五年級下冊知識點匯總（數學——人教2013版）目錄（按住ctrl并單擊鼠標直接轉到相應單元）TOC\o\h\z\u第一單元觀察物體（三） ②較小數判斷法（割尾法）將一個整數的個位數劃去，再用余下的數，減去個位數的2倍，如果得到的差是7的倍數，則原數能被7整除。如果得到的差太大不易看出是不是7的倍數，就需要繼續(xù)上述過程，直到能明確判斷是不是7的倍數為止。例如判斷133是不是7的倍數，過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數；又例如判斷6139是不是7的倍數，過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數。可以設y是個位上的數字，x是個位數前面的其他數字，那么原數為10x+y，也可以寫成10（x-2y）+21y，其中21y肯定是7的倍數，只要x-2y是7的倍數即可。注：這種方法（“割尾法”）也適用于判斷3的倍數。同學們也可以根據這種方法創(chuàng)造新的判斷一個數倍數的方法，詳見另文：數學“傻問題”之四——“倍數特征”割不割？（五下）13的倍數（割尾法）若一個整數的個位數字截去，再從余下的數中，加上個位數的4倍，如果差是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，就需要繼續(xù)上述「截尾、倍大、相加、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止?？梢栽Oy是個位上的數字，x是個位數前面的其他數字，那么原數為10x+y，也可以寫成10（x+4y）-39y，其中39y肯定是13的倍數，只要x+4y是13的倍數即可。這種方法也適用于判斷3的倍數，另外上面7的倍數特征中的較大數判斷法也可以。其它數的倍數?？嫉囊话闶?、3、5、6、9、10、15等的倍數（同時是2和5的倍數的數就是10的倍數，同時是3和5的倍數的數就是15的倍數），其它的如11、13、17的倍數都不用硬記，可以直接除以這些數看能否整除就可以了。平時在做計算題的時候留個心眼，看看數字相乘的得數，把一些好玩有趣的記一下（如37×9＝333等），有助于培養(yǎng)對數字的感覺，對提高計算能力是有幫助的，有興趣的同學可以看看我寫的兩位數乘法口算方法的文章（兩位數乘兩位數的口算技巧分解）。偶數與奇數自然數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫做奇數。也就是說，非0偶數都含有因數2，奇數都不含有因數2。因此，偶數與奇數有下列性質：（1）偶數＋偶數＝偶數偶數＋奇數＝奇數奇數＋奇數＝偶數偶數－偶數＝偶數偶數－奇數＝奇數奇數－奇數＝偶數口訣：奇偶相加減，同性得偶數，異性得奇數。（2）偶數×偶數＝偶數偶數×奇數＝偶數奇數×奇數＝奇數口訣：奇偶相乘，有偶得偶，全奇得奇。例題：把36個小球放在13個盤子里，至少有一個盤子里放的是偶數，對嗎？解答：利用“反證法”，假設13個盤子里放的都是奇數個小球，那么奇數加奇數得偶數，12個盤子兩兩相加得偶數，最后一個盤子里放的是奇數，相加肯定也是奇數，不可能是36。因此“把36個小球放在13個盤子里，至少有一個盤子里放的是偶數”這句話是對的！質數與合數在非0自然數中，按照因數個數的多少，分為1、質數和合數。（以下所說的數，都是非0自然數，因為談及“因數”或“倍數”時都必須是非0整數）一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。如2,3,5,7都是質數。一個數，如果除了1和它本身還有別的因數，這樣的數叫做合數。如4,6,15,49都是合數。1既不是質數，也不是合數。質數與合數相關知識（1）100以內的質數有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。這些數必須記住。（2）最小的質數是2，既是偶數又是質數（偶質數）的也只有2。（3）最小的合數是4，既是奇數又是合數（奇合數）的最小的是9，20以內的還有15。（4）連續(xù)的兩個數是質數的只有2和3。（5）20以內的數中，連續(xù)三個數是合數的有8,9,10和14,15,16。（6）20以內的數中，加上2還是質數的質數有3,5,11,17。分解質因數分解質因數就是將一個合數分解成若干個質數相乘的形式。如18＝2×3×3，每個質數都是這個合數的因數，因此叫做“質因數”。常用的表示方法：可以用乘法算式法，也可以用連線分解法，我推薦的是“短除法”。在后面學習最大公因數和最小公倍數時，使用短除法非常簡單。有空多練習吧。哥德巴赫猜想德國數學家哥德巴赫最先提出：“所有大于2的偶數，都可以表示為兩個質數的和”，這就是“哥德巴赫猜想”，被稱為“數學王冠上的明珠”。中國數學家陳景潤于1966年證明：“任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而后者可表示為兩個質數的乘積。”通常這個結果表示為“1+2”。這是目前解決“哥德巴赫猜想”問題的最佳結果。我們在平時的學習中，也可以練習將一個大于2的偶數表示成兩個質數的和，以提高自己對質數的熟悉程度。如：12＝5＋7，18＝5＋13＝7＋11，20＝7＋13，24＝5＋19＝7＋17＝11＋13。有些數還可以表示成三個質數的和，這時要注意加數的奇偶，注意2是唯一的偶質數。如：12＝2＋5＋5＝2＋3＋7，18＝2＋5＋11，23＝3＋7＋13＝5＋5＋13＝5＋7＋11。第三單元長方體和正方體長方體、正方體是立體形狀，長方形、正方形是平面圖形，要區(qū)分開來。它們都是幾何圖形。生活中有許多物體的形狀可以近似地看成是長方體或正方體。長方體定義：長方體一般是由6個長方形（特殊情況下有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形。特征：在一個長方體中，相對的面完全相同，相對的棱長度相等。長、寬、高：相交于一個頂點的三條棱（的長度）分別叫做長方體的長、寬、高。長、寬、高各有4條，分別相互平行且相等。分別兩兩垂直。正方體定義：正方體是由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形。特征：在一個正方體中，6個面完全相同，12條棱長度相等。正方體與長方體的聯系正方體可以看成是長、寬、高都相等的長方體。其它異同點見下表：注意：（1）當長方體有兩個相對的面是正方形時，另外4個面就一定是完全相同的長方形。因此，長方體最多有8條棱可以相等。已知：a＝24cmb＝12cm已知：a＝24cmb＝12cmh＝9cm求：C長TC長T＝4（a＋b＋h）＝4×（24＋12＋9）＝180（cm）答：紙巾盒棱長總和180cm。