保險學(xué)第十二章保險精算1本章教學(xué)目的讓學(xué)生在了解保險精算的產(chǎn)生與進展、根本任務(wù)和根本原理的根底上，把握非壽險精算中保險費率的厘定方法、“大數(shù)”的測定、財務(wù)穩(wěn)定性分析，以及自留額與分保額的決策；把握壽險精算中生命表，躉繳純保險費、年金保險純保險費、年度純保費和毛保險費的計算，以及理論責任預(yù)備金和實際責任預(yù)備金的計算。

2第一節(jié)保險精算概述

一、保險精算的產(chǎn)生與進展所謂精算，就是運用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、金融學(xué)及人口學(xué)等學(xué)科的學(xué)問和原理，去解決工作中的實際問題，進而為決策供給科學(xué)依據(jù)。保險精算是以數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、金融學(xué)、保險學(xué)及人口學(xué)等學(xué)科的學(xué)問和原理，去解決商業(yè)保險和社會保障業(yè)務(wù)中需要準確計算的工程，如爭論保險事故的出險規(guī)律、保險事故損失額的分布規(guī)律、保險人擔當風險的平均損失及其分布規(guī)律、保險費和責任預(yù)備金等保險具體問題的計算。3第一節(jié)保險精算概述一、保險精算的產(chǎn)生與進展壽險精算是從壽險經(jīng)營的窘境中應(yīng)運而生的。當時，壽險的保費承受賦課制，未將年齡大小、死亡率凹凸等與保費掛鉤，有關(guān)計算單一、粗糙，考慮的因素少，因而使壽險經(jīng)營缺乏嚴密的科學(xué)根底。17世紀后半葉，世界上有兩位保險精算創(chuàng)始人爭論人壽保險計算原理取得突破性進展，一位是荷蘭的政治家維德(JeandeWitt)，他提倡了一種終身年金現(xiàn)值的計算方法，對國家的年金公債發(fā)行供給了科學(xué)依據(jù)；另一位是英國天文學(xué)家赫利〔EdmundHalley〕，他在爭論人的死亡率的根底上制造了生命表，從而使年金價值的計算更準確。18世紀40年月至50年月，辛浦森〔ThomasSimpson〕依據(jù)赫利的生命表，制作出依照死亡率增加而遞增的費率表，陶德森(JamesDodson)依據(jù)年齡之差等因素而找出計算保險費的方法。4第一節(jié)保險精算概述一、保險精算的產(chǎn)生與進展與壽險精算相比，非壽險精算相對落后。但由于所定的保險費率較高，保費收入不僅超過收支相抵的適當水平，還包括了充分的預(yù)備金以應(yīng)付各種意外損失，因而使保險業(yè)仍有利可圖。進入20世紀以來，狀況發(fā)生了根本的變化。首先，消失了前所未有的巨大風險；其次，在日益完善的保險市場上，保險人之間的競爭愈演愈烈；再者，還存在著保險費率的猛烈下降，奉行客戶至上主義，甚至政府對某些險種的費率實行管制等多種因素。因此，當代的保險人不再可能收取顯著高于適當水平的保費并在業(yè)務(wù)中保持。隨著統(tǒng)計理論及其不斷成熟，保險人在確定保險費率、應(yīng)付意外損失的預(yù)備金、自留限額、未到期責任預(yù)備金和未決賠款預(yù)備金等方面，都力求承受更準確的方式取代以前的閱歷推斷。

