2022年陜西省西安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）設(shè)集合A={1,2,6）,B=[2,4},C={1,2,3,4},則（AU8）DC=（）

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.[1,2,3,4,6}

2.（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z=l-3i,則2（1—i）=（）

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4zD.4+2/

3.（5分）設(shè)向量a=（m,1）,b=（1,m）,如果a與b共線且方向相反，則m的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.（5分）命題p：VxGR,J?+1>0,命題g：30eR,sin20+cos20=1.5,則下列命題中真命

題是（）

A.pf\qB.fpf\qC.~^p\JqD.pNLq）

5.（5分）已知函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，則/（x）的解析式可以是（）

A./Q）=第B./（X）=Y

C-f（x）=^-lD.=

6.（5分）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開(kāi)幕.為保證冬奧會(huì)順利進(jìn)行,

組委會(huì)需要提前把各項(xiàng)工作安排好.現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

務(wù)，若甲去兩天，乙去三天丙和丁各去一天則不同的安排方法有（）

A.840種B.140種C.420種D.210種

7.（5分）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出

入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從。沿OD走到。用了2分鐘，

從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑

的長(zhǎng)度為（）

第1頁(yè)共23頁(yè)

c.5OVTTD.50V19

8.(5分)已知m、”為兩條不同的直線，a、0為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是

)

A.若，〃J_a,〃?_!_"，則"〃a

B.若,"J_a,〃〃。且a〃印則,〃_1_"

C.若，”ua,”ua且用〃樂(lè)nZ/p,則a〃0

D.若直線相、”與平面a所成角相等，則機(jī)〃〃

9.(5分)己知直線/：x+y-l=O將圓C：x2+y2-2x-4y+l=0分為M,N兩部分，且M

部分的面積小于N部分的面積.若在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在M部分的概率為()

111331

A.-B.---C.-D.---

4427r442n

10.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(1+x)?+/(1-x)=0,且/(-x)=f(x),當(dāng)

時(shí)，/(x)=2X-1,則/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

11.(5分)2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！

為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫

扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣

除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資

金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為()(單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確

到萬(wàn)元)(參考數(shù)據(jù)：1.24^2.07,1.25Q2.49)

A.83B.60C.50D.44

_X2V2

12.(5分)已知橢圓二十k=1的右焦點(diǎn)為尸(a0),上頂點(diǎn)為4(0,b),

n2TTT

直線上存在一點(diǎn)P滿足(FP+F4)dP=0，則橢圓的離心率取值范圍為()

A.,1)B.［孝，1)C.\~~2~'1)D.(0,孝］

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

第2頁(yè)共23頁(yè)

13.（5分）已知雙曲線C：鳥(niǎo)―4=1（〃>0,6>0）的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為

戾b

4,且焦距為10,則該雙曲線的漸近線方程為.

14.（5分）已知sina-cosa=&（0<a<7i）,則tana的值是.

15.（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝

品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為4怖的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正

方體的中心重合），若其中一個(gè)載面圓的周長(zhǎng)為4m則該球的表面積為.

16.（5分）關(guān)于函數(shù)/（x）=3sin（2xT）,下列結(jié)論正確的有個(gè).

①函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于直線了=巖對(duì)稱(chēng)：

27r

②函數(shù)/（工）的圖像關(guān)于點(diǎn)（/?,0）對(duì)稱(chēng)；

③函數(shù)f（x）在區(qū)間（一各，—）內(nèi)是增函數(shù)；

J■乙12

7T

④函數(shù)/（x）的圖像是函數(shù)y=3sin2x的圖像向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：

共60分。

17.（12分）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛的｝滿足即+i=之初陪士.

（1）證明：數(shù)列｛翳｝是等差數(shù)列.

（2）令bn=a〃+n,求數(shù)列｛瓦｝的前n項(xiàng)和Sn.

