第七章無窮級數(shù)§7.4任意項級數(shù)絕對收斂§7.5冪級數(shù)§7.3正項級數(shù)§7.2無窮級數(shù)的基本性質(zhì)§7.1無窮級數(shù)的概念§7.7某些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開§7.8冪級數(shù)的應(yīng)用舉例§7.6泰勒公式和泰勒級數(shù)引例1.則小球運動的時間為設(shè)

tk

表示第

k

次小球落地的時間,

分析:彈性小球跳動次數(shù)無窮小球完成無窮次跳動所用的時間是否是有限的？“無限個數(shù)相加”設(shè)有彈性的小球自高1m處無初速地下落，落下后又彈起.若每次彈起的高度為前次下落高度的一半，如此往復(fù)不已，問小球是否會停止跳動？

如何求？引例2.分析:求1+(–1)+1+(–1)+…如果將上式寫成

(1–1)+

(1–1)+

(1–1)+…=0+

0+

0+…=0如果寫成

1+[(–1)+

1]+[(–1)+

1]+…=1+0+

0+…=1啟示:“無限個數(shù)相加”不能簡單引用有限個數(shù)相加求和的概念1、無窮級數(shù)

給定一個數(shù)列{un}

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1

u2

u3

un

其中第n項un叫做級數(shù)的通項

調(diào)和級數(shù)§7.1無窮級數(shù)的概念1、無窮級數(shù)

給定一個數(shù)列{un}

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式叫做無窮級數(shù)(簡稱級數(shù))

2、級數(shù)的部分和級數(shù)的前n項和

Sn

u1

u2

u3

un稱為級數(shù)的部分和

S1

u1，S2

u1

u2，S3

u1

u2

u3，S4

u1

u2

u3

u4，…如：S1，S2，S3，S4，S5，…部分和數(shù)列3、級數(shù)斂散性定義

它們之間的差值

Rn

S

Sn

un

1

un

2

叫做這級數(shù)的余項

3、級數(shù)斂散性定義

注：判別級數(shù)的斂散性判別它的部分和數(shù)列的斂散性求級數(shù)的和求部分和數(shù)列的極限實質(zhì)實質(zhì)先求部分和再求極限4、判斷級數(shù)斂散性的方法：

解

如果q

1

則部分和

當(dāng)q

1時

Sn隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或等于零

幾何級數(shù)當(dāng)時收斂，其和為；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.綜上：幾何級數(shù)的斂散性例如：幾何級數(shù)其和為公比為例如：小球一定能停止跳動！例如：1+(–1)+1+(–1)+…公比為–1發(fā)散

解

所以這級數(shù)收斂

它的和是1

技巧:利用“拆項相消”求和

解

例3

判別級數(shù)的收斂性

(ln2

ln1)

(ln3

ln2)

(ln4

ln3)

(ln(n

1)

lnn)

ln(n

1)

所以級數(shù)發(fā)散

1.判斷級數(shù)的斂散性.發(fā)散練習(xí)

2.判斷級數(shù)的斂散性.定理7

1Sn、Wn、Tn

則§7.2無窮級數(shù)的基本性質(zhì)定理7

1定理7

2不為零的常數(shù)a后

所得到的級數(shù)也收斂

且其和為aS

例4.判斷下列級數(shù)的斂散性收斂發(fā)散收斂定理7

1定理7

2定理7

3舉例

也是收斂的

定理7

1定理7

2定理7

3舉例

也是收斂的

例5.

設(shè)級數(shù)的前n項部分和，判定級數(shù)的斂散性.若級數(shù)收斂，求它的和.解:因為所以級數(shù)收斂，其和為由定理7.3收斂.定理7

1定理7

2定理7

3定理7

4

如果一個級數(shù)收斂

則加括號后所成的級數(shù)也收斂

且與原級數(shù)有相同的和

應(yīng)注意的問題

如果加括號后所成的級數(shù)收斂

則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂

定理7

4

如果一個級數(shù)收斂

則加括號后所成的級數(shù)也收斂

且與原級數(shù)有相同的和

(1

1)+(1

1)+

收斂于零

但級數(shù)

1–1+1

1+

卻是發(fā)散的

如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散

則原級數(shù)也必發(fā)散

對于正項級數(shù)

無論加括號或去括號

都不影響它的斂散性

例如

級數(shù)定理7

5(級數(shù)收斂的必要條件)

如果級數(shù)注:

1.級數(shù)的通項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件

例6.

判斷級數(shù)的斂散性.

這是以后我們判定一個級數(shù)發(fā)散的重要結(jié)論.發(fā)散

公元前5世紀(jì)，以詭辯著稱的古希臘哲學(xué)家芝諾(Zeno)用他的無窮、連續(xù)以及部分和的知識，引發(fā)出以下著名的悖論：

如果讓阿基里斯(Achilles,古希臘神話中善跑的英雄)和烏龜之間舉行一場賽跑，讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開始，假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍，也永遠(yuǎn)追不上烏龜.芝諾的理論依據(jù)是：當(dāng)比賽開始的時候，阿基里斯跑了1000米，此時烏龜仍然前于他100米；當(dāng)阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜仍然前于他10米，…