5第一節(jié)保險精算概述一、保險精算的產(chǎn)生與進展顧名思義，精算師是在保險公司專司精算職責的人。通常，精算師在保險公司的傳統(tǒng)職能是計算保險費率和評估公司每年度的責任預(yù)備金。隨著國際保險市場的開放和保險精算的進展，有些國家已經(jīng)開頭授予肯定的法定職能于精算師。發(fā)生這種轉(zhuǎn)變的主要緣由有：①政府監(jiān)管部門的職責主要是確保保險市場的整體穩(wěn)定、定價合理、保險公司的財務(wù)穩(wěn)定和能夠為投保人供給保障。②壽險品種和保險市場的進展日趨簡單，政府部門難以隨時審核每家保險公司的經(jīng)營狀況。③局部國家和地區(qū)的精算師學(xué)會對其會員制定專業(yè)指引和守則，以確保其會員可以正確履行精算師的職能；同時，承受過專業(yè)訓(xùn)練的精算師，由于常常參與公司的業(yè)務(wù)，可以生疏保險公司的整體運作。④為了增加保險公司的競爭力量，有關(guān)保險條例必需依據(jù)每家公司的不同狀況敏捷處理，同時必需顧及保險公司財政狀況的穩(wěn)定。6第一節(jié)保險精算概述二、保險精算的根本任務(wù)保險精算最初的定義是“通過對火災(zāi)、盜竊以及人的死亡等損失事故發(fā)生的概率進展估算以確定保險公司應(yīng)當收取多少保費?！痹趬垭U精算中，利率和死亡率的測算是厘定壽險本錢的兩個根本問題。由于利率一般是由國家掌握的，所以在相當長的時期里利率并不是保險精算所關(guān)注的主要問題，而死亡率的測算即生命表的建立成為壽險精算的核心工作，現(xiàn)在也仍舊是精算爭論的課題。非壽險精算始終把損失發(fā)生的頻率、損失發(fā)生的規(guī)模以及對損失的掌握作為它的爭論重心?，F(xiàn)在，非壽險精算已經(jīng)進展了兩個重要分支：一是損失分布理論；二是風險理論。伴隨著金融深化的利率市場化，保險基金的風險也變?yōu)榫銧幷摰暮诵膯栴}。在這方面要爭論的問題包括投資收益的敏感性分析和投資組合分析、資產(chǎn)和負債的匹配等。7第一節(jié)保險精算概述三、保險精算的根本原理保險精算最根本的原理可簡潔歸納為收支相等原則和大數(shù)法則。所謂收支相等原則就是使保險期內(nèi)純保費收入的現(xiàn)金價值與支出保險金的現(xiàn)金價值相等。由于壽險的長期性，在計算時要考慮利率因素，可分別實行三種不同的方式：①依據(jù)保險期間末期的保費收入的本利和〔終值〕及支付保險金的本利和〔終值〕保持平衡來計算；②依據(jù)保險合同成立時的保費收入的現(xiàn)值和支付保險金的現(xiàn)值相等來計算；③依據(jù)在其他某一時點的保費收入和支付保險金的“本利和”或“現(xiàn)值”相等來計算。所謂大數(shù)法則，是用來說明大量的隨機現(xiàn)象由于偶然性相互抵消所呈現(xiàn)的必定數(shù)量規(guī)律的一系列定理的統(tǒng)稱。8第一節(jié)保險精算概述三、保險精算的根本原理〔一〕切比雪夫〔Chebyshev〕大數(shù)法則設(shè)，，…，，…是由兩兩相互獨立的隨機變量所構(gòu)成的序列，每一隨機變量都有有限方差，并且它們有公共上界：

這一法則的結(jié)論運用可以說明，在承保標的數(shù)量足夠大時，被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相等。這個結(jié)論反過來，則說明保險人應(yīng)如何收取純保費。

D()≤C，D()≤C，…D()≤C，…，則對于任意的ε>0，都有：9第一節(jié)保險精算概述三、保險精算的根本原理〔二〕貝努利(Bernoulli)大數(shù)法則設(shè)Mn是n次貝努利試驗中大事A發(fā)生的次數(shù)，而p是大事A在每次試驗中消失的概率，則對于任意的ε>0，都有：