長方體與正方體的棱長總和已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C長TC長T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4已知：a＝90mb＝55mh＝20m求：C長TC長T＝2a＋2b＋4h＝90×2＋55×2＋20×4＝370（m）答：工人叔叔至少需要370m長的彩燈線。例，課本P21第1題：紙巾盒長24cm，寬12cm，高9cm，求棱長總和。例，課本P21第6題：為迎接“五一”國際勞動節(jié)，工人叔叔要在工人俱樂部的四周裝上彩燈（地面的四邊不裝）。已知工人俱樂部的長90m，寬55m，高20m，工人叔叔至少需要多長的彩燈線？已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12已知：a＝10cm求：C正TC正T＝12a＝12×10＝120（cm）答：它的棱長總和是120cm。正方體有12條相等的棱，因此：正方體棱長總和＝棱長×12，用a表示棱長，則字母表達式為C正方體＝12a。例，課本P31第2題：棱長為10cm的正方體粉筆盒，棱長總和是多少？在求長方體、正方體棱長總和（以及后面的面積）時，要注意包含哪幾條棱（哪幾個面），用相應的公式去計算。長方體與正方體的表面積長方體或正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。因為長方體（或正方體）相對的面完全相同，因此只要算出3個面（上或下、前或后、左或右）再擴大到2倍就可以了。注意：長方體每個面的面積構成（請理解后記憶）情況一：假設長面對著我們，則前面（后面）的面積是“長×高”，左面（右面）的面積是“寬×高”，上面（下面）的面積是“長×高”。情況二：假設寬面對著我們，則前面（后面）的面積是“寬×高”，左面（右面）的面積是“長×高”，上面（下面）的面積是“長×高”。因此，上、下面（底面）的面積都是“長×寬”，側面四周都和“高”有關。長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S長TS長T＝2（ab＋ah＋bh）＝2已知：a＝50cmb＝40cmh＝78cm求：S長TS長T＝2（ab＋ah＋bh）＝2×（50×40＋50×78＋40×78）＝2×（2000＋3900＋3120）＝18040（cm2）答：做郵箱至少需要18040平方厘米的鐵皮。例，課本P25第4題：光華街口裝了一個新的鐵皮郵箱，長50cm，寬40cm，高78cm。做這個郵箱至少需要多少平方厘米的鐵皮？例，課本P24做一做：亮亮家要給一個長，寬，高的簡易衣柜換布罩（沒有底面）。至少需要用布多少平方米？已知：a＝b＝h＝求：S布罩S已知：a＝b＝h＝求：S布罩S布罩＝2（a＋b）h＋ab＝2×（＋）×＋×＝2××＋＝（m2）答：做布罩至少需要用布平方米。附：不完全表面積公式只有側面四周，也叫煙囪（或者叫上下通風管，還叫商標紙）：S側＝2（a＋b）h=2ah+2bh沒有下面：S布罩＝2（a＋b）h＋ab=2ah+2bh+ab沒有上面：S魚缸＝2（a＋b）h＋ab=2ah+2bh+ab左右通風管：S左右通＝2（b＋h）a=2ab+2ah前后通風管：S前后通＝2（a＋h）b=2ab+2bh已知：a＝3dm求：S魚缸S已知：a＝3dm求：S魚缸S魚缸＝5a2＝5×（3×3）＝45（m2）答：制作這個魚缸至少需要玻璃45平方米。正方體的表面積＝（棱長×棱長）×6字母表達式為S正方體＝6a2。例，課本P26第8題：一個玻璃魚缸的形狀是正方體，棱長3dm。制作這個魚缸時至少需要玻璃多少平方分米？（魚缸的上面沒有蓋。）此題當中魚缸沒有蓋，只有5個面。注意：“平方”的運算是第三級運算，優(yōu)先于乘除法，落后于小括號。但乘法有結合律，不影響計算結果。（長方體、正方體）組合圖形的表面積由若干正方體、長方體組合而成的立體圖形的表面積計算方法：根據五年級下冊第一單元“觀察物體”的原理（相對面看到的外形相等，面積相等），計算出3個面能看到的面積，再擴大到2倍。例，叢書P13思考題，算出下列用1立方厘米的小正方體搭成的圖形的表面積。因為這個圖形是不規(guī)則圖形，要算出它的表面積比較困難，要數出有幾個面積是1平方厘米的小正方形?？梢杂谩坝^察物體”的方法：從正面可以看到6個面，從右面可以看到4個面，從上面可以看到5個面，因此總共可以看到15個面，而從反面、左面、下面三個相對的面看到的也分別相同，所以共有15×2＝30個面，表面積就是30平方厘米。竅門：因為本來看這個圖形就能看到3個面，只要數出能“看到”的面的個數，再擴大到2倍即可——根本不用“觀察物體”那么麻煩！這種方法也適合所有“凸立體圖形”，即沒有凹進去的部分的立體圖形。例，課本P37第9題：頒獎臺如右圖，前后面涂黃色油漆，其它露出來的面涂紅色油漆，求涂兩種油漆的面積各是多少？求黃色油漆的面積略，求出3個長方形的面積加起來，得數再擴大到2倍（前后都有）即可。而計算紅色油漆的一般方法是一面面地算出面積，再進行加和，比較麻煩。可以運用“觀察物體”的方法：已知：a＝120cmb＝40cm已知：a＝120cmb＝40cmh＝65cm求：S上左右S上左右＝ab＋2bh＝120×40＋2×40×65＝10000（cm2）答：涂紅色油漆的面積是10000平方厘米。規(guī)律：只要從某一方向看形狀不變，那么從那一方向上所看到的表面積也不變。長方體和正方體的體積（一）體積物體所占空間的大小叫做物體的體積。（二）體積單位計量體積要用體積單位，常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以分別寫成cm3，dm3和m3。棱長是1cm的正方體，體積是1cm3。一個手指尖的體積大約是1cm3。棱長是1dm的正方體，體積是1dm3。一個粉筆盒的體積大約是1dm3。棱長是1m的正方體，體積是1m3。1m3的空間大約能容納10個同學（是一個比較大的體積單位）。在工程上，“1m3”的土、沙、石等均簡稱“1方”。棱長是1mm的正方體，體積是1mm3。一粒砂子的體積大約是1mm3。附：身邊物體的體積及其單位橡皮的體積約是10cm3，課本的體積約為150cm3，魔方的體積約為1dm3，影碟機的體積約是4dm3，講臺桌的體積約為3，集裝箱的體積約是40m3，教室的體積約為134m3。（三）長方體和正方體的體積可以用小正方體拼組成長方體的方法來求長方體的體積。如：用棱長為1cm的小正方體拼成長4cm，寬3cm，高2cm的長方體，長需要4個，寬需要3個，高需要2個，共24個，因此推出：長方體的體積＝長×寬×高V長方體＝abh而正方體可以看成是長寬高都相等的長方體，所以：正方體的體積＝棱長×棱長×棱長V正方體＝a3例，課本P30例題第一題，計算長方體和正方體的體積。已知：a＝5dm求：已知：a＝5dm求：V正TV正T＝a3＝53＝5×5×5＝125（m3）答：正方體的體積是125立方米。已知：a＝8cmb＝3cmh＝4cm求：V長TV長T＝abh＝8×3×4＝96（m3）答：長方體的體積是96立方米。