第3頁(yè)共23頁(yè)

18.（12分）某科研機(jī)構(gòu)為了研究喝酒與糖尿病是否有關(guān)，對(duì)該市3名成年男性進(jìn)行了問(wèn)卷

調(diào)查，并得到了如下列聯(lián)表，規(guī)定“平均每天喝100〃也以上的”為常喝.已知在所有的

4

30人中隨機(jī)抽取1人，患糖尿病的概率為

（1）請(qǐng)將如表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明

理由;

（II）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有兩名老年人，其余為中年人，現(xiàn)從常喝酒且

有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

9

7i(ad—be)

參考公式及數(shù)據(jù)：K2=

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

p0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

to2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

第4頁(yè)共23頁(yè)

19.（12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABC3-481C131中，E、尸分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)，CF

=AB=2CE,AB：AD：A4=l：2：4,AB=\.

(I)證明：AF，平面AiE￡＞；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

第5頁(yè)共23頁(yè)

1

20.(12分)已知函數(shù)/(x)—Inx,g(x)=_6x,h(x)=3。/.

(I)設(shè)F(x)—g(x)+8/(x),求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間；

(H)設(shè)4(x)=h(x)-/(x)-1,當(dāng)函數(shù)4(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

第6頁(yè)共23頁(yè)

21.(12分)已知曲線C：)，='，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A,B.

(1)證明：直線A3過(guò)定點(diǎn).

(2)若以E(0,|)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段48的中點(diǎn)，求該圓的

方程.

第7頁(yè)共23頁(yè)

(二)選考題：共10分?？忌鷱?2、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

(x=1+卓t,

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為,12(7為參數(shù))，

以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=

2cosO+4sin0.

(I)寫(xiě)出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(II)直線/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P(l,0),求解|+|PB|.

第8頁(yè)共23頁(yè)

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)，(x)=|2x+l|-\x-1|.

(1)解不等式/(x)<2；

(2)若不等式依-1|可(x)+|x-l|+|2x-3|有解，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

第9頁(yè)共23頁(yè)

2022年陜西省西安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.(5分)設(shè)集合4={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},則(AUB)nc=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

解：?.?集合A={1,2,6},B={2,4],C={1,2,3,4),

:.(AUB)DC={1,2,4,6}0{1,2,3,4}={1,2,4).

故選：B.

2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=l-3i,則2(l-i)=()

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4/D.4+2z

解：：z=l-3i,；.z的共匏復(fù)數(shù)是2=l+3i,

Az(l-i)=(l+3z)(1-/)=1-i+3i-3P=4+2i.

故選：D.

3.(5分)設(shè)向量a=(zn,1),￡>=(Lm),如果a與b共線且方向相反，則m的值為()

A.-1B.1C.-2D.2

解析：因?yàn)橄蛄?；與了共線且方向相反，

故由共線向量定理可設(shè);=記(A<0),

即解得機(jī)=±1,

(.1=Am

由于入<0,：.m^-1,

故選：A.

4.(5分)命題p：VxGR,/+1>0,命題q：30GR,sin20+cos20=1.5,則下列命題中真命

題是()

A.p/\qB.-'p/\qC.「p\tqD.pN'q)

解：命題p：由于對(duì)已知?jiǎng)t/+l2l>0,

則命題p：VxGR,?+l>0,為真命題，「p為假命題；

命題<?：由于對(duì)veeR,5也2。+(；0$2。=1,

則命題q：306R,sin%+cos%=1.5為假命題，"""q為真命題.

第10頁(yè)共23頁(yè)

則。八八Wq、「pVq為假命題，pNLq）為真命題.

故選：D.

5.（5分）已知函數(shù)/（x）的圖像如圖所示，則/（x）的解析式可以是（）

A./。）=也

B./(x)=y

C-/(x)=^-lD./(x)=x--

解：根據(jù)題意，用排除法分析：

對(duì)于8,f（x）=§,當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=號(hào)>0,與圖象不符，

對(duì)于C,f（x）=妥一1，其定義域?yàn)閃W0｝，有/（-X）=/（x），為偶函數(shù)，與圖象

不符；

對(duì)于O,/（x）=x-1,其定義域?yàn)椋鹸|xW0｝,當(dāng)X-+8時(shí)，f（x）-+oo,與圖象不符:

故選：A.

6.（5分）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開(kāi)幕.為保證冬奧會(huì)順利進(jìn)行,

組委會(huì)需要提前把各項(xiàng)工作安排好.現(xiàn)要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

務(wù)，若甲去兩天，乙去三天丙和丁各去一天則不同的安排方法有（）

A.840種B.140種C.420種D.210種

解：由已知，甲的安排方法為第，乙的方法為壅，剩余的兩天安排丙丁有題種方法，

故共有俁*/=420.