在非壽險精算中，往往假設(shè)某一類標的具有一樣的損失概率，為了估量這個概率的值，便可以通過以往有關(guān)結(jié)果的閱歷，求出一個比率——這類標的發(fā)生損失的頻率。而在觀看次數(shù)很多或觀看周期很長的狀況下，這一比率將與實際損失概率很接近。換句話說，當某個所需要求的概率不能通過等可能分析、理論概率分布近似估量等方法加以確定時，則可通過觀看過去大量試驗的結(jié)果而予以估量，即用比率代替概率。反過來，經(jīng)估量得到的比率，可由將來大量試驗所得的實際閱歷而修正，以增加其真實性。10第一節(jié)保險精算概述三、保險精算的根本原理〔三〕普阿松(Poisson)大數(shù)法則假設(shè)某一大事在第一次試驗中消失的概率為P1,在其次次試驗中消失的概率為P2，…，在第n次試驗中消失的概率為Pn。同樣用Mn來表示此大事在n次試驗中發(fā)生的次數(shù)，則依據(jù)普阿松大數(shù)法則有：對于任意的ε>0，成立

普阿松大數(shù)法則的意思是說：當試驗次數(shù)無限增加時，其平均概率與觀看結(jié)果所得的比率將無限接近。11其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定保險費率的厘定，關(guān)鍵在于純費率確實定。而純費率確實定通常有兩種方法：一是依據(jù)統(tǒng)計資料計算保額損失率，進而確定純費率r；二是在損失分布和賠款條件的狀況下，用賠款金額的期望值E除以保險金額I而得到r，即r=E/I。假設(shè)附加費率在保險費率中的比例為k，則保險費率可由R=r/(1-k)求得。12其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔一〕觀看法觀看法是指對個別標的的風險因素進展分析，觀看其優(yōu)劣，估量其損失概率，直接打算其費率。這種方法的承受，往往是由于保險標的數(shù)量較少，無法承受統(tǒng)計資料，因而主要憑借精算人員的學(xué)問與閱歷。觀看法所制定的費率，最能反映個別風險的特性，具有敏捷、準確的特點，這是由于：①在風險單位數(shù)量很少的狀況下，不能硬性將風險性質(zhì)差異很大的各風險單位集中在一塊，統(tǒng)一制定費率，否則，將違反利用大數(shù)法則估量損失概率的前提條件；②觀看法制定費率，雖是針對個別標的而言，但精算人員往往依據(jù)過去的費率和閱歷，以及對此標的有影響的各種風險因素進展認真的分析，然后才確定費率；③觀看法通常也要利用一些資料，只不過較為粗略而已。13其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔二〕分類法分類法是指將性質(zhì)一樣的風險，分別歸類，而對同一分類的各風險單位，依據(jù)它們共同的損失概率，訂出一樣的保險費率。分類費率確定之后，經(jīng)過肯定時期，如與實際閱歷有所出入，則應(yīng)進展調(diào)整，其調(diào)整公式為：

公式中各符號的含義如下：M——調(diào)整因素，即保險費應(yīng)調(diào)整的百分比；A——實際損失比率；E——預(yù)期損失比率；C——信任因素。

承受上面的公式來打算費率調(diào)整的百分比，關(guān)鍵在于確定信任因素C的大小。14其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔三〕增減法增減法是指在同一費率類別中，對被保險人給以變動的費率。其變動或基于在保險期間的實際損失閱歷，或基于其預(yù)想的損失閱歷，或同時以兩者為根底。增減法對分類費率可能有所增加，但也可能有所削減，主要在于調(diào)整個別費率。1.表定法承受表定法時，必需首先在各分類中對各項特殊顯著的風險因素設(shè)立客觀標準。當被保險人購置保險時，就以這種客觀標準來測度風險的大小。

15其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔三〕增減法2.閱歷法承受閱歷法制定費率，是依據(jù)被保險人以往的損失閱歷，對依據(jù)分類費率制定的費率加以增減變動。所以閱歷法主要是一種調(diào)整費率的方法。承受閱歷法調(diào)整費率的公式為：

