教學(xué)設(shè)計等差數(shù)列的前n項和(二)從容說課“等差數(shù)列的前n項和”第二節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，進(jìn)一步去了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；學(xué)會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值，學(xué)會其常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想.從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.通過本節(jié)課的教學(xué)使學(xué)生對等差數(shù)列的前n項和公式的認(rèn)識更為深刻.通過本節(jié)例題的教學(xué)，使學(xué)生能活用求和公式解題，并進(jìn)一步感受到數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式等方面的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對本節(jié)內(nèi)容認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成，通過探究一些特殊數(shù)學(xué)求和問題的思路和方法，體會數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.在本節(jié)教學(xué)中，應(yīng)讓學(xué)生融入問題情境中，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，通過觀察、操作、探索、交流、反思，來認(rèn)識和理解等差數(shù)列的求和內(nèi)容，學(xué)會學(xué)習(xí)并能積極地發(fā)展自己的能力.教學(xué)重點熟練掌握等差數(shù)列的求和公式.教學(xué)難點靈活應(yīng)用求和公式解決問題.教具準(zhǔn)備多媒體課件、投影儀、投影膠片等三維目標(biāo)一、知識與技能1.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；2.了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題；3.會利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值.二、過程與方法 1.經(jīng)歷公式應(yīng)用的過程，形成認(rèn)識問題、解決問題的一般思路和方法；2.學(xué)會其常用的數(shù)學(xué)方法和體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生的思維水平的發(fā)展.三、情感態(tài)度與價值觀通過有關(guān)內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用，使學(xué)生再一次感受數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活的實用性，引導(dǎo)學(xué)生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學(xué)地解決問題.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師首先回憶一下上一節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容.生我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項和的兩個公式：(1)；(2).師對，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項和的公式，了解等差數(shù)列的一些性質(zhì).學(xué)會了求和問題的一些方法，本節(jié)課我們繼續(xù)圍繞等差數(shù)列的前n項和的公式的內(nèi)容來進(jìn)一步學(xué)習(xí)與探究.推進(jìn)新課［合作探究］師本節(jié)課的第一個內(nèi)容是來研究一下等差數(shù)列的前n項和的公式的函數(shù)表示，請同學(xué)們將求和公式寫成關(guān)于n的函數(shù)形式.生我將等差數(shù)列{an}的前n項和的公式整理、變形得到：n.(*)師很好!我們能否說(*)式是關(guān)于n的二次函數(shù)呢?生1能，(*)式就是關(guān)于n的二次函數(shù).生2不能，(*)式不一定是關(guān)于n的二次函數(shù).師為什么?生2若等差數(shù)列的公差為0，即d=0時，(*)式實際是關(guān)于n的一次函數(shù)!只有當(dāng)d≠0時，(*)式才是關(guān)于n的二次函數(shù).師說得很好!等差數(shù)列{an}的前n項和的公式可以是關(guān)于n的一次函數(shù)或二次函數(shù).我來問一下：這函數(shù)有什么特征?生它一定不含常數(shù)項，即常數(shù)項為0.生它的二次項系數(shù)是公差的一半.……師對的，等差數(shù)列{an}的前n項和為不含常數(shù)項的一次函數(shù)或二次函數(shù).問：若一數(shù)列的前n項和為n的一次函數(shù)或二次函數(shù)，則這數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎?生不一定，還要求不含常數(shù)項才能確保是等差數(shù)列.師說的在理.同學(xué)們能畫出(*)式表示的函數(shù)圖象或描述一下它的圖象特征嗎?