故選：C.

7.（5分）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120。的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出

入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從0沿0D走到。用了2分鐘，

從。沿著0c走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑

的長(zhǎng)度為（）

第11頁(yè)共23頁(yè)

c.5OVTTD.50V19

解：設(shè)該扇形的半徑為「米，連接co.

由題意，得C￡>=150（米），。。=100（米），ZCDO=60°,

在△COO中，CD2+OD2-2CD-OD'cos600=O&

即,1502+1002-2X150X100X1=r2,

解得r=50V7（米）.

8.(5分)已知〃?、"為兩條不同的直線，a、0為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是

()

A.若〃?J_a,加_1_〃，則”〃a

B.若"?J_a,”〃0且&〃0,則機(jī)J_”

C.若mua,”ua且〃?〃0,”〃仇則?！?

D.若直線n與平面a所成角相等，則m//n

如圖可否定A；

第12頁(yè)共23頁(yè)

c如圖可否定c；

如圖可否定￡)：

故選：B.

9.(5分)已知直線/：x+y-l=O將圓C：/+y2-2x-4y+l=0分為M,N兩部分，且M

部分的面積小于N部分的面積.若在圓C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在M部分的概率為()

111331

A.-B.---C.-D.---

4427r442n

解：圓C：/+>2-2x-4y+l=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x-1)2+(y-2)2=4,

所以圓。的圓心C(l,2),半徑為r=2,

直線/：x+y-1=0,

點(diǎn)C到直線/的距離為仁意=

設(shè)直線/與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,

故48=2Vr2—d2=2A/2,

所以NACB=90°,

故SM=4s圓一S〉A(chǔ)CB=兀-2，

則該點(diǎn)落在M部分的概率為羋=——=；-

S倒47r42n

故選：B.

10.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足f(1+x)4/(1-%)=0,且/(-x)=f(x),當(dāng)1<xW2

時(shí)，/(x)=2X-1,則/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

第13頁(yè)共23頁(yè)

解:V/(l+X)4/(17)=0,

：.f(1-X)=-/(1+x),

???/(-X)=-/(2+x)

又?"(-x)=f(x),

:?于(x)=-/(x+2),即/(x+2)=-f(x),

.\f(x+4)=/[(x+2)+2]=--(x+2)=f(x),

???T=4,

?V(2021)=/(1)=2-1=1.

故選：C.

11.(5分)2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！

為進(jìn)步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫

扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金500萬(wàn)元，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到20%.每年年底扣

除下一年必須的消費(fèi)資金后，剩余資金全部投入再生產(chǎn)為了實(shí)現(xiàn)5年后投入再生產(chǎn)的資

金達(dá)到800萬(wàn)元的目標(biāo)，每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金至多為()(單位：萬(wàn)元，結(jié)果精確

到萬(wàn)元)(參考數(shù)據(jù)：114~2.07,1.25^2.49)

A.83B.60C.50D.44

解：設(shè)每年應(yīng)扣除的消費(fèi)資金為x萬(wàn)元，

則1年后投入再生產(chǎn)的資金為：500(1+20%)-x,

2年后投入再生產(chǎn)的資金為：[500(1+20%)-x](l+20%)-x=500(l+20%)2-(1+20%)

X-X,

5年后投入再生產(chǎn)的資金為：

500(1+20%)5-(1+20%)4x-(1+20%)3x-(1+20%)2x-(1+20%)x-x=800,

“1.25-lq

故-------x=500x1.25-800,解得x^60.

1.2-1

故選：B.

x2y2

12.(5分)已知橢圓=+77=1(〃>b>0)的右焦點(diǎn)為尸(c,0),上頂點(diǎn)為A(0,b),

azb2

TTT

直線x=3?上存在一點(diǎn)P滿足(FP+FA)-AP=0,則橢圓的離心率取值范圍為()

A.g,1)B.[-^/1)C.t1)D.(0/

第14頁(yè)共23頁(yè)

,、IG,TTT,TT"4

解：設(shè)P(一,y),由(FP+凡4)?AP=0,則FP+FA=(--c,y)+(-c")=(—-2c,

ccc

ta2

y+b),AP=(一,y-b),

TTT2

所以由("+")?”=(),可得：("一2。)n(y+6)(y-b)=0,

可得：二-2/-廿=-/wo,整理可得：a4-2a2?-(a2-c2)c2<0,BP?-3e2+l<

0,

3-^534-75

解得:<^2<

2

即西Tvv店+1

即h-e-

y/S—1

由于橢圓的離心率小于i,所以h土<1,

故選：c.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知雙曲線C：今一/=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為

4,且焦距為10,則該雙曲線的漸近線方程為」=±gx_.

