專題10二次函數(shù)的新定義問題專訓(xùn)【精選最新30道二次函數(shù)的新定義問題】1．（2023·廣西柳州·校聯(lián)考二模）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小騰同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫出下列四個(gè)結(jié)論：其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(﹣1，0)和(3，0)；②當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；③當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值是4；④函數(shù)與直線y＝m有4個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是0＜m＜4．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考二模）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)（為常數(shù)）在的圖像上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A叫做“整點(diǎn)”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整點(diǎn)”．拋物線y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）與x軸交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，若該拋物線在M、N之間的部分與線段MN所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜04．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義一種運(yùn)算“”為：，有下列命題：①；②方程的根為：；③不等式組的解集為：；④點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．其中正確的是（

）A．①②③④ B．①③ C．①②③ D．③④5．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考二模）定義一種新運(yùn)算：，下列說法：①若，則，；②若，則該不等式的解集為；③代數(shù)式取得最小值時(shí)，；④函數(shù)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023春·重慶永川·九年級(jí)重慶市永川萱花中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若一列數(shù)含有n個(gè)數(shù)，除第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)外，其余每個(gè)數(shù)都等于與它相鄰的兩個(gè)數(shù)之和，則稱這列數(shù)為“n級(jí)浪花數(shù)”．比如一列數(shù)為5，7，2，-5，滿足，，所以5，7，2，-5為四級(jí)浪花數(shù)．根據(jù)定義給出下列四個(gè)結(jié)論：①12，3，a為三級(jí)浪花數(shù)，則a的值為-9②若四級(jí)浪花數(shù)中第1個(gè)數(shù)為1，則這列數(shù)的積的最大值可能為③任意組100級(jí)浪花數(shù)，第36個(gè)數(shù)和第63個(gè)數(shù)一定互為相反數(shù)④2022級(jí)浪花數(shù)中的所有數(shù)之和為0下列說法正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2023·湖南岳陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）定義：對(duì)于已知的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x≥0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等；當(dāng)x＜0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值互為相反數(shù)，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：正比例函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為．已知點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，連接MN，若線段MN與二次函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則n的取值范圍為（

）A．或 B．或C．或 D．或8．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)圖形給出如下定義：若圖形上的所有點(diǎn)都在以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角的內(nèi)部或邊界上，在所有滿足條件的角中，其度數(shù)的最小值稱為圖形的坐標(biāo)角度，例如，如圖中的矩形的坐標(biāo)角度是90°．現(xiàn)將二次函數(shù)的圖象在直線下方的部分沿直線向上：翻折，則所得圖形的坐標(biāo)角度的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值之和叫做點(diǎn)的勾股值，記．若拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，已知點(diǎn)在第一象限，且，令，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點(diǎn)，點(diǎn)，則互異二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn)時(shí)的最大值和最小值分別是（