公式中各符號的含義如下：M——保險費率調(diào)整的百分比；A——閱歷時期被保險人的實際損失；E——被保險人適用某分類時的預(yù)期損失；C——信任因素；T——趨勢因素〔考慮平均賠償金額支出趨勢及物價指數(shù)的變動〕。16其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔三〕增減法3、追溯法追溯法是與閱歷法相對的一種費率調(diào)整方式，它以保險期內(nèi)被保險人的實際損失為根底，計算被保險人當期應(yīng)繳的保險費。在使用這種方法時，先在保險期開頭前以其他方式確定預(yù)繳保險費，然后在保險期滿后，依據(jù)實際損失，對已繳保費進展增減變動，其計算公式如下：RP=［BP+L·LCF］·TM公式中符號的含義如下：RP——RetrospectivePremium，為計算所得的追溯保險費；BP——BasicPremium，為根本保險費；L——Loss，實際損失金額；LCF——LossConversionFactor，損失換算因數(shù)〔其數(shù)值大于1〕；TM——TaxMultiplier，租稅乘數(shù)〔其數(shù)值大于1〕。

17其次節(jié)非壽險精算一、保險費率的厘定〔三〕增減法4、折扣法顧名思義，折扣法是對個別被保險人承受折扣費率。二、“大數(shù)”的測定在肯定的要求之下，“大數(shù)”由下面的公式來測定：

公式中各個符號的含義為：N——在肯定條件下應(yīng)具有的風險單位數(shù)。E——〔相對于預(yù)期損失次數(shù)而言〕實際損失變動次數(shù)與總數(shù)的比率，表示所需要的準確度。S——實際損失與預(yù)期損失相差的標準差的個數(shù)。S的值可以說明對所獲得的結(jié)果的信任程度。p——某一特定標的〔風險單位〕發(fā)生損失的概率。18其次節(jié)非壽險精算三、財務(wù)穩(wěn)定性分析假定某公司承保的某項業(yè)務(wù)有n個保險單位，每個保險單位的保險金額為a元，純費率為q。假設(shè)損失標準差為σ，則稱aσ為賠償金額標準差，用Q表示，即Q=aσ。把anq〔即純保費總額〕稱為保險賠償基金，用P表示，即P=anq。賠償金額標準差與保險賠償基金的比值，稱為財務(wù)穩(wěn)定系數(shù)，用K表示，即K=Q/P。一般而言，財務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越小，財務(wù)穩(wěn)定性越好；反之，財務(wù)穩(wěn)定系數(shù)K越大，財務(wù)穩(wěn)定性越差。假定有n個保險標的，每個保險標的的保險金額為a元，損失概率為p，純費率為q，假設(shè)損失聽從二項分布，則有：19其次節(jié)非壽險精算假定保險公司承保有兩類業(yè)務(wù)，第一類業(yè)務(wù)承保n1個單位，每個單位的保險金額為a1元，純費率為q1，其次類業(yè)務(wù)承保n2個單位，每個單位的保險金額為a2元，純費率為q2。則：第一類業(yè)務(wù)上的出險次數(shù)標準差為：賠償金額標準差為：財務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：同樣可以得到：假設(shè)把第一類業(yè)務(wù)與其次類業(yè)務(wù)合并，則賠償金額標準差為：財務(wù)穩(wěn)定系數(shù)為：其中20其次節(jié)非壽險精算

一般地，當有j個業(yè)務(wù)合并時，有：四、自留額與分保額的決策假定在原有業(yè)務(wù)上，賠償基金為，賠償金額標準差為，則將另外承受n個保險單位，保額為x元，純費率為q，則：其中，21其次節(jié)非壽險精算

合并業(yè)務(wù)后：要使K1+2仍維持K1的值，則應(yīng)有：

整理后可得：

當q特別小時，可近似得到：要維持原有的財務(wù)穩(wěn)定性，對于新承受的業(yè)務(wù)，假設(shè)保險金額在x以下，則可全部自留，對于保險金額超過x的新業(yè)務(wù)，自留額以x為限，超過局部予以分保。

22第三節(jié)