解：*.?雙曲線C；”髀1（a>0,心0）,

漸近線方程為y=土，x,

由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)y=，x,

?.?焦距為10,

...右焦點(diǎn)為（5,0）,

產(chǎn)I

=4,解得〃=4,

y/a2+b2

，漸近線方程為）

故答案為：y=±,%.

14.(5分)已知sina-cosa=或(0<a<n),則tana的值是-1

解：*.*sina-cosa=V2sin(a—彳)=V2,

sin(a—彳)=1,

VaG(0,IT),

第15頁(yè)共23頁(yè)

?7T7Turt37r

??a-4=2'即。=彳，

則tana=-1.

15.（5分）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝

品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正

方體的中心重合），若其中一個(gè)載面圓的周長(zhǎng)為4m則該球的表面積為64TT.

解：由于球心和正方體的中心重合,

BC=今x4V3=2V3,

所以球的半徑R=48=J22+（2V3）2=4,

故S呼=4?7T-42=647r.

故答案為：64n.

16.（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）=3sin（2x-9,下列結(jié)論正確的有①②③個(gè).

①函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于直線犬=若對(duì)稱(chēng)；

2TC

②函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（W，0）對(duì)稱(chēng)；

③函數(shù)/（X）在區(qū)間（一務(wù)—）內(nèi)是增函數(shù)；

71

④函數(shù)/（x）的圖像是函數(shù)y=3sin2x的圖像向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度得到的.

解：由于當(dāng)犬=^^時(shí)，f（x）=3?sin（2x^^一為）=3?sin*=-3,是函數(shù)的最值,

第16頁(yè)共23頁(yè)

故函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線元=淺對(duì)稱(chēng)；故①正確.

由于當(dāng)天=等時(shí)，/(x)=3*sin(2x等一號(hào))=3?sinir=0,故函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)

(W，0)對(duì)稱(chēng)；故②正確；

1*77'ITC-IT

在區(qū)間(-各—)上，(一沙-),故函數(shù)f(x)在區(qū)間(一各—)上是增

函數(shù)，故③正確；

TT7T

把函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)/(x)=3sin(2r-J)的圖象，

故④錯(cuò)誤，

故答案為：①②③.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：

共60分。

17.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛”“｝滿足an+i=義卓捍二.

(1)證明：數(shù)列｛賢｝是等差數(shù)列.

(2)令加=?！?〃,求數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和求.

(1)證明：依題意，由廝+1=符普工，可得

5+1)*1_nan,

~2?+i-~'

..lai,

卞=1，

???數(shù)列｛賢｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

..玄=\+n-\-n,

?=2",〃EN*.

(2)解:由(1)知，hn==〃+2”.

S〃="+歷+…+加

=(1+21)+(2+22)+…+("+2")

=(1+2+…+〃)+(21+22+-+2,!)

n(n+l)2-2n+1

=-2-+1-2

第17頁(yè)共23頁(yè)

=2e+分尸+會(huì)-2.

18.(12分)某科研機(jī)構(gòu)為了研究喝酒與糖尿病是否有關(guān)，對(duì)該市3名成年男性進(jìn)行了問(wèn)卷

調(diào)查，并得到了如下列聯(lián)表，規(guī)定“平均每天喝100〃人以上的”為常喝.已知在所有的

4

30人中隨機(jī)抽取1人，患糖尿病的概率為二.