注：一般“＝5×5×5”可以略去不寫。已知：a＝5mS已知：a＝5mS左＝2求：V長TV長T＝S左·a＝×5＝（m3）答：長方體木料的體積是立方米。長方體（或正方體）的體積＝底面積×高用字母S表示底面積，公式可以寫成：V＝Sh而長方體有3個不同的面，公式可推廣為V長方體＝S底h，V長方體＝S左a，V長方體＝S前b已知：S底＝4dm2h＝6dm求：已知：S底＝4dm2h＝6dm求：V長TV長T＝S底·h＝4×6＝24（dm3）答：這個長方體紙盒的體積是24立方分米。例，有一個長方體紙盒，底面為4平方分米的正方形，高為6分米，求它的體積是多少？（四）用小正方體拼大正方體因為大正方體的棱長是小正方體的倍數，而V正T＝a3，體積的倍數等于棱長的倍數的三次方，因此要拼成棱長是2倍的大正方體就需要小正方體23個，即8個。所以，用小正方體拼大正方體時所需要的小正方體的個數分別是：23、33、43…，推薦記住10以內（包括10）的數的立方：1,8,27,64,125,216,343,512,729，1000。例，把棱長為8cm的正方體分割成棱長為2cm的小正方體，可以分成幾個？解答，大正方體棱長是小正方體的8÷2＝4倍，所以體積是43＝64倍，即可以分成64個小正方體。也可以直接寫出綜合算式：(EQ\F(8,2))3＝43＝64（五）體積單位間的進率從正方體可以推出，1dm3的正方體可以分成10×10×10＝1000個1cm3的小正方體，以此類推，得出相鄰兩個體積單位間的進率是1000。與長度單位、面積單位的關系見下表：單位類型單位名稱相鄰兩個單位間的進率長度m、dm、cm10面積m2、dm2、cm2102＝100體積m3、dm3、cm3103＝1000圖形切割前后棱長總和、表面積和體積的增減已知：a＝8m求：S已知：a＝8m求：S增、C增S增＝2a2C增＝8a＝2×（8×8）＝8×8＝128（m2）＝64（m）答：分割后表面積增加了128平方米，棱長總和增加了64米。想象：“一刀切”長方體（或正方體）為兩個長方體（或正方體），多出了2個面,多出了4條邊（也就是棱）?？梢愿鶕懈畹拇螖祦碛嬎阍黾拥谋砻娣e和棱長總和。例，把一個棱長為8m的正方體分成兩個完全相同的長方體，問表面積和棱長總和各增加了多少？例，將27個棱長為1cm的小正方體拼成一個大正方體，表面積減少了多少？已知：a＝1cm求：S增a已知：a＝1cm求：S增a’＝3a＝3（cm）S增＝12a’2＝12×（3×3）＝108（cm2）答：分割后表面積增加了108平方厘米。容積和容積單位（一）基本概念箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。（容器所能容納物體的體積，叫做這個容器的容積。）計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和ml。1L＝1000ml1L＝1dm31ml＝1cm31m3＝1000dm3＝1000L＝1,000,000ml長方體或正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同，但要從容器里面量長、寬、高。也就是說，容積也是一種體積，容積單位也是體積單位，只不過當容器容納的物體是液體時，一般使用液體的體積單位（L和ml）。此外，家用電器如微波爐、冰箱、熱水器的容積也常用L來做單位（雖然它們裝的不都全是液體）。（二）常見容器容積固體：粉筆盒1dm3，微波爐12dm3，集裝箱40m3液體：口服液10ml，礦泉水600ml，大瓶飲料，食用油5L（三）用“排水法”求不規(guī)則物體的體積形狀不規(guī)則的物體，可以用它們完全浸入水中時所排出的水的體積來計算它們的體積。V物體＝V排出的水，根據容器形狀的不同所采用的公式不同。一般考查長方體容器，公式為物體體積＝排出的水的體積＝容器長×容器寬×水面升高的高度V△＝abh△＝ab（h’－h(huán)）已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cm已知：a＝15cmb＝10cmh＝5cmh’＝7cm求：V4個雞蛋V4個雞蛋＝ab（h’－h(huán)）＝15×10×（7－5）＝300（cm3）300÷4＝75（cm3）答：平均每個雞蛋的體積是75立方厘米。思考過程：先求四個雞蛋共排出水的體積（運用長方體），再求一個雞蛋平均排出水的體積，也就是一個雞蛋的體積。常考題（棱長、棱長總和、表面積與體積的轉換，等等）類型一：用鐵絲圍（棱長總和不變）已知：a正已知：a正＝5ma＝6mb＝5m求：hC正＝12a正h＝C÷4－a－b＝12×5＝60÷4－6－5＝60（m）＝4（m）答：圍成的長方體的高是4米。思考過程：同樣的鐵絲長度相等，也就是棱長總和相等，先算出正方體棱長總和，再根據公式求長方體的高的長度。已知：a正＝9dm已知：a正＝9dma＝4dmb＝3dm求：hV正＝a正3h＝V÷a÷b＝93＝729÷4÷3＝729（dm3）＝（dm）＝答：鍛造成的鋼塊的高是米。把一塊棱長9dm的正方體鋼坯鍛造成一個長為4dm，寬為3dm的長方體鋼塊，則這個鋼塊的高是多少米？思考過程：鍛造不改變鋼材體積（不考慮鍛造損耗），所以先算出正方體體積，再根據公式求長方體的高度。注意，這題當中，問題問的是“多少米”，而給的條件是分米，所以在計算之后，要進行單位轉化。已知：a＝10m已知：a＝10mb＝8mh＝30dm＝3m求：S教室S教室＝2（a＋b）h＋ab＝2×（10＋8）×3＋10×8＝108＋80＝188（m2）粉刷面積：188－23＝165（m2）粉刷價錢：165×4＝660（元）答：粉刷面積是165平方米，一共需要660元。類型三：局部粉刷求價錢（部分表面積）粉刷一間長10m，寬8m，高30dm的教室，要求粉刷教室的屋頂和四面墻壁，除去們窗的黑板的面積23平方米，問粉刷的面積是多少平方米？如果每平方米的粉刷成本是4元，一共需要多少錢？思考過程：要先弄清楚粉刷的面積，也就是要明確粉刷表面積的哪幾個面，最后再計算價錢，注意單位不統(tǒng)一時要先化成同一單位才能計算。類型四：切割后成為正方體時的面積增減（增減了幾個面）一個長方體，高減少5dm，正好成為一個正方體，這時表面積減少了200dm2，求原來的長方體的體積是多少？已知：h變＝5dmS四個面＝200dm2已知：h變＝5dmS四個面＝200dm2求：V長方體S變＝S四個面÷4＝200÷4＝50（dm2）a＝S變÷h變＝50÷5＝10（dm）h＝a＋h變＝10＋5＝15（dm）V長T＝abh＝10×10×15＝1500（dm3）答：原來長方體的體積是1500立方分米。類型五：由長方體的表面積求高一個游泳池表面積236m2，已知這個游泳池長24m，寬5m，那么這個游泳池有幾分米深？已知：S游泳池＝236m已知：S游泳池＝236m2a＝24mb＝5m求：hS側＝S游泳池－S底h＝S側÷2÷（a＋b）＝S游泳池－ab＝116÷2÷（24＋5）＝236－24×5＝2（m）＝116（m2）＝20（dm）答：這個游泳池深20分米。