壽險精算

為爭論問題的便利，本節(jié)的計算一律作如下幾個假定：①被保險人的生死遵循預(yù)定生命表所示的生死規(guī)律；②同一種類的保險合同，全部于該年齡初同時訂立；③保險金于每年度末同時支付；④保險費按預(yù)定利率復(fù)利生息，并假定年利率為i；⑤假定保險金額均為1元〔有特殊說明者例外〕，因而所求得的純保險費就是純保險費率；⑥總是假定生命表中某一年齡的人都向保險公司投保了某種保險，而不管實際狀況是否這樣，由于這并不影響結(jié)論的正確性。

23第三節(jié)

壽險精算一、生命表生命表是依據(jù)以往肯定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制的，由每個年齡死亡率所組成的匯總表。生命表中最重要的就是設(shè)計產(chǎn)生每個年齡的死亡率。影響死亡率的因素很多，主要有年齡、性別、職業(yè)、習(xí)性、以往病史、種族等。一般狀況下，在設(shè)計生命表時，只留意考慮年齡和性別。生命表可以分為國民生命表和閱歷生命表。前者是依據(jù)全體國民或者以特定地區(qū)的人口的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)編制的生命表，它主要來源于人口普查的統(tǒng)計資料。后者是依據(jù)人壽保險、社會保險以往的死亡記錄(閱歷)所編制的生命表。保險公司使用的是閱歷生命表。24第三節(jié)

壽險精算

ｘ：表示年齡。

：生存數(shù)，是指從初始年齡至滿ｘ歲尚生存的人數(shù)。：死亡數(shù)，是指ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的人數(shù)。：死亡率，表示ｘ歲的人在一年內(nèi)死亡的概率。Px:生存率。表示ｘ歲的人在一年后仍生存的概率，即到ｘ＋１歲時仍生存的概率。：平均余命或生命期望值。表示ｘ歲的人以后還能生存的平均年數(shù)。假設(shè)假設(shè)死亡發(fā)生在每一年的年中，則有：25第三節(jié)

壽險精算

表示ｘ歲的人在ｔ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在生存ｔ年后ｕ年內(nèi)死亡的概率。表示ｘ歲的人在ｔ年末仍生存的概率。26第三節(jié)

壽險精算二、躉繳純保險費〔一〕定期人壽保險的純保險費假定x歲的人投保n年定期人壽保險，年初每個投保人應(yīng)繳的純保險費為元。依據(jù)收支相等原則，保險公司支付保險金的現(xiàn)值總和與期初純保險費的總和應(yīng)相等。即有：其中，為折現(xiàn)率。假設(shè)令：則可得到：27第三節(jié)

壽險精算二、躉繳純保險費〔二〕終身人壽保險的純保險費假設(shè)生命表中所定最終年齡為ω歲，則有：

假設(shè)令：則定期和終身人壽保險的純保險費可分別表示為：28第三節(jié)

壽險精算二、躉繳純保險費〔三〕純粹生存保險的純保險費假定x歲的人投保n年定期生存保險，所繳的純保險費為元?？紤]利息因素，依據(jù)收支相等原則有：

整理后可得：〔四〕混合保險的純保險費假設(shè)把保險期限為n年的混合保險的純保險費記為，則29第三節(jié)

壽險精算三、年金保險的純保險費〔一〕即期年金假定x歲的人投保期限為n年的年金保險，保險公司每年初支付保險金。設(shè)投保人應(yīng)繳的純保險費為，則依據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

假設(shè)將給付周期改為終身，則可得到：令

，則可將上面兩個公式變?yōu)椋?0第三節(jié)

壽險精算三、年金保險的純保險費〔一〕即期年金用與上面同樣的方法可以得到期末付定期年金的純保險費為：

期末付終身年金的純保險費為：〔二〕延期年金x歲的人投保期限為n年的年金保險，m年后開頭〔在期首〕給付，即延期m年。表示n年定期期首付延期年金的純保險費，由收支相等原則有：31第三節(jié)

壽險精算三、年金保險的純保險費

用同樣的方法可以得到期末付定期延期年金的純保險費為：

期首付延期終身年金的純保險費為：期末付延期終身年金的純保險費為：32第三節(jié)