常喝不常喝合計(jì)

有糖尿病6

無(wú)糖尿病18

合計(jì)30

(I)請(qǐng)將如表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(II)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有兩名老年人，其余為中年人，現(xiàn)從常喝酒且

有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

參考公式及數(shù)據(jù):五可選蹤品e“a+b+c+d_

P（犬20.150.100.050.0250.0100.0050.001

氐）

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

4

解：⑴30X金=8

故糖尿病患者總計(jì)有8名，其中常喝酒的有8-2=6名，

2X2列聯(lián)表如下：

常喝不常喝合計(jì)

有糖尿病628

無(wú)糖尿病41822

合計(jì)102030

2

：2“8.523>7.898,

'K=3嚷XUXZUX襄oXZZ

.?.有99.5%的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān).

(2)由題意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，則中年人為4人,

現(xiàn)從常喝酒且有糖尿病的這6人中隨機(jī)抽取2人，

第18頁(yè)共23頁(yè)

故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率p=呼=4

19.(12分)如圖，在長(zhǎng)方體A3C￡>-Ai8iCj￡>i中，E、尸分別是棱8C、CCi上的點(diǎn)，CF

=AB=2CE,AB：AD；M=l：2：4,AB=1.

(I)證明：AFL平面4ED；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

(/)證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB=\,

3

則D(0,2,0),F(1,2,1),Ai(0,0,4),E(1,一，0).

2

TT1T3T

AF=(1,2,1),ED=(-1,0),EA=(-1,-,4),FD=(-1,0,-1).

2X12

于是6=-1-3+4=0,AF-ED=-1+1=0.

因止匕，AF±EAi,AFLED.

又EAiCED=E,.?.4￡1平面4￡；￡＞；

(ID解：設(shè)平面EF。的法向量￡=(x,y,z),

則「住二一"，取z=-1.可得以=(1,2,-1),

[n-ED=-x+2y=0

由(1)可知，而為平面4ED的一個(gè)法向量，

二面角Ai-ED-F的余弦值為3

第19頁(yè)共23頁(yè)

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=基2_6%,h(x)=3aex.

(I)設(shè)尸(x)=g(x)+8/(x),求函數(shù)尸(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)“(x)=h(x)-f(x)-1,當(dāng)函數(shù)H(x)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：(I)因?yàn)槭?x)=g(x)+8/(x)=寺無(wú)2-6x+其定義域?yàn)?0,+°0),

所以如)=X-6+*號(hào)比=(久-2y-4),

當(dāng)在(0,2)U(4,+8)時(shí)尸(無(wú))>0；當(dāng)xe(2,4)時(shí)/(x)<0,

所以函數(shù)尸(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和(4,+8)；

函數(shù)尸(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4).

(II)因?yàn)镠(x)=h(x)-f(x)-1=3aex-Inx-1,

所以函數(shù)”(x)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程3a/-lnx-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

即函數(shù)y=3a的圖象與函數(shù)y=曙■的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

令。(久)=寫(xiě)史，其定義域?yàn)?0,+8),則G'(x)=莖學(xué)二，

令G(%)=0,解得x=l.

易知當(dāng)xe(0,1)時(shí)，G(x)>0；當(dāng)(1,+8)時(shí)，G(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

1

所以G(%)g=G⑴=3

又當(dāng)尸*+8時(shí)，G(x)f0；當(dāng)%-*0時(shí)，G(%)-8,

所以當(dāng)函數(shù)y=3a的圖象與函數(shù)y=唱匚的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<3aV；,

第20頁(yè)共23頁(yè)

所以。VaV全,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,打

21.(12分)已知曲線C：y=y,D為直線)=一4上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)。作C的兩條切線，切點(diǎn)

分別為A,B.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn).

(2)若以E(O,|)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的

方程.

1c

(1)證明：設(shè)。(f,一])，A(xi,yi),則為/=2y1，

由于y'=x,?,?切線D4的斜率為xi,故---^=/，

x^—t

整理得:2m-2yi+l=0.

設(shè)B(X2,”)，同理可得2/X2-2*+1=0.

故直線AB的方程為2fx-2y+]=0.

1

直線A8過(guò)定點(diǎn)(0,-)；

⑵解：由(1)得直線A8的方程y=a+；.

y=tx4-i

%2，可得--2a-1=0.

{y透

2

于是+%2=2a%+乃=t(》i+X2)+1=2t+1.

設(shè)M為線段4B的中點(diǎn)，則M(f,12+分，

由于而京=(t,t2-2),易與向量(1,f)