最后注意單位轉換。已知：h＝20dma＝b已知：h＝20dma＝b側面展開是正方形求：S、Va＝b＝h÷4＝20÷4＝5（dm）S＝2（ah＋bh＋ab）V＝abh＝2×（5×5＋5×20＋5×20）＝5×5×20＝2×225＝500（dm3）＝450（dm2）答：這個長方體的表面積是450dm2，體積是500dm3。一個高20分米的長方體，底面是正方形，而將它的側面展開也正好形成一個正方形，求這個長方體的表面積和體積？思考過程：因為底面是正方形，所以側面是4個完全相同的長方形，展開后能形成正方形，說明長方形的長是寬的4倍（如右圖），因此“寬”（即原來的底面邊長）就是20÷4＝5分米，一旦知道了長方體的長、寬、高，問題就迎刃而解。探索圖形序號（無關可忽略）棱長塊數三面涂色的塊數兩面涂色的塊數一面涂色的塊數沒有涂色的塊數總共的塊數1280008238126127348242486445836542712556848966421667860150125343…n-1n812（n-2）6（n-2）2（n-2）3n3第四單元分數的意義和性質分數的產生在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數的結果，這時常用分數來表示。比較小數的概念：“當測量物體時往往會得到的不是整數的數，就可以用小數來表示?！闭f明分數和小數是相互聯系的（詳見后面），都是用來補充整數的。分數的意義、讀寫法和分數單位一個物體、一些物體等都可以看做一個整體（可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”），把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。這就是分數的意義。分數的寫法：先寫分數線表示“平均分”，再寫分母表示總的分成幾份，最后寫分子表示取其中的幾份。分數的讀法：先讀分母，然后把分數線讀作“分之”，最后讀分子。如，EQ\F(3,10)讀作“十分之三”，EQ\F(2,3)讀作“三分之二”。分數單位：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份的數叫分數單位。如EQ\F(2,3)的分數單位就是EQ\F(1,3)，EQ\F(3,10)的分數單位就是EQ\F(1,10)。最大的分數單位是EQ\F(1,1)，沒有最小的分數單位。在研究一個分數時，必須時刻注意分數的意義，要結合實際情境來說分數的意義。而在說分數的意義的時候，特別要注意的是單位“1”，要明確分數表示的單位“1”是哪個或哪些數量。例，說出下面分數的意義：課本P63第2、3題每個茶杯是這套茶杯的EQ\F(1,3)。單位“1”是“這套茶杯”，要求的分量是“每個茶杯”。分數的意義：把這套茶杯平均分成3份（即3個），每個茶杯占其中的1份，是這套茶杯的EQ\F(1,3)。每塊月餅是這盒月餅的EQ\F(1,8)。單位“1”是“這盒月餅”，要求的分量是“每塊月餅”。分數的意義：把這盒月餅平均分成8份（即8塊），每塊月餅占其中的1份，是這盒月餅的EQ\F(1,8)。每袋粽子是這些粽子的EQ\F(1,4)。單位“1”是“這些粽子”，要求的分量是“每袋粽子”。分數的意義：把這些粽子平均分成4份（即4袋），每袋粽子占其中的1份，是這些粽子的EQ\F(1,4)。每種顏色的跳棋是這盒跳棋的EQ\F(1,6)。單位“1”是“這盒跳棋”，分量是“每種顏色的跳棋”。分數的意義：把這盒跳棋（的跳棋棋子）平均分成6份（即有6種顏色的棋子），每種顏色的跳棋占其中的1份，是這盒跳棋（的跳棋棋子）的EQ\F(1,6)。課本P64第7題頭部的高度約占身高的EQ\F(1,8)。分數的意義：把身高平均分成8份，頭部的高度占其中的1份，是身高的EQ\F(1,8)。長江干流約EQ\F(1,5)的水體受到不同程度的污染。分數的意義：把長江干流（的水體）平均分成5份，受到不同程度污染的水體占其中的3份，是長江干流（的水體）的EQ\F(1,5)。死海表層的水中含鹽量達到EQ\F(3,10)。分數的意義：把死海表層的（鹽）水（的重量）平均分成10份，鹽（的重量）占其中的3份，是死海表層的（鹽）水的EQ\F(3,10)。課本P68第6題（分量有具體數量的要在最后說明）先找準單位“1”：“這盒橙子”、“這板電池”分數的意義：把這盒橙子平均分成5份，每袋橙子占其中的1份，是這盒橙子的EQ\F(1,5)，有3個橙子。分數的意義：把這板電池平均分成4份，每對電池占其中的1份，是這板電池的EQ\F(1,4)，有2個電池。注意：講“分數的意義”的時候，總量（分母）和分量（分子）的單位必須是相同的，才能比較，如“每袋橙子占這盒橙子的EQ\F(1,5)”中暗含“這盒橙子=5袋橙子”的意思，因此EQ\F(1,5)表示“把這盒橙子平均分成5份（5袋），每袋橙子占其中的1份”。分數與除法根據分數的意義（將單位“1”平均分成若干份，取其中的一份或幾份），而平均分成幾份就是除以幾，取幾份就是乘以幾，因此發(fā)現了分數與除法的關系：被除數÷除數＝EQ\F(被除數,除數)或a÷b＝EQ\F(a,b)（b≠0）因為在除法中除數不能為0，因此分數中分母也不能為0。根據分數與除法的關系，可以有以下四個方面的應用：1、算出一個分數的具體數值，將分數轉化成小數如，EQ\F(1,5)＝1÷5＝，EQ\F(3,10)＝3÷10＝，EQ\F(4,9)＝4÷9＝0.，EQ\F(18,6)＝3。2、將小數轉化成特殊的分數，利用其進行單位轉換例，課本P67第3題9cm＝dm將單位是cm的整數轉化成單位是dm的分數，就要以“1dm”為單位“1”，將1dm平均分成10份（每份就是1cm），9cm占其中的9份，是1dm的EQ\F(9,10)，也就是EQ\F(9,10)dm。因此9cm＝EQ\F(9,10)dm79dm＝m將單位是dm的整數轉化成單位是m的分數，就要以“1m”為單位“1”，將1m平均分成10份（每份就是1dm），79dm占其中的79份，是1m的EQ\F(79,10)，也就是EQ\F(79,10)m。因此79dm＝EQ\F(79,10)m比較以上題目，發(fā)現：將單位較小的整數數量，轉化成單位較大的分數數量，分數的分母就是這兩個單位的進率，分數的分子就是原來那個整數。這也可以由口訣“低聚高，除以進率”得到（詳見“四年級知識點匯總”）——整數除以進率，就是把這個整數當做分子，把進率當做分母得到分數。3、求一個數量是另一個數量的幾分之幾求一個數量是另一個數量的幾分之幾，就是把第二個數量當做單位“1”，把它分成若干份，取其中第一個數量那幾份，也就是用第一個數量除以第二個數量。用字母表示：求A是B的幾分之幾，就是用A除以B，就是A÷B＝EQ\F(A,B)例，課本P68第9題求一張課桌的長度是紡錘樹最粗直徑的幾分之幾，就是用一張課桌的長度去除以紡錘樹最粗直徑的長度。1÷5＝EQ\F(1,5)，一張課桌的長度是紡錘樹最粗直徑的EQ\F(1,5)。