.3.“”是“兩直線和互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過點；乙：該圓的圓心為；丙：該圓的半徑為5；丁：該圓經(jīng)過點．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是（）A甲 B.乙 C.丙 D.丁5.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.6.為橢圓：上一點，，則最小值為（）A.1 B. C. D.7.若方程有實數(shù)解，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.8.已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上有2個零點 D.在上單調(diào)遞增10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知點在圓上，則的值可能是B.已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為C.已知點是圓外一點，直線的方程是，則與圓相交D.若圓上恰有兩點到點距離為1，則的取值范圍是11.如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有（）A.P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為B.存在點P，使得平面平面C.的最小值為D.三棱錐外接球表面積最大值為12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.平面直角坐標系中，曲線C：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線C圍成的圖形的周長是；②曲線C圍成的圖形的面積是2π；③曲線C上的任意兩點間的距離不超過2；④若P（m，n）是曲線C上任意一點，的最小值是其中正確的結(jié)論為（）A.① B.② C.③ D.④三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線平行，則_________.14.在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足，（為坐標原點），則實數(shù)的取值范圍是________15.是坐標原點，是雙曲線右支上的一點，是的右焦點，延長分別交于兩點，已知，且，則的離心率為______．16.已知，是圓：上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知直線過點，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．（1）在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；（2）與兩條坐標軸在第一象限所圍成三角形面積最?。?8.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.（1）若2bcosC＝2a﹣c，求角B；（2）若，求證：tanC＝2tanA.19.如圖，拋物線的頂點在原點，圓的圓心恰是拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于、、、四點，求的值.20.已知圓的圓心在直線上，且截x軸的弦長為2，截y軸的弦長為.（1）求圓C的方程；（2）若一光線從點出發(fā)，經(jīng)直線反射后恰好與圓C相切，求反射光線所在的直線方程.21.已知橢圓C：的左右頂點分別為，，右焦點為，點在橢圓上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）為橢圓上不與重合的任意一點，直線分別與直線相交于點，求證：.22.已知雙曲線：右焦點為，左頂點為A，且，到C的漸近線的距離為1，過點的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點.（1）求雙曲線C的標準方程.（2）若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級階段檢測（二）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可求得集合B，根據(jù)集合的交集運算即得答案.【詳解】由題意，由于，故，故，所以，故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則及復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.“”是“兩直線和互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先由，求兩直線的斜率，再由兩直線垂直求的取值，根據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】當時，兩直線和的斜率分別為：和，所以兩直線垂直；若兩直線和互相垂直，則，解得：；因此“”是“兩直線和互相垂直”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查充分不必要條件的判定，熟記充分條件與必要條件的概念，以及兩直線垂直的判定方法即可，屬于基礎(chǔ)題型.4.在圓的方程的探究中，有四位同學(xué)分別給出了一個結(jié)論，甲：該圓經(jīng)過點；乙：該圓的圓心為；丙：該圓的半徑為5；?。涸搱A經(jīng)過點．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學(xué)是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】A【解析】【分析】假設(shè)乙、丙同學(xué)的結(jié)論正確，求出圓的方程，再依次檢驗丁的結(jié)論與甲的結(jié)論是否成立即可.【詳解】若乙、丙同學(xué)的結(jié)論正確，則該圓的方程為，當，時，成立，此時丁的結(jié)論正確，當，時，不成立，此時甲的結(jié)論錯誤.故選：A5.拋物線的焦點坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將拋物線化為標準方程可得焦點坐標.【詳解】拋物線標準方程為，其焦點坐標為故選：C.6.為橢圓：上一點，，則最小值為（）A1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角huany得，即可根據(jù)兩點距離公式求解.