專題5-1平面向量中的高頻小題歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u專題5-1平面向量中的高頻小題歸類 1 1題型一：平面向量的線性運(yùn)算 1題型二：向量數(shù)量積問(wèn)題（含最值，范圍問(wèn)題） 5題型三：向量的夾角 18題型四：向量模（含最值，范圍問(wèn)題） 22題型五：平面向量的平行與垂直問(wèn)題 29題型六：三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系 33 41一、單選題 41二、多選題 48三、填空題 50四、雙空題 52題型一：平面向量的線性運(yùn)算【典例分析】例題1．（2022·河南開封·一模（文））已知SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：A例題2．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】根據(jù)題意可得點(diǎn)G為△SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0．故選：A.例題3．（2022·四川資陽(yáng)·一模（理））如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0的直徑的半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0的直徑的半圓的兩個(gè)三等分點(diǎn)則SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0又SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A.【提分秘籍】平面向量的線性運(yùn)算主要工具是向量的加，減法：向量加法法則：①三角形法則(首尾相接，首尾連）：SKIPIF1<0.②平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）：SKIPIF1<0向量減法法則：(共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·河北容城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.2．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】SKIPIF1<0故選：B.3．（2022·寧夏·石嘴山市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在等邊SKIPIF1<0中，O為重心，D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】O為SKIPIF1<0的重心，延長(zhǎng)AO交BC于E，如圖，E為BC中點(diǎn)，則有SKIPIF1<0，而D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））在SKIPIF1<0中，D為AC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D題型二：向量數(shù)量積問(wèn)題（含最值，范圍問(wèn)題）【典例分析】例題1．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于不同兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若平面上一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，且點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0外，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，所以SKIPIF1<0，由數(shù)量積的定義可得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選:C.例題2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上的任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】法一：設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為x，y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A．例題3．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓SKIPIF1<0的半徑為2，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【答案】C【詳解】取EF的中點(diǎn)M，連接CM，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線同向時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值22；向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線反向時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值6，故選：C．例題4．（2022·上海松江·二模）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在正方形SKIPIF1<0的邊上，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.綜上可得，SKIPIF1<0，故選：C例題5．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（理））已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0分別切于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．1 C．-1 D．0或1【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又兩條切線過(guò)切點(diǎn)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的兩實(shí)根，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0.故選：A【提分秘籍】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義（包括向量數(shù)量積幾何意義）（2）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算（自主建系，只要題目有可以建系的條件，可通過(guò)建系法求解）；（3）利用向量三角不等式SKIPIF1<0（同號(hào)同向取等號(hào)；異號(hào)反向取等號(hào)）例如：SKIPIF1<0中間的連接號(hào)都是“SKIPIF1<0”，記憶口訣：同號(hào)則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向不等式SKIPIF1<0取到等號(hào)；在不等式SKIPIF1<0中，中間的連接號(hào)“SKIPIF1<0”和“SKIPIF1<0”，記憶口訣：異號(hào)則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向不等式SKIPIF1<0取到等號(hào)；【變式演練】1．（2022·四川·射洪中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0垂直平分線SKIPIF1<0上任一異于SKIPIF1<0的點(diǎn)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．7 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為直角三角形，所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為線段SKIPIF1<0垂直平分線SKIPIF1<0上任一異于SKIPIF1<0的點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：C2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．9 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A．3．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為4，圓SKIPIF1<0的圓心為該正六邊形的中心，圓SKIPIF1<0的半徑為2，圓SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均為邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0位于正六邊形SKIPIF1<0的頂點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D.4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：C5．（2022·四川·成都七中一模（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是_____________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由題知，SKIPIF1<0三點(diǎn)共圓，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)形結(jié)合可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0綜上，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<06．（2022·上海崇明·一模）在邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】正六邊形ABCDEF中，過(guò)點(diǎn)B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<07．（2022·安徽·全椒縣第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））騎自行車是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓SKIPIF1<0（前輪），圓SKIPIF1<0（后輪）的半徑均為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過(guò)程中，SKIPIF1<0的最大值為______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】方法一：以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸負(fù)半軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，可設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0.方法二：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同向，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值為SKIPIF1<0.題型三：向量的夾角【典例分析】例題1．（2022·廣西北海·一模（文））已知向量SKIPIF1<0是單位向量，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0.故選：C例題2．（2022·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的夾角為SKIPIF1<0，故選:B．例題3．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若對(duì)滿足條件的任意向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值是______________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)取到等號(hào)；故答案為：SKIPIF1<0.