注意：這里容易把一張課桌的長度占紡錘樹最粗直徑的分數EQ\F(1,5)和一張課桌的長度的具體數值弄混，這是請參看此分數的意義：將紡錘樹最粗直徑平均分成5份，一張課桌的長度占其中的1份，是紡錘樹最粗直徑的EQ\F(1,5)，具體數值為5÷5＝EQ\F(5,5)或1（m）。將小數化成分數在后面比較分數和小數的定義時說到。真分數、假分數和帶分數（一）概念分子比分母小的分數叫真分數。真分數小于1。當一個分數的分母確定時，真分數的個數也隨之確定，而且總比分母少1。如，以9為分母的真分數有9-1＝8個，分別是EQ\F(1,9)，EQ\F(2,9)，EQ\F(3,9)，EQ\F(4,9)，EQ\F(5,9)，EQ\F(6,9)，EQ\F(7,9)，EQ\F(8,9)。其中最小的那個就是這些分數的分數單位，即EQ\F(1,9)是這8個分數的分數單位。分數單位都是真分數。當分母確定時，最大的真分數的分子比分母少1，如，以9為分母的真分數最大是EQ\F(8,9)。分子大于或等于分母的分數叫做假分數。假分數大于或等于1。當一個分數的分母確定時，有最小的假分數，這時分子等于分母，分數的數值等于1。如，以12為分母的分數中，假分數最小為EQ\F(12,12)。沒有最大的假分數。也就是說，當分母確定時，真分數的個數是有限的，假分數的個數是無限的。反之，當分子確定時，真分數的個數是無限的，假分數的個數是有限的（與分子相同）。由一個整數和一個真分數合成的分數叫做帶分數，帶分數都大于1。帶分數的讀法是用“又”字連結整數和分數部分，寫法是將整數與分數部分緊靠。如，1EQ\F(1,5)讀作“一又五分之一”，12EQ\F(312,406)讀作“十二又四百零六分之三百一十二”因為帶分數都大于1，是假分數（大于或等于1）的一部分，因此帶分數是一部分（不能化成整數的）假分數的特殊表現形式。真分數、假分數和帶分數的關系如右圖：（二）假分數、帶分數和整數的互相轉化根據分數與除法的聯系，可以將假分數、帶分數和整數的互相轉化。將假分數轉化成帶分數或整數在假分數中，當分子是分母的倍數的時候，能化成整數，就是將分子除以分母所得到的商。如：EQ\F(18,9)＝18÷9＝2，EQ\F(13,13)＝13÷13＝1，EQ\F(90,15)＝90÷15＝6在假分數中，當分子不是分母的倍數的時候，能化成帶分數，將分子除以分母所得的商作為帶分數的整數部分，余數作為分數部分的分子，分母不變。如：EQ\F(16,9)＝16÷9，因為16÷9＝1……7，所以EQ\F(16,9)＝1EQ\F(7,9)EQ\F(20,7)＝20÷7，因為20÷7＝2……6，所以EQ\F(20,7)＝2EQ\F(6,7)注意：以上式子千萬不能寫成連等式EQ\F(16,9)＝16÷9＝1……7，不能將整數與分數混淆。聯系：將假分數轉化成整數或帶分數的區(qū)別就在于分子是否是分母的倍數。如果是帶分數，可以看成是可以整除的部分加上不能整除的部分。如，EQ\F(40,9)＝EQ\F(36,9)＋EQ\F(4,9)＝4＋EQ\F(4,9)＝4EQ\F(4,9)此外，在解題當中，為了便于查看和檢查，一般也要將假分數化成帶分數。（考試不要求，而且假分數和帶分數的意義也不相同，請自己理解。）將帶分數或整數轉化成假分數將帶分數轉化成假分數的方法與前面類似，分母不變，將帶分數的整數部分化成假分數，再與分子相加得到新的分子。如，7EQ\F(4,9)＝EQ\F(7×9＋4,9)＝EQ\F(67,9)，9EQ\F(3,5)＝EQ\F(9×5＋3,5)＝EQ\F(48,5)將整數轉化成假分數，就是讓假分數的分子除以分母的商是這個整數，答案有無數個，題目一般會給定分子或分母。如，2＝EQ\F(10,5)＝EQ\F(24,12)＝EQ\F(154,77)，5＝EQ\F(35,7)＝EQ\F(75,15)＝EQ\F(145,29)又如，把7轉化成分子是28的分數7＝EQ\F(28,4)，轉化成分母是9的分數7＝EQ\F(63,9)。不規(guī)范的帶分數與假分數和整數之間的轉化叢書P38第3大題中有一個小題5＝3帶分數的整數部分是3，分數部分是，而這兩個部分之和是5，因此這題相當于求＝5－3＝2，,6×2＝12，所以要填12。然而3EQ\F(12,6)的分數部分是假分數，不符合帶分數的定義，因此是不規(guī)范的帶分數。平時我們在寫帶分數時一定不要這么寫，但如果題目有出到，我們要懂得它的意思并能解答即可。（三）圖形中的真分數、假分數和帶分數在習題或考試當中，常有給定圖形（陰影或空白部分）寫分數或給定分數涂色（陰影）的題目，關鍵是找到相應的單位“1”。例，課本第63頁第1題單位“1”就是整個圖形，把整個圖形平均分成幾份，涂色部分占幾份，就是幾分之幾。答案分別是EQ\F(3,4),EQ\F(5,9),EQ\F(3,5)和EQ\F(2,4)。最后一題也可以看成是平均分成2份，答案也可以是EQ\F(1,2)。分數的基本性質分數的分子和分母同時乘或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。這叫做分數的基本性質。根據分數和除法之間的聯系，也可以把分數看成是用分子除以分母的除法算式，因此分數的基本性質也就是“把被除數和除數同時乘或除以相同的數（0除外），商不變”即商不變性質的另一種說法。因此我們也可以將分數的基本性質和商不變規(guī)律結合起來記憶。利用分數的基本性質，我們可以將分數化成給定分子或分母的等值分數。例，＝＝，＝＝，＝＝＝＝最大公因數概念兩個數公有的因數，叫做它們的公因數。因為每個非0自然數都含有因數1，因此任意兩個數的公因數都有1，它們的最小的公因數也就是1。兩個數的公因數中，最大的公因數，叫做它們的最大公因數。兩個數的所有公因數也都是它們最大公因數的因數。求最大公因數的方法以求18和24的最大公因數為例，介紹3種主要的方法。枚舉法將兩個數的所有因數寫出來，找出相同的因數，即為公因數，其中最大的就是這兩個數的最大公因數。18的因數有：1,2,3,6,9,1824的因數有：1,2,3,4,6,8,12,2418和24的公因數有：1,2,3,618和24的最大公因數是：6短除法要求出兩個數的最大公因數，可以先找出這兩個數有哪些公因數，將這兩個數同時除以相同的質因數（是質數的因數），能除以的質因數的積就是最大公因數。如圖更相減損法《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數的最大公約數，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”——百度百科“更相減損術”簡單說來，就是將兩個數大數減去小數，得到的差再和小數相減，如此反復多次，直到差和減數相等為止。24－18＝6,18－6＝12,12－6＝6，這時6就是18和24的最大公因數。更相減損法可以幫助我們檢驗短除法等其它方法的結果。