生當(dāng)d=0時，(*)式是關(guān)于n的一次函數(shù)，所以它的圖象是位于一條直線上的離散的點列，當(dāng)d≠0時，(*)式是n的二次函數(shù)，它的圖象是在二次函數(shù)的圖象上的一群孤立的點.這些點的坐標(biāo)為(n,Sn)(n=1，2，3，…).師說得很精辟.［例題剖析］【例】(課本第51頁例4)分析:等差數(shù)列{an}的前n項和公式可以寫成，所以Sn可以看成函數(shù)(x∈N*)當(dāng)x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道Sn關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的點.因此我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.(解答見課本第52頁)師我們能否換一個角度再來思考一下這個問題呢？請同學(xué)們說出這個數(shù)列的首項和公差.生它的首項為5，公差為.師對，它的首項為正數(shù)，公差小于零，因而這個數(shù)列是個單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)這數(shù)列的項出現(xiàn)負(fù)數(shù)時，則它的前n項的和一定會開始減小，在這樣的情況下，同學(xué)們是否會產(chǎn)生新的解題思路呢？生老師，我有一種解法：先求出它的通項，求得結(jié)果是an=a1+(n-1)d=.我令≤0，得到了n≥8，這樣我就可以知道a8=0，而a9＜0.從而便可以發(fā)現(xiàn)S7=S8，從第9項和Sn開始減小，由于a8=0對數(shù)列的和不產(chǎn)生影響，所以就可以說這個等差數(shù)列的前7項或8項的和最大.師說得非常好!這說明我們可以通過研究它的通項取值的正負(fù)情況來研究數(shù)列的和的變化情況.［方法引導(dǎo)］師受剛才這位同學(xué)的新解法的啟發(fā)，我們大家一起來歸納一下這種解法的規(guī)律：①當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的首項大于零，公差小于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達(dá)到最值時的n的值?生Sn有最大值，可通過求得n的值.師②當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的首項不大于零，公差大于零時，它的前n項的和有怎樣的最值?可通過什么來求達(dá)到最值時的n的值?生Sn有最小值，可以通過求得n的值.［教師精講］好!有了這種方法再結(jié)合前面的函數(shù)性質(zhì)的方法，我們求等差數(shù)列的前n項的和的最值問題就有法可依了.主要有兩種：(1)利用an取值的正負(fù)情況來研究數(shù)列的和的變化情況；(2)利用Sn：由利用二次函數(shù)求得Sn取最值時n的值.課堂練習(xí)請同學(xué)們做下面的一道練習(xí)：已知：an=1024+lg21-n(lg2=010)n∈*.問多少項之和為最大？前多少項之和的絕對值最?。?讓一位學(xué)生上黑板去板演)解：1°+13401＜n＜3403.所以n=3402.2°Sn=1024n+(-lg2)，當(dāng)Sn=0或Sn趨近于0時其和絕對值最小，令Sn=0，即1024+(-lg2)=0,得n=+1≈6.因為n∈N*，所以有n=6805.(教師可根據(jù)學(xué)生的解答情況和解題過程中出現(xiàn)的問題進(jìn)行點評)［合作探究］師我們大家再一起來看這樣一個問題：全體正奇數(shù)排成下表：1357911131517192123252729…………此表的構(gòu)成規(guī)律是：第n行恰有n個連續(xù)奇數(shù);從第二行起，每一行第一個數(shù)與上一行最后一個數(shù)是相鄰奇數(shù)，問2005是第幾行的第幾個數(shù)?師此題是數(shù)表問題，近年來這類問題如一顆“明珠”頻頻出現(xiàn)在數(shù)學(xué)競賽和高考中，成為出題專家們的“新寵”，值得我們探索.請同學(xué)們根據(jù)此表的構(gòu)成規(guī)律，將自己的發(fā)現(xiàn)告訴我.生1我發(fā)現(xiàn)這數(shù)表n行共有1+2+3+…+n個數(shù)，即n行共有個奇數(shù).師很好!要想知道2005是第幾行的第幾個數(shù)，必須先研究第n行的構(gòu)成規(guī)律.生2根據(jù)生1的發(fā)現(xiàn)，就可得到第n行的最后一個數(shù)是2×-1=n2+n-1.生3我得到第n行的第一個數(shù)是(n2+n-1)-2(n-1)=n2-n+1.師現(xiàn)在我們對第n行已經(jīng)非常了解了，那么這問題也就好解決了，誰來求求看?生4我設(shè)n2-n+1≤2005≤n2+n-1，解這不等式組便可求出n=45，n2-n+1=1981.再設(shè)2005是第45行中的第m個數(shù)，則由2005=1981+(m-1)×2，解得m=13.因此，2005是此表中的第45行中的第13個數(shù).師很好!由這解法可以看出，只要我們研究出了第n行的構(gòu)成規(guī)律，則可由此展開我們的思路.從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)，是迅速解答本題的關(guān)鍵.課堂小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)并探究了等差數(shù)列的前n項和的哪些內(nèi)容?生1我們學(xué)會了利用等差數(shù)列通項公式與前n項和的公式研究Sn的最值的方法：①利用an：當(dāng)an＞0，d＜0，前n項和有最大值.可由an≥0，且an+1≤0，求得n的值；當(dāng)an≤0，d＞0，前n項和有最小值.