【提分秘籍】求向量夾角公式：SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））已知平面向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相垂直，模長(zhǎng)之比為2：1，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】平面向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互相垂直，模長(zhǎng)之比為2：1，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0平方得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·山東德州·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取等號(hào)故SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，根據(jù)余弦函數(shù)圖象可知SKIPIF1<0最大值：SKIPIF1<0故選：A.4．（2022·廣西北海·一模（理））已知向量SKIPIF1<0是單位向量，向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為_____________．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】解：由題意可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0題型四：向量模（含最值，范圍問(wèn)題）【典例分析】例題1．（2022·浙江紹興·一模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：D例題2．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院三模）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且非零向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，則SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0和圓上點(diǎn)SKIPIF1<0之間的距離，又SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0.故選：B.例題3．（2022·四川資陽(yáng)·一模（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為______．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由向量模長(zhǎng)的三角不等式，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0例題4．（2022·浙江紹興·一模）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，若圓SKIPIF1<0上存在兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0長(zhǎng)度的最大值是______.【答案】SKIPIF1<0【詳解】解：由題意知，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0所以，圓心到直線的距離SKIPIF1<0，即直線和圓相離.從直線上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線為切線時(shí)SKIPIF1<0最大，不妨設(shè)切線為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以在直線上，當(dāng)SKIPIF1<0最大時(shí)，點(diǎn)SKIPIF1<0到圓心的距離為SKIPIF1<0.所以，此時(shí)SKIPIF1<0長(zhǎng)度最大值為SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.例題5．（2022·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)（文））已知SKIPIF1<0為正交基底，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_____.【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0為正交基底，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【提分秘籍】求兩個(gè)向量的模方法：（1）SKIPIF1<0可通過(guò)基底法表示向量求模，也可通過(guò)建系法用坐標(biāo)表示向量求模（2）利用向量三角不等式SKIPIF1<0（同號(hào)同向取等號(hào)；異號(hào)反向取等號(hào)）例如：SKIPIF1<0中間的連接號(hào)都是“SKIPIF1<0”，記憶口訣：同號(hào)則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同向不等式SKIPIF1<0取到等號(hào)；在不等式SKIPIF1<0中，中間的連接號(hào)“SKIPIF1<0”和“SKIPIF1<0”，記憶口訣：異號(hào)則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0反向不等式SKIPIF1<0取到等號(hào)；【變式演練】1．（2022·全國(guó)·大化瑤族自治縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)A?B在單位圓上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【詳解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·河南·平頂山市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知A，B為圓SKIPIF1<0上的兩動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0，點(diǎn)P是圓SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【詳解】設(shè)M是AB的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即M在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C.3．（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）平面向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0夾角最大值時(shí)SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄縎KIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由夾角公式，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立）.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最大.此時(shí)SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·海南華僑中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知不共線的平面向量SKIPIF1<0兩兩所成的角相等，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【詳解】由不共線的平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩所成的角相等，可設(shè)為θ，則SKIPIF1<0.設(shè)|SKIPIF1<0|=m.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或3.所以|SKIPIF1<0|=2或3故選：D5．（2022·浙江·三門縣觀瀾中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角最大時(shí)，SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【詳解】不妨取SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)夾角最大，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題型五：平面向量的平行與垂直問(wèn)題【典例分析】例題1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)）已知向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄縎KIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0.例題2．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．8 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.例題3．（2022·四川省綿陽(yáng)八一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】2【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為:2例題4．（2022·陜西渭南·一模（文））已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0等于___________.【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，.故答案為：SKIPIF1<0.【提分秘籍】?jī)蓚€(gè)向量平行、垂直的坐標(biāo)表示已知非零向量SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0【變式演練】1．（2022·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知平面向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題可知：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：A．2．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.3．（2022·四川綿陽(yáng)·一模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______．【答案】2【詳解】由題意，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·廣東茂名·二模）已知向量SKIPIF1<0（t，2t），SKIPIF1<0＝（﹣t，1），若（SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），則t＝_____．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)椋⊿KIPIF1<0﹣SKIPIF1<0）⊥（SKIPIF1<0+SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．題型六：三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系【典例分析】例題1．（2022·陜西·漢陰縣第二高級(jí)中學(xué)一模（理））已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，若SKIPIF