壽險精算四、年度純保費

假定n年定期死亡保險的純保險費分m年付清，用來表示年度純保費，年度純保費的現(xiàn)值之和應(yīng)與一次付足的純保費的現(xiàn)值相等，即應(yīng)有：

整理可得：五、人壽保險的毛保險費保險公司所收取的保險費中，用來作為給付的那局部保險費是純保險費，而用來作為業(yè)務(wù)費用開支的那局部保險費稱為附加保費。純保險費與附加保費之和稱為毛保險費。

33第三節(jié)

壽險精算五、人壽保險的毛保險費公司對原始費用，不應(yīng)單純地將它全部加在第一年的純保險費上，而需將它均勻地分攤到各期的保險費上。假設(shè)被保險人投保時的年齡為x歲，保險期限為n年，保險費分次m交付，再假定全部原始費用為α元，在每一年度保險費上應(yīng)攤加的金額為s元。很明顯，這些攤加在每一年度的費用的現(xiàn)值的積存值與原始費用的現(xiàn)值相等，于是成立：

由此可以得到：34第三節(jié)

壽險精算五、人壽保險的毛保險費假設(shè)被保險人投保時的年齡為x歲，保險期限為n年，保險費分m次交付，再假定全部原始費用為α元，每年的治理費為β元，代理手續(xù)費為毛保險費的比例γ。求保險金額為1元的混合保險的年繳毛保險費。〔一〕三元素法設(shè)年繳毛保險費為P，我們可以作如下分析：35第三節(jié)

壽險精算五、人壽保險的毛保險費〔一〕三元素法依據(jù)收支相等原則應(yīng)有：

整理后可得：〔二〕比例法比例法假定附加保費為毛保費的肯定比例，設(shè)為K。如果純保費為P，毛保費為，則：

比例常數(shù)法依據(jù)每張保單的平均保額推算出每單位保額所必需支付的費用，作為一個固定常數(shù)(用C表示)，然后再確定一個毛保費的比例作為附加費用，由此有：36第三節(jié)

壽險精算六、理論責任預(yù)備金及其計算人壽保險的責任預(yù)備金，是保險人向投保人所收取的純保險費，加上按事先商定的年利率復(fù)利結(jié)算方式計算的本利和，與人壽保險合同中所規(guī)定的保險人應(yīng)在當年所支付保險金的差額；從被保險人方面來說，是他所交付的純保險費的本利和，與他當年應(yīng)分攤的給付保險金之間的差額。責任預(yù)備金實質(zhì)上是保險人對被保險人或其收益人的一種負債。責任預(yù)備金可分為理論責任預(yù)備金和在其根底上修正后的實際責任預(yù)備金。37第三節(jié)

壽險精算六、理論責任預(yù)備金及其計算〔一〕過去法過去法以分析已繳的純保險費為動身點。假定生命表內(nèi)所列年齡為x歲的人，全部向保險公司投保同一保險條件、同一保險期限、同一繳費次數(shù)的人壽保險，保險金額均為1元，則在投保后第t年年末，被保險人的年齡為x+t歲，屆時保險公司對全體被保險人提存的責任預(yù)備金應(yīng)等于：在被保險人的年齡為x+t歲時，已繳純保險費的積存值，減去被保險人的年齡為x+t歲時，依據(jù)生命表保險公司已支付的保險金的積存值。由于這種計算方式涉及到生存分紅年金和期末死亡保險費，故我們僅在此給出相應(yīng)的計算公式〔用表示在第t年的預(yù)備金〕。38第三節(jié)

壽險精算六、理論責任預(yù)備金及其計算〔一〕過去法假設(shè)繳費次數(shù)與保險年限一樣，則：假設(shè)保險期限為n年，保險費在最初m年交付，t≤m，則：假設(shè)保險期限為n年，保險費在最初m年交付，t>m，則：假設(shè)是純粹生存保險，由于保險公司在以往t年內(nèi)并未有任何給付，上面公式中含有