華附?省實?廣雅?深中2023屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：華南師大附中定稿人：畢福明?林琪本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名?姓名?考號?座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.3.已知在等腰中，，點在線段上，且，則的值為（）A.B.C.D.4.古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長）.如圖直角梯形，已知，則重心到的距離為（）A.B.C.3D.25.已知雙曲線的焦點關(guān)于漸近線的對稱點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2B.C.D.6.已知數(shù)列滿足，則的前項積的最大值為（）A.B.C.1D.47.若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.知函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.8.如圖，在三棱錐中，平面，段和線段上任意一點，則的最小值為（）A.B.C.D.2二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.10.已知函數(shù)滿足，其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.可以等于5D.的最小值為211.已知為坐標(biāo)原點，點為拋物線的焦點，點，直線交拋物線于兩點（不與點重合），則以下說法正確的是（）A.B.存在實數(shù)，使得C.若，則D.若直線與的傾斜角互補，則12.已知定義在上的函數(shù)的圖象連續(xù)不間斷，當(dāng)時，，且當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞增C.若，則D.若是在區(qū)間內(nèi)的兩個零點，且，則三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，若過定點有且僅有一條直線被圓截得弦長為2，則可以是__________.（只需要寫出其中一個值，若寫出多個答案，則按第一個答案計分.）14.已知在四面體中，，則該四面體外接球的表面積為__________.15.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是__________.16.已知數(shù)列滿足，記，（其中表示不大于的最大整數(shù)，比如），則__________.（參考數(shù)據(jù)：）四，解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（10分）已知正項數(shù)列的前項和為.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.18.（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求的大??；（2）在邊上，且，求的最大值.19.（12分）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍末出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望.20.（12分）如圖，四棱錐中，已知，且與平面所成的角為.（1）證明：；（2）若點為的中點，求平面與平面夾角的余弦值.21.（12分）已知橢圓，斜率為的直線與橢圓只有一個公共點（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于兩點，點在直線上，且軸，求直線在軸上的截距.22.（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)底數(shù)）.（1）求的最小值；（2）若過點可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）華附?省實?廣雅?深中2023屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)題號123456789101112答案BCBACCDCBDBCDACDABD1.【答案】B【解析】，，則，故選：.2.【答案】C【解析】.故選：C.3.【答案】B【解析】由圖，因為，故，可得，則，故選：.4.【答案】A【解析】直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺的體積為；，故記重心到的距離為，則，則，故選：.5.【答案】C【解析】如圖所示，關(guān)于漸近線的對稱點在雙曲線上，則.所以是的中位線，進(jìn)而.所以離心率，故選：.6.【答案】C【解析】由得：，兩式相除得：，即，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，由得：；記數(shù)列的前項積為，則，所以.故選：C.7.【答案】D【解析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，即方程有解，則即有解；設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），方程等價于在時有解，在時有解；在上單調(diào)遞增，，即實數(shù)的取值范圍為.故選：.8.【答案】C【解析】依題意得平面，則在中，故又所以即，當(dāng)時取等號當(dāng)時，為的中點，此時當(dāng)時，為的中點綜上所述的最小值是.故選：.9.【答案】BD【解析】對于，因為，故錯誤；對于，因為，所以，所以，故B正確；對于，因為，所以，所以，故錯誤；對于，因為，所以，故正確.故選：BD.10.【答案】BCD【解析】，因為，所以，故是的一個周期，故，即，又，故錯誤；因為，當(dāng)時，，由于是的一個對稱中心，B正確；由題有在上單調(diào)遞減，故有，化簡得，當(dāng)時，，因為，故可以取正確；因為，故，當(dāng)時，，可知正確；故選：BCD.11.