）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-111．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）我們定義一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．已知某“鵲橋”函數(shù)過兩點(diǎn)．關(guān)于下列結(jié)論：①圖像具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值是；③當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；④當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．12．（2023·云南昭通·統(tǒng)考二模）如下圖，正方形ABCD的邊AB在x軸上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定義：若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形ABCD的“友好拋物線”．若拋物線y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值為．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n都有，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運(yùn)算．例如：．根據(jù)以上知識(shí)解決問題：（1）若x☆3=1，則x的值為．（2）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（3）若的值小于0，則方程有個(gè)根．14．（2022秋·上海浦東新·九年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：直線與拋物線兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱作拋物線關(guān)于直線的“割距”，如圖，線段MN長(zhǎng)就是拋物線關(guān)于直線的“割距”．已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B恰好是拋物線的頂點(diǎn)，則此時(shí)拋物線關(guān)于直線y的割距是．15．（2022·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時(shí)，點(diǎn)(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于；③當(dāng)m＜0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨x的增大而減??；④當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸兩交點(diǎn)組成的三角形為等腰直角三角形，則，正確的結(jié)論是．（填寫序號(hào)）16．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，當(dāng)x<0時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為．拋物線與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），頂點(diǎn)為E，點(diǎn)P在該拋物線上．若點(diǎn)P的變換點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，且四邊形ECP′D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為．17．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)校考期末）定義：為二次函數(shù)（）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為的二次函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是軸；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過原點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值；④如果，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．18．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考一模）（定義[a,b,c]為函數(shù)的特征數(shù),下面給出特征數(shù)為[2m,1－m,－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m＝－3時(shí),函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（,）;②當(dāng)m>0時(shí),函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)度大于;③當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)在時(shí),y隨x的增大而減小;④當(dāng)m≠0時(shí),函數(shù)圖象經(jīng)過x軸上一個(gè)定點(diǎn)．其中正確的結(jié)論有．（只需填寫序號(hào)）19．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）我們定義：關(guān)于x的函數(shù)y=ax2+bx與y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互為交換函數(shù)．如y=3x2+4x與y=4x2+3x是互為交換函數(shù)．如果函數(shù)y=2x2+bx與它的交換函數(shù)圖象頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，那么b=．20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算“”：ab=；若關(guān)于x的方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則t的值為．21．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于某函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P，先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q也在該函數(shù)圖象上，則稱點(diǎn)P為該函數(shù)圖象的“n倍平點(diǎn)”．(1)函數(shù)①；②；③中，其圖象存在“2倍平點(diǎn)”的是_______（填序號(hào)）；(2)若反比例函數(shù)，圖象恰有1個(gè)“n倍平點(diǎn)”，求n的值；(3)求函數(shù)圖象的“3倍平點(diǎn)”的坐標(biāo)．22．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）定義：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的兩個(gè)二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù)．例如：的友好同軸二次函數(shù)為．(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為__________．其友好同軸二次函數(shù)為__________．(2)已知二次函數(shù)（其中且且），其友好同軸二次函數(shù)記為．①若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)小于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），求線段的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為8，求a的值．23．（2021春·貴州貴陽(yáng)·九年級(jí)貴陽(yáng)市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）定義：同時(shí)經(jīng)過x軸上兩點(diǎn)，的兩條拋物線稱為同弦拋物線．如拋物線：與拋物線：是都經(jīng)過，的同弦拋物線．(1)任意寫出一條拋物線的同弦拋物線．(2)已知拋物線是的同弦拋物線，且過點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值．24．（2023春·江蘇鹽城·九年級(jí)?？计谥校┒x：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，稱兩個(gè)不同的點(diǎn)和為“反射對(duì)稱點(diǎn)”、如：點(diǎn)（1，3）和（-3，-1）是一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)：①；②；③，其中圖像上存在，“反射對(duì)稱點(diǎn)”的是________（填序號(hào)）(2)直線與反比例函數(shù)的圖像在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，點(diǎn)P和點(diǎn)Q為一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”，若，求k的值；(3)拋物線上是否存在一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”？如果存在，求出這一對(duì)“反射對(duì)稱點(diǎn)”所連線段的中點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．25．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校?duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上邊界值；對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足，且在所有滿足條件的N中，其最大值稱為這個(gè)函數(shù)的下邊界值；若一個(gè)函數(shù)既有上邊界值又有下邊界值，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，其上邊界與下邊界的差稱為邊界差．例如，圖中的函數(shù)上邊界值是，下邊界值是．所以這個(gè)函數(shù)是“有界函數(shù)”，邊界差為．(1)在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“有界函數(shù)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面的括號(hào)中打“√”，不是“有界函數(shù)”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函數(shù)（為常數(shù)，且），當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的邊界差為2，求的值；(3)若關(guān)于x的函數(shù)（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其邊界差為1，求t的值．26．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）【概念認(rèn)識(shí)】城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到目的地，只能按直角拐彎的方式行走．我們可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)和，用以下方式定義兩點(diǎn)間的“折線距離”：．

【數(shù)學(xué)理解】(1)①已知點(diǎn)，則___________；②函數(shù)的圖象如圖（1），是圖象上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________；(2)函數(shù)的圖象如圖（2），該函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出其坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【拓展運(yùn)用】(3)函數(shù)的圖象如圖（3），是圖象上一點(diǎn)，求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．27．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足（其中，a為常數(shù)），則稱點(diǎn)P為函數(shù)圖象的“a級(jí)和點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)為反比例函數(shù)圖象的“1級(jí)和點(diǎn)”，則______，______；(2)若時(shí)，直線上有“a級(jí)和點(diǎn)”，求k的取值范圍；(3)若拋物線的“a級(jí)和點(diǎn)”恰有一個(gè)，求a的取值范圍．28．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校聯(lián)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和．給出如下定義：如果，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”．例如點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)，點(diǎn)的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)．(1)若直線上點(diǎn)M的“沉毅點(diǎn)”是，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若雙曲線上點(diǎn)P的“沉毅點(diǎn)”為點(diǎn)Q，且=4，求k的值；(3)若點(diǎn)P在函數(shù)上，其“沉毅點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是，結(jié)合圖象寫出的取值范圍．29．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“等值點(diǎn)”，例如：點(diǎn)是函數(shù)的圖像的“等值點(diǎn)”．(1)分別判斷函數(shù)，的圖像上是否存在“等值點(diǎn)”？如果存在，求出“等值點(diǎn)”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；(2)設(shè)函數(shù)，的圖像的“等值點(diǎn)”分別為點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的值；(3)若函數(shù)的圖像記為，將其沿直線翻折后的圖像記為，當(dāng)，兩部分組成的圖像上恰有個(gè)“等值點(diǎn)”時(shí)，直接寫出的取值范圍．30．（2023春·湖南長(zhǎng)沙