其他示例：36和4848－36＝1236－12＝2448－36＝1236－12＝2424－12＝1236的因數：1,2,3,4,6,9,12,18,3648的因數：1,2,3,4,6,8,12,16,24,4836和48的最大公因數：1298－70＝2870－28＝4298－70＝2870－28＝4242－28＝1428－14＝1498的因數：1,2,7,14,49,9870的因數：1,2,5,7,1014,35,7098的因數：1,2,7,14,49,9870的因數：1,2,5,7,1014,35,7098和70的最大公因數：14互質數公因數只有1的兩個數，叫做互質數。因為兩個互質數只有公因數1，因此它們的最大公因數也是1。兩個互質數的最小公倍數是它們的乘積。運用短除法求兩個數的最大公因數，除到最后剩下的結果一定是兩個互質數（否則的話還可以繼續(xù)除以其它不是1的因數）。公因數只有1的兩個數的關系叫做“互質”，如5和7是互質數，或者說5和7互質。兩個數是互質數的情況有以下幾種：結論舉例1和其他數字互質1和9、1和26質因數只有2的數和所有奇數互質16和37、128和253兩個不同的質數互質17和37、61和89無倍數關系的合數和質數互質7和22、17和86較大數是質數的兩個數互質（可以由上一條推理出來）4和19、18和97兩個連續(xù)的非0自然數互質6和7、18和19相鄰的兩個奇數互質3和5、13和15掌握了兩個數互質的情況，可以幫助我們快速判斷短除法是否結束。約分（一）約分把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。約分的根據是“分數的基本性質”：將分子與分母同時除以一個相同的數（0除外），使得分子和分母都變得比較小的同時分數的大小不變。約分可以先約一些較小的數，反復幾次完成，也可以一步到位（即同時除以分子和分母的最大公因數）。如EQEQ\F(24,30)可以在約分時這樣寫：（二）最簡分數分子和分母只有公因數1，像這樣的分數叫做最簡分數。最簡分數的分子和分母互質。如右上方圖，EQ\F(24,30)的分子和分母先同時除以2，得到EQEQ\F(12,15)，再同時除以3，得到EQ\F(4,5)，這時分子和分母只有公因數1（互質），因此EQ\F(4,5)是一個最簡分數。反復約分的最終結果是一個最簡分數。在約分時，分子和分母同時除以它們的最大公因數，得到的約分結果就是一個最簡分數。（三）約分的注意事項1、約分一般要約到最簡分數，除非題目要求約到給定的分子或分母時。2、要判斷是否約到了最簡分數，要明確分子和分母是否還有共同因數，因此要使約分更加正確、高效，就必須對分子和分母（數字）的因數以及各個數字的倍數非常了解。常見易錯數字的倍數：（請參考20×20乘積表，掌握400以內數的因數和倍數）7的倍數：7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112,119,126,13312的倍數：12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132,144,156,168,180,192,204,21613的倍數：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,23417的倍數：17,34,51,68,85,102,119,136,153,170,187,204,22119的倍數：19,38,57,76,95,114,133,152,171,190,20929的倍數：29,58,87,116,145,174,203,232,261最小公倍數概念兩個數公有的倍數，叫做它們的公倍數。兩個數的公倍數中，最小的公倍數，叫做它們的最小公倍數。兩個數的所有公倍數也都是它們最小公倍數的倍數。求最小公倍數的方法以求18和24的最小公倍數為例，介紹2種主要的方法。大數翻倍法將較大的數乘以2，3,4，…，看看它的哪個倍數也是較小數的倍數，即是這兩個數的最小公倍數。24的倍數有：24,48,72,96,120,144，…其中72、144也是18的倍數，因此18和24的最小公倍數就是72。短除法要求出兩個數的最小公倍數，可以先找出這兩個數的最大公因數，將這兩個數獨有的因數和它們公有的因數相乘，就得到它們的最小公倍數。如圖其他示例：36和4848的倍數：48,96,144,192,240，48的倍數：48,96,144,192,240，…36和48的最小公倍數：14498和7098的倍數：98,196,294,392,490，98的倍數：98,196,294,392,490，…98和70的最小公倍數：490（三）求多個數（三個及以上）的最小公倍數求多個數（三個及以上）的最小公倍數，如果其中有幾個數字有倍數關系，那么只要考慮較大的數字和其它數字的最小公倍數即可（因為較大數字的倍數這時肯定也是較小數字的倍數），如求10,12,20的最小公倍數就只要求20和12的最小公倍數即可，6、8、12的最小公倍數就是12和8的最小公倍數，7,20,28的最小公倍數也只是20和28的最小公倍數。三個數的最小公倍數的求法和兩個數的類似，只不過只要其中2個數有共同質因數，就把它們除以這個相同的質因數，第3個數字照抄，直到3個得數兩兩互質為止（即把可能重復的質因數都找出來為止）。如求12、15、20的最小公倍數，用短除法如下：其它示例：6、8、9以及16、24、30的最小公倍數通分（一）通分把異分母分數分別化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。通分的根據也是“分數的基本性質”：將分子與分母同時乘以一個相同的數（0除外），使得分子和分母變成一樣的同時分數的大小不變。通分一般要將異分母的分數化成以異分母的最小公倍數為公分母的同分母分數。（二）通分的應用異分母分數由于分母不同，分數單位也不同，無法進行直接的比較和計算，因此通分可以作為分數比大小和計算的先行步驟。分數的大小比較真分數、假分數與帶分數真分數都小于1，假分數都大于或等于1，帶分數都大于1，因此假分數或帶分數都大于真分數，假分數與帶分數的大小比較見后面（先將帶分數化成假分數再進行比較）。例：EQ\F(4,7)＜1＜EQ\F(5,3)EQ\F(3,8)＜1＜2EQ\F(4,9)兩個同分母分數兩個分母相同的分數，說明它們平均分成的份數相同，因此只要比較它們的分子就可以了。即“分母相同，分子大的分數大”。例：EQ\F(4,7)＜EQ\F(5,7)＜EQ\F(6,7)EQ\F(3,8)＜EQ\F(5,8)＜EQ\F(7,8)兩個同分子分數兩個分子相同的分數，說明它們取的份數相同，因此分得的份數越多，每份就越小，比較方法是“分子相同，分母大的數反而小”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(4,7)＜EQ\F(4,5)EQ\F(7,17)＜EQ\F(7,15)＜EQ\F(7,13)分子、分母均不相同的兩個分數分子、分母均不相同的兩個分數，可以運用“分數的基本性質”，將它們都轉化成分母或分子（主要是分母）相同的分數，再進行比較。