【詳解】設(shè)，則，由于，故當時，取最小值，故選：D7.若方程有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則可得表示的是雙曲線在時的部分曲線，即可將方程有實數(shù)解轉(zhuǎn)化為曲線與直線有交點，作出曲線，數(shù)形結(jié)合，結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，即可求得答案,【詳解】設(shè)，則，即表示的是雙曲線在時的部分曲線，如圖，則方程有實數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為曲線與直線有交點；當將直線平移至過點或由此將直線向上平移時，曲線與直線有交點，直線過點時，，直線向上平移時有，故此時；當將直線平移和曲線右側(cè)部分相切或由此將直線向下平移時，曲線與直線有交點，當直線和曲線右側(cè)部分相切時，聯(lián)立，得，令，結(jié)合圖象可知此時，將直線由相切位置向下平移時，和曲線右側(cè)部分相交，故，綜合可得，故選：C8.已知是橢圓的一個焦點，是短軸的一個端點，線段的延長線交橢圓于點，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可得焦點三角形的邊長，即可根據(jù)余弦定理以及二倍角公式求解.【詳解】不妨設(shè)橢圓方程為，橢圓另一焦點為，由于是短軸的一個端點，所以，又，所以，由橢圓定義可得,由于，所以，故，即，解得，故選：A二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，至少有兩項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.將曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.在上有2個零點 D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】先求出的解析式，即可判斷A;對于B:利用誘導(dǎo)公式直接證明；對于C:令，直接解方程即可得到答案；對于D：直接判斷單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到；再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，所以.故A錯誤.對于B:，而.因為，所以，即.故B正確；對于C:當時，令，解得：或.即在上有2個零點.故C正確；對于D：當時，，所以在上單調(diào)遞增.故D正確.故選：BCD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知點在圓上，則的值可能是B.已知直線和以為端點的線段相交，則實數(shù)的取值范圍為C.已知點是圓外一點，直線的方程是，則與圓相交D.若圓上恰有兩點到點的距離為1，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】A選項，令，則，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，即可判斷；B選項，易知直線過定點，結(jié)合斜率的坐標公式，即可判斷；C選項，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，以及直線與圓的位置關(guān)系，即可判斷；D選項，根據(jù)題意，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可判斷.【詳解】對于選項A，令，則，因為點在圓上，所以直線與圓有交點，因此圓心到直線的距離，解得或，故A正確；對于選項B，由，得，因此直線過定點，因為，，且，所以或，故B錯誤；對于選項C，圓的圓心直線的距離，因為點是圓外一點，所以，因此，即直線與圓相交，故C正確；對于選項D，到點的距離為1點在圓上，由題意可知，圓與圓相交，故圓心距，且，解得，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有（）A.P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為B.存在點P，使得平面平面C.的最小值為D.三棱錐外接球表面積最大值為【答案】AD【解析】【分析】連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，過D，P，Q三點的截面為梯形，然后計算即可得截面面積，可判斷A；假設(shè)存在，然后利用面面平行性質(zhì)定理推得，矛盾，可判斷B；利用側(cè)面展開圖可求得最小值，判斷C；利用補形法求外接球表面積即可判斷D.【詳解】A選項：連接，由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，，且，所以過D，P，Q三點的截面為梯形，易知，作，則，，所以梯形的面積，A正確；B選項：若存在點P，使得平面平面，則由平面平面，平面平面可知，顯然不平行，故B錯誤；C選項：將側(cè)面展開如圖，顯然當Q、P、D三點共線時，取得最小值，最小值為，C錯誤；D選項：由題知，兩兩垂直，所以三棱錐外接球，即為以為共頂點的三條棱的長方體的外接球，記其半徑為R，則，顯然，當點P與C重合時，取得最大值，此時外接球表面積取得最大值，D正確.故選：AD12.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學(xué)的真實美.平面直角坐標系中，曲線C：就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線C圍成的圖形的周長是；②曲線C圍成的圖形的面積是2π；③曲線C上的任意兩點間的距離不超過2；④若P（m，n）是曲線C上任意一點，的最小值是其中正確的結(jié)論為（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】對絕對值里面的進行分類討論，去掉絕對值；根據(jù)圖象曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，求出周長判斷①正確；可以知道曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，判斷②錯誤；由曲線C的圖象可知，曲線C上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，判斷③錯誤；利用點到直線距離判斷④正確.