可由an≤0，且an+1≥0，求得n的值.②利用Sn：由Sn=n2+(a1-)n利用二次函數(shù)求得Sn取最值時n的值.生2我們還對等差數(shù)列中的數(shù)表問題的常規(guī)解法作了探究，學(xué)習(xí)了從整體上把握等差數(shù)列的性質(zhì)來解決問題的數(shù)學(xué)思想方法.師本節(jié)課我們在熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步去了解了等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會用它們解決一些相關(guān)問題.學(xué)會了一些常用的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，從而使我們從等差數(shù)列的前n項和公式的結(jié)構(gòu)特征上來更深刻地認(rèn)識等差數(shù)列.布置作業(yè)課本第52頁習(xí)題A組第5、6題.預(yù)習(xí)提綱：①什么是等比數(shù)列？②等比數(shù)列的通項公式如何求？板書設(shè)計等差數(shù)列的前n項和(二)Sn與函數(shù)的聯(lián)系例4求Sn最值的方法學(xué)生練習(xí)數(shù)表問題習(xí)題詳解(課本第52頁習(xí)題A組1.(1)n(n+1)(2)n2(3)180個，和為98550(4)900個，和為4945502.略.3.本題求解的關(guān)鍵在于要理解題意，然后能順利建立等差數(shù)列的模型，再求它的首項和公差，最后應(yīng)用公式來完成.答案：×104米.4.本題的求解的關(guān)鍵在于用好方程思想進(jìn)行求解.答案:4.5.這些數(shù)的通項公式為7(n-1)+2，項數(shù)15，和765.6.本題的求解的關(guān)鍵在于弄清這兩個等差數(shù)列的公共項應(yīng)滿足的條件.由這兩個等差數(shù)列的公共項組成的數(shù)列仍應(yīng)是等差數(shù)列，首項是2，公差為12，它共有16項.答案為1472.B組1.每月的維修費(fèi)成等差數(shù)列，求出5年內(nèi)總的維修費(fèi)用，再加上購買費(fèi)，除以天數(shù).答案：292元.2.因為S6=6a1+15d,S12=12a1+66d,S18=18a1+153d,所以S6+(S18-S12)=2(S12-S6).3.(1)首先求出最后一輛車出發(fā)的時間4時20分，所以到下午6時，最后一輛車行駛了1時40分.(2)先求出15輛車總共的行駛時間，第一輛車共行駛4小時，以后車輛行駛時間依次遞減，最后一輛行駛1小時40分，各輛車的行駛時間成等差數(shù)列，，乘以車速60km/h，得到行駛總路程為2550km.4.數(shù)列的通項公式為.所以.類似地，我們可以求出通項公式為的數(shù)列的前n項和.5.因為(n+1)3=n3+3n2+3n+1,所以23=13+3×12+3×1+1,33=23+3×22+3×2+1,…n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1,(n+1)3=n3+3n2+3n+1,把兩端同時加起來，得到23+33+…+n3+(n+1)3=(13+23+…+n3)+3(12+22+…+n2)+3(1+2+…+n)+(1+1+…+1),所以3(12+22+…+n2)=(n+1)3-1-3(1+2+…+n)-(1+1+…+1),化簡可得（12+22+…+n2）=.類似地，我們可以用（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1,去求13+23+33+…+n3.備課資料等差數(shù)列的幾個性質(zhì)等差數(shù)列的內(nèi)容內(nèi)涵豐富，通項公式與前n項和公式是其核心內(nèi)容，我們對其進(jìn)行合理整合、變形，可以得到諸多的性質(zhì)，它們的應(yīng)用使解題變得輕松愉悅，與常規(guī)方法相比較，過程要簡捷得多.【性質(zhì)1】已知等差數(shù)列{an}，m、p、q∈N*，若存在實數(shù)λ使(λ≠-1),則.證明：由等差數(shù)列{an}的通項公式an=dn+a1-d的幾何意義：點(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共線，由斜率公式得，因為，所以.所以λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq，即.評析：特別地,當(dāng)λ=1時，2am=ap+aq，我們不妨將性質(zhì)1稱為等差數(shù)列的定比分點公式.【性質(zhì)2】等差數(shù)列{an}，ni，mi∈N*，i=1,2,3,…,k,若.則.證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.根據(jù)ani=ami+(ni-mi)d，i=1,2,3,…,k,則.所以推論：等差數(shù)列{an}，ni，m∈N*，i=1,2,3,…,k,若.則.評析：本性質(zhì)實質(zhì)上是等差中項性質(zhì)的推廣.【性質(zhì)3】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為，m∈N*,則.證明:因為======所以.評析：實質(zhì)上數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.【性質(zhì)4】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差為，m∈N*,則Sm+n=Sm+Sn+mnd.證明：因為Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)=Sn+(a1+a2+…+am)+mnd=Sm+Sn+mnd，所以Sm+n=Sm+Sn+mnd.【