也可參考前面“通分”。例：EQ\F(4,9)＜EQ\F(7,12)（通分成EQ\F(16,36)＜EQ\F(21,36)）EQ\F(7,15)＞EQ\F(14,31)（化成分子相同EQ\F(14,30)＞EQ\F(14,31)）若干個分數（小數也可以比較，見后面“小數與分數互化”）有兩個以上的分數同時進行比較，也可以將它們都轉化成分母相同的分數（如果通分后公分母太大就不要通分了），還可以將分數都化成小數取合適的近似值進行比較。示例見后面。分數和小數的互化分數化成小數：運用分數與除法的聯系，將分數看成分子除以分母，可以算出相應的結果（整數或小數）。1、可以化成有限小數的分數：當一個最簡分數的分母中只含有質因數2和5（不含有其他質因數）那么這樣的分數就能化成有限小數。只含有質因數2和5的數有：2、4、8、16、……，5、25、125、……，10、100、1000、……，20、40、50、……，以這些數字為分母的最簡分數一定能化成有限小數。2、常見的需要記憶的分數：EQ\F(1,2)=EQ\F(1,4)=EQ\F(3,4)=EQ\F(1,5)=EQ\F(2,5)=EQ\F(3,5)=EQ\F(4,5)=EQ\F(1,8)=EQ\F(3,8)=EQ\F(5,8)=EQ\F(7,8)=EQ\F(1,20)=EQ\F(1,40)=EQ\F(1,25)=EQ\F(1,125)=……小數化成分數：根據小數的意義，將小數看成若干個分數單位（如：表示35個，即35個百分之一，也就是一百分之三十五，寫成EQ\F(35,100)，再約分成EQ\F(7,20)）。而當小數的整數部分不是0時，可以直接將整數部分當做化成帶分數的整數部分。如可以看成整數部分的4和68個百分之一，即＝4EQ\F(68,100)＝4EQ\F(17,25)比大小常見題目多個小數與分數比較大小例題：按從小到大的順序排列下列各數，EQ\F(1,2)、、EQ\F(3,8)、EQ\F(4,9)、EQ\F(9,20)分析與解答：觀察題目數據，EQ\F(4,9)不能化成有限小數，而且通分起來公分母會很大，因此對這些分數轉化成小數并取近似值（保留兩位小數），EQ\F(1,2)＝、EQ\F(3,8)＝、EQ\F(4,9)≈、EQ\F(9,20)＝，因為＜＜＜＜，所以EQ\F(3,8)＜＜EQ\F(4,9)＜EQ\F(9,20)＜EQ\F(1,2)。工作效率的比較例題：小王5分鐘打字90個，小李6分鐘打字100，小陸7分鐘打字120個個，問他們誰的打字速度最快，誰的最慢？分析與解答：“工作效率＝工作量÷工作時間”，在單位時間內打字字數最多的速度就快（工作效率就高）。如果按照工作效率比較，此題其實是在比較EQ\F(90,5)、EQ\F(100,6)、EQ\F(120,7)三個分數的大小，將它們都化成小數取近似值比較，EQ\F(90,5)＝18、EQ\F(100,6)≈、EQ\F(120,7)≈，因為18＞＞，所以EQ\F(90,5)＞EQ\F(120,7)＞EQ\F(100,6)，因此小王最快，小李最慢。第五單元圖形的運動（三）圖形的運動：本單元所說的“圖形的運動”指圖形的旋轉，另外兩種圖形的變換方式（平移、對稱）已經在以前的內容中學習，作為技能基礎。對應點：圖形中的某一點通過變換后形成的新的點，叫做這點的對應點。如三角形ABC繞點0旋轉形成新的三角形A’B’C’，其中A點的對應點是A’，以此類推。旋轉：一個物體繞著某一點或軸運動的方式叫做旋轉。如鐘面中，時針、分針、秒針都繞著同一個中心旋轉；又如風車、電風扇的葉片繞著中心軸旋轉。旋轉的規(guī)范說法是：XX物體，繞點X（旋轉中心），順（或逆）時針方向旋轉XX°。鐘面指針旋轉問題：鐘面被平均分為12個點鐘，因此每兩個點鐘之間的角度是360°÷12＝30°。如指針（時針、分針或秒針）從3點繞鐘面中心O點順時針旋轉60°到5點，從5點繞O點順時針旋轉120°到9點。而逆時針旋轉和順時針旋轉類似，同一結果如方法不同那么角度相加得360°，如順時針旋轉90°相當于逆時針旋轉270°，逆時針旋轉150°相當于順時針旋轉210°。結合相應的鐘面時間，可以考察不同指針的變化。如從4:30到5:30，時針繞O點順時針旋轉了30°，分針繞O點順時針旋轉了360°。作旋轉圖形的方法：要作一個圖形關于某點（旋轉中心）旋轉一定角度后的圖形，相當于有若干個指向每個關鍵點的指針同時進行旋轉后的結果。如要作四邊形ABCD繞著O點順時針旋轉90°后的圖形，則作圖步驟如下：（1）選取關鍵點因為“兩點可以確定一條直線”，四邊形ABCD只需要四個頂點就能確定，所以選擇四個頂點ABCD作為作圖的關鍵點。一般來說，多邊形的關鍵點是其頂點，其他圖形的關鍵點是線段的端點和交點。（2）連結關鍵點和對稱中心，形成“指針”，旋轉后確定各關鍵點的對應點因為旋轉前后圖形中四個關鍵點到對稱中心的距離都不變，可以分別連結ABCD四點和對稱中心，再分別繞O點進行旋轉，得到的點就是ABCD的對應點A’B’C’D’。注意，需要選擇其中一個“指針”形成的夾角，標上角度，以表示整個圖形的旋轉角度。（3）連結相應的對應點對照原圖形中的關鍵點，將對稱圖形中的對應點分別連結，形成對稱圖形四邊形A’B’C’D’。旋轉“元件“與旋轉角度利用旋轉可以作出許多美麗的圖形。由基本圖形“元件”通過旋轉形成中心對稱圖形時，要注意旋轉角度的確定（每次轉的角度＝360°÷單元件個數）和旋轉“元件”的多樣性。如紫荊花，有5個花瓣，旋轉角度是360°÷5＝72°，既可以看成是由一個花瓣旋轉而成的，也可以看成是、、甚至是旋轉而成的。旋轉角度和次數可以是72°轉5次，也可以是144°、216°、288°甚至是360°轉4、3、2次，等等。再如，既可以看成是由旋轉360°÷8＝45°或135°、225°、315°等，也可以看成是繞著圖形中心旋轉45°或其倍數若干次形成的。元件不止一種，切勿慣性思維。正多邊形、對稱中心與對稱軸課本86頁。長方體圍繞兩條對稱軸交點O旋轉180°、360°…與原圖形重合。一個平面圖形，圍繞某一點旋轉360°及其倍數都會與原圖形重合。像正方形、三角形、正六邊形等圖形，屬于正多邊形（各邊相等，各角也相等的）。它們圍繞著中心點旋轉360°÷n及其倍數（n為邊數），也會與原圖形重合。正n邊形有n條對稱軸。（參考百度百科“正多邊形”）圖形的連續(xù)運動課本87頁，要求說出“七巧板”的各塊是如何運動，形成“小魚”圖形的。方法不止一種，鍛煉的是表達能力。規(guī)范的表達語句：圖形X繞點X順（或逆）時針旋轉X°圖形X向上（或下、左、右）平移X格此外，還有一些其他表達方式：圖形X沿直線X左右翻轉（也叫“水平翻轉”），相當于旋轉180°再上下翻轉圖形X沿直線X上下翻轉（也叫“垂直翻轉”），相當于旋轉180°再水平翻轉不論怎樣表達，都要注意圖形的起始位置、達到位置以及圖形運動時的參照物（平移要看對應點，旋轉要看中心點，對稱、翻轉要看對稱軸）數學與藝術課本86頁。