【答案】ACD【解析】不妨把兩點設(shè)為，焦點為，對于選項，顯然成立，選項正確；對于選項，聯(lián)立直線與拋物線，得，所以，進(jìn)而，得，所以.所以，選項錯誤；對于選項，依題意，，結(jié)合，得或，進(jìn)而，選項正確；對于選項，依題意，整理得，代入解得或（舍去）.選項正確.故選：ACD.12.【答案】ABD【解析】對于，在中令，則，所以，故正確；對于，當(dāng)時，，對兩邊求導(dǎo)，則所以時，，所以，令，所以在上單調(diào)遞增，所以對；對于，由知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，由知不可能均大于等于1，否則，則，這與條件矛盾，舍去.①若，則，滿足條件，此時，；，②若，則，而，則所以，而，所以錯；對于，由在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，知，注意到，所以若，則，則，所以，這與矛盾，舍去.所以，在時，中，令，而由，所以，所以，故正確.故選：.13.【答案】1或（寫出一個即可）【解析】依題意，該直線過圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，，所以或.14.【答案】【解析】在平面的射影為三角形的外心.又，所以三角形的外接圓的半徑；設(shè)四面體外接球的半徑為.解得.所以外接球的表面積為.故答案為：.15.【答案】【解析】直線過定點過四個象限等價于與在軸的左右兩邊有異號交點，過作的切線，設(shè)切點為，，切線方程為，切線過，解得或（舍去），此時，當(dāng)時，，線段所在直線斜率為1；當(dāng)時，，射線所在直線斜率為，與軸交于，由圖象知滿足題意的的范圍是：.故答案為：.16.【答案】6064【解析】設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以存在使得，即，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，，又，所以，綜上，，所以.17.【解析】（1）因為①所以②②-①得，所以，因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，.又，所以，所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以的通項公式為；（2）.所以，因為，所以，所以.18.【解析】（1）因為，根據(jù)正弦定理可得：，可化為：，因為，所以，.所以原式可化為：，因為，所以，所以原式可化為，即.因為，所以.（2）因為，故，則.又則設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以，的最大值為.方法二：設(shè)，則，在中，由余弦定理有：，即①在和中，由及余弦定理有：整理得②①代入②，得：③由①③得：，下同方法一.19.【解析】（1）用表示“乙只贏1局且甲贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”，則.則，事件與事件互斥，各局比賽結(jié)果相互獨立.由概率加法公式和乘法公式，有.（2）的可能取值為2，3，4，5，，，.（或.）.故的分布列為2345所以.20.【解析】證明：（1）如圖所示，過點作面交面于點，連，延長交于點.因為與底面所成的角為；所以，所以.因為，則；因為，所以，且；又，所以平面，所以.又是等邊三角形，則；則，且，所以四邊形為平行四邊形，故；所以.（2）因為兩兩垂直，則以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的一個法向量為，則即，設(shè)平面的一個法向量設(shè)，則，即，，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.【解析】（1）依題意，直線的方程為，即由，消去得.由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，因為在橢圓上，所以解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.（2）方法一：依題意直線斜率不為0，可設(shè)直線為，則聯(lián)立橢圓方程，可得由韋達(dá)定理得，進(jìn)而，有由直線的方程為，得直線AC在軸上的截距為故直線在軸的上截距為.方法二：設(shè)，則，則直線的方程為，則直線在軸的截距為若垂直于軸，則，所以直線與軸交點為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有.直線在軸的截距為又因為所以所以，所以所以故直線在軸上的截距為.方法三：右焦點為，直線與軸相交于點為的中點為若垂直于軸，則，所以直線與軸交點為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有又，得，故直線的斜率分別為所以.因為所以，即，故三點共線.因為對于任意直線點都是唯一確定的，所以，直線與軸交點為，即直線在軸上的截距為.22.【解析】（1）函數(shù)定義域為，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，.所以.（2）設(shè)切點為，則，在處的切線為，由于切線過點，所以，而由（1），在上單調(diào)遞增，不同的值對應(yīng)的切線斜率不同設(shè)，所以過點可作曲線的兩條切線當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程有兩個實根.，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，至多有一個實根，不合題意；②當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.而時，時，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個實根，即當(dāng)且僅當(dāng)時，過點可作曲線的兩條切線.只需證時，.證法一：設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增