【詳解】當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；當時，曲線C的方程可化為；由圖可知，曲線C是四個半徑為的半圓圍成的圖形，即曲線C圍成的圖形的周長是，故①正確；曲線C所圍成的面積為四個半圓的面積與邊長為的正方形的面積之和，從而曲線C所圍成圖形的面積為，故②錯誤；由曲線C的圖象可知，曲線C上的任意兩點間的距離的最大值為兩個半徑與正方形的邊長之和，即，故③錯誤；因為到直線的距離為，所以，當d最小時，易知在曲線C第一象限內(nèi)的圖象上，因為曲線C的第一象限內(nèi)的圖象是圓心為，半徑為的半圓，所以圓心到的距離，從而，即，故④正確.故選：AD.【點睛】絕對值問題的處理思路：對絕對值里面的數(shù)的正負進行分類討論，去掉絕對值，從而確定方程，確定圖象.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.直線與直線平行，則_________.【答案】－2【解析】【分析】利用兩直線平行：斜率相等，縱截距不等即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，因為，所以，由，得到所以，即，解得，故答案為：.14.在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足，（為坐標原點），則實數(shù)的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】先設(shè)，根據(jù)，，得到，再由題意，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意設(shè)，因為點，，所以，整理得：①因為直線上存在點滿足，所以方程①有解，因此，解得.故答案為【點睛】本題主要考查兩點間距離公式的應(yīng)用，熟記公式即可，屬于?？碱}型.15.是坐標原點，是雙曲線右支上的一點，是的右焦點，延長分別交于兩點，已知，且，則的離心率為______．【答案】【解析】【分析】作雙曲線的左焦點為，由題意得四邊形是矩形，設(shè)，根據(jù)雙曲線定義，在直角中由勾股定理得，再在直角中根據(jù)勾股定理即可解決.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，由對稱性知是的中點，則四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是矩形，設(shè)，則，則，所以在直角中，，所以，解得：或（舍去），所以,因為在直角中，所以，得，解得.故答案為：16.已知，是圓：上的兩個不同的點，若，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】為和到直線距離之和的倍，是的中點到直線距離的倍，利用點軌跡，求取值范圍.【詳解】由題知，圓的圓心坐標，半徑為2，因為，所以．設(shè)為的中點，所以，所以點的軌跡方程為．點的軌跡是以為圓心半徑為的圓.設(shè)點，，到直線的距離分別為，，，所以，，，所以．因為點到直線的距離為，所以，即，所以．所以的取值范圍為．故答案為：【點睛】思路點睛：利用的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為為和到直線距離之和，再轉(zhuǎn)化為的中點到直線距離，由點軌跡是圓，可求取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知直線過點，根據(jù)下列條件分別求出直線的方程．（1）在軸、軸上的截距互為相反數(shù)；（2）與兩條坐標軸在第一象限所圍成的三角形面積最小．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）分直線過原點和不過原點兩種情況求直線方程；（2）寫出直線的截距式方程，代入點得，利用不等式即可求解取最值時的，．【小問1詳解】①當直線經(jīng)過原點時，在軸、軸上的截距互為相反數(shù)都等于0，此時直線的方程為，②當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)直線的方程為在直線上，，，即．綜上所述直線的方程為或【小問2詳解】由題意可知直線與兩坐標軸均交于正半軸，故設(shè)直線方程，將代入可得，故，故，當且僅當，即時等號成立，故此時面積最小為,故直線方程為，即18.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.（1）若2bcosC＝2a﹣c，求角B；（2）若，求證：tanC＝2tanA.【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡后可得角；（2）已知代入余弦定理得，再由正弦定理化邊為角，由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式變形后可證．【小問1詳解】∵,∴由正弦定理得，，，是三角形內(nèi)角，，，是三角形內(nèi)角，∴；【小問2詳解】∵，所以，即，∴，，，顯然，，因此是銳角，，顯然，所以．19.如圖，拋物線的頂點在原點，圓的圓心恰是拋物線的焦點.（1）求拋物線的方程；（2）一條直線的斜率等于2，且過拋物線焦點，它依次截拋物線和圓于、、、四點，求的值.【答案】（1）圓的圓心坐標為，即拋物線的焦點為,……3分∴∴拋物線方程為……6分1.由題意知直線AD的方程為…7分即代入得=0設(shè)，則，……11分∴【解析】【分析】（1）設(shè)拋物線方程為,由題意求出其焦點坐標，進而可求出結(jié)果；（2）先由題意得出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，求出，再由為圓的直徑，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)拋物線方程為，圓的圓心恰是拋物線的焦點，∴．拋物線的方程為：；（2）依題意直線的方程為設(shè)，，則，得，，．．【點睛】本題主要考查拋物線的方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系；由拋物線的焦點坐標可直接求出拋物線的方程；聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理和拋物線定義可求出弦長，進而可求出結(jié)果，屬于常考題型.20.已知圓的圓心在直線上，且截x軸的弦長為2，截y軸的弦長為.（1）求圓C的方程；（2）若一光線從點出發(fā)，經(jīng)直線反射后恰好與圓C相切，求反射光線所在的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由已知條件，