PAGE正多邊形和圓—知識講解（基礎(chǔ)）責編:康紅梅【學習目標】1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形；3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.【要點梳理】知識點一、正多邊形的概念

各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：

判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).

知識點二、正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計算

(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；

(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；

(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.

知識點三、正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點四、正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.【典型例題】類型一、正多邊形的概念1．已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【答案】A.【解析】如圖，連接OB、OC，則∠BOC=90°，

根據(jù)圓周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．

故選A．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用．

舉一反三：【變式】如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】連接OA，OB．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得∠AOB=90°．再根據(jù)圓周角定理，得∠APB=45°．

故選B．【高清ID號：356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題1-2】2．如圖1，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°圖1圖2【思路點撥】連接OD，根據(jù)題意求出∠POQ和∠AOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出∠AOP度數(shù)，即可求出∠AOQ的度數(shù)．【答案】D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知∠POQ=120°，∠AOD=90°，

由BC∥RQ可知P為弧AD的中點，所以∠AOP=45°，

所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．

故選D．【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是作出恰當?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等），再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解．類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計算3．如圖，點G，H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC，CD上的點，且BG=CH，AG交BH于點P．（1）求證：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度數(shù)．【答案與解析】（1）證明：∵在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠C=120°，在△ABG與△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG=∠HBC，∴∠BPG=∠ABG=120°，∴∠APH=∠BPG=120°．【點評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素．4．（2016?鹽城）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，則B、E兩點間的距離為．【思路點撥】根據(jù)題意可以求得∠BAE的度數(shù)，由正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，可以求得B、E兩點間的距離．【答案】8．【解析】解：連接BE、AE，如右圖所示，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF=∠AFE=120°，F(xiàn)A=FE，∴∠FAE=∠FEA=30°，∴∠BAE=90°，∴BE是正六邊形ABCDEF的外接圓的直徑，∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，∴BE=8，即則B、E兩點間的距離為8，故答案為：8．【點評】本題考查正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．舉一反三：【高清ID號：356969關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：經(jīng)典例題5-6】【變式】如圖是對稱中心為點的正六邊形．如果用一個含角的直角三角板的角，借助點（使角的頂點落在點處），把這個正六邊形的面積等分，那么的所有可能的值是

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