藝術家們利用幾何學中的平移、對稱和旋轉，設計出了許多美麗的圖案。我們可以利用可密鋪圖形進行改造，設計出其它也可以密鋪的不規(guī)則圖形?？梢悦茕伒某Ｒ妶D形有：平行四邊形、梯形、三角形、正六邊形、正方形、長方形、菱形。不可以密鋪的常見圖形有：圓形、正五邊形。原理：拆東補西，在有限范圍內肯定不能鋪滿，但在數學理想的無限狀態(tài)下可以“密鋪”。第六單元分數的加法和減法分數加減法與整數、小數加減法的聯系例題：EQ\F(3,8)例題：EQ\F(3,8)＋EQ\F(1,8)＝EQ\F(3＋1,8)＝EQ\F(4,8)＝EQ\F(1,2)EQ\F(7,12)＋EQ\F(11,12)＝EQ\F(7＋11,12)＝EQ\F(18,12)＝1EQ\F(6,12)＝1EQ\F(1,2)EQ\F(5,6)＋EQ\F(11,6)＝EQ\F(5＋11,6)＝EQ\F(16,6)＝EQ\F(8,3)＝2EQ\F(2,3)不同點：雖然三者都應當統(tǒng)一計數單位再計算，但表現形式不同：整數與小數是對齊數位再計算，分數是將分數單位化成一致（通分）再計算。同分母分數加、減法例題：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)例題：EQ\F(6,7)＋EQ\F(3,5)＝EQ\F(30,35)＋EQ\F(21,35)＝EQ\F(51,35)＝1EQ\F(16,35)EQ\F(13,9)－EQ\F(5,6)＝EQ\F(26,18)－EQ\F(15,18)＝EQ\F(11,18)EQ\F(5,8)＋EQ\F(7,12)＝EQ\F(15,24)＋EQ\F(14,24)＝EQ\F(29,24)＝1EQ\F(5,24)異分母分數加、減法異分母分數的分數單位不同，不能直接相加減，必須通分成同分母分數才能直接相加減。異分母分數通分一般以各自分母的最小公倍數為公分母。EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)EQ\F(5,7)－（EQ\F(3,8)－EQ\F(2,7)）＝EQ\F(5,7)－EQ\F(3,8)＋EQ\F(2,7)＝（EQ\F(5,7)＋EQ\F(2,7)）－EQ\F(3,8)＝1－EQ\F(3,8)＝EQ\F(5,8)例題：3EQ\F(5,7)－（EQ\F(7,8)＋EQ\F(5,7)）＝3EQ\F(5,7)－EQ\F(7,8)－EQ\F(5,7)＝（3EQ\F(5,7)－EQ\F(5,7)）－EQ\F(7,8)＝3－EQ\F(7,8)＝2EQ\F(1,8)分數加減混合運算的順序與整數、小數加減混合運算的順序相同，都是先算小括號里的，然后從左往右依次計算。（例題略，請參考“分數加減法混合運算的簡便計算”部分）分數加減混合運算的簡便計算例題2x＋EQ\F(5,8)＝解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝－例題2x＋EQ\F(5,8)＝解：2x＋EQ\F(5,8)－EQ\F(5,8)＝－EQ\F(5,8)2x＝32x÷2＝3÷2x＝1EQ\F(1,2)（EQ\F(4,5)＋EQ\F(3,4)）－x＝EQ\F(7,10)解：EQ\F(16,20)＋EQ\F(15,20)－x＝EQ\F(14,20)EQ\F(31,20)－x＋x＝EQ\F(14,20)＋xEQ\F(14,20)＋x－EQ\F(14,20)＝EQ\F(31,20)－EQ\F(14,20)x＝EQ\F(17,20)解分數加減法方程與解整數、小數方程相同，都要運用“等式的性質”，在方程兩邊同時加上或減去相同的數，最后使未知數X單獨出現在方程的左邊。（具體請見“五年級下冊分數加減法常見題型解析”）打電話“打電話”的最快方案就是要“使時間得到充分利用”。按照這種思路，每個人每次（每分鐘）都不閑著，都能通知一個人，因此接到通知的人數應當是隨著時間翻倍的。如下表：總時間（第幾分鐘）新接到通知的人數接到通知的總人數接到通知的學生數01011212243348748161551632316326463…………n2n-12n2n-1其中，因為每個人下一分鐘都會打電話給另一個人，因此“新接到通知的人數”等于上一分鐘“接到通知的總人數”，而“接到通知的學生數”比“總人數”少1是因為總有一個老師。（詳見另文，數學“傻問題”之六——“刻舟求劍”打電話？（五下））第七單元統(tǒng)計復式折線統(tǒng)計圖（這部分與四年級“單式折線統(tǒng)計圖”類似，所以主要看例題）折線統(tǒng)計圖的定義：折線統(tǒng)計圖是用一個單位長度表示一定數量，根據數量多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來形成的一種統(tǒng)計圖。它以折線的上升或下降來表示所統(tǒng)計數量的增減變化情況。折線統(tǒng)計圖的特點：折線統(tǒng)計圖既能表示出數量的多少（描點的高低），又能表示出數量的增減變化情況（折線的上升或下降）。折線的變化趨勢：上升（或增加）、下降（或減少）。折線統(tǒng)計圖的繪制方法（組成部分）：=1\*GB3①原點，即0點=2\*GB3②橫縱軸，橫軸一般是時間，縱軸一般是數量，要有類型和單位，如“年份/年”，縱軸中若有省略，則省略部分要用折線表示。=3\*GB3③網格線，網格線應當比描點往四周多出約1格（現在考卷中網格一般已經畫好了）=4\*GB3④描點，根據數據在網格線上描出相應的數據點來=5\*GB3⑤連線，把相鄰的兩個數據點用線段連接起來=6\*GB3⑥標注標題，在數據點旁合適的位置寫上數據大小，最后補充上標題，檢查總的來說有3步，描點，連線，寫數據。5、錯誤示例，請從中找出錯誤之處，至少10處。實際考題：根據下表畫出我國博物館數量折線統(tǒng)計圖，并解答問題。數量/個1218128913711371139414511519年份/年1997199819992000200120022003哪年我國博物館數量最多？哪年最少？答：2003年博物館數量最多，1997年最少。折線統(tǒng)計圖的特點是怎樣的？答：能反映出數量的增減變化情況。我國博物館數量這幾年來的總趨勢是怎樣的？答：我國博物館數量這幾年來呈逐年上升的趨勢。你還能提出兩個其它的數學問題嗎？答：=1\*GB3①我國2000年和2003年博物館總數為多少？1371＋1519=2890（個）=2\*GB3②我國1998~1999年增加的博物館數量比2002~2003年增加的多多少？（1371－1289）（1371－1289）－（1519－1451）=82－68=14（個）6、正確示例，請跟錯誤示例進行比較，分析、學習可能的錯誤點在哪！實際考題：根據下表畫出我國博物館數量折線統(tǒng)計圖，并解答問題。數量/個1218128913711371139414511519年份/年1997199819992000200120022003改正之處