專題25雙星與多星模型模型構(gòu)建及模型特點(diǎn)“雙星”模型“三星”模型“四星”模型情景圖運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度相同，運(yùn)動(dòng)半徑一般不等轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半徑相等轉(zhuǎn)動(dòng)方向、周期、角速度、線速度大小均相同，圓周運(yùn)動(dòng)半徑相等受力特點(diǎn)兩星間的萬(wàn)有引力提供兩星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力各星所受萬(wàn)有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力各星所受萬(wàn)有引力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力規(guī)律eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1或eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2eq\f(Gm2,r2)＋eq\f(Gm2,（2r）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×cos30°×2＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2cos45°＋eq\f(Gm2,（\r(2)L）2)＝ma向eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°＋eq\f(GmM,r2)＝ma向關(guān)鍵點(diǎn)m1r1＝m2r2；r1＋r2＝Lr＝eq\f(L,2cos30°)r＝eq\f(\r(2),2)L或r＝eq\f(L,2cos30°)【典例1】[“雙星”模型](多選)在宇宙中，當(dāng)一顆恒星靠近黑洞時(shí)，黑洞和恒星可以相互繞行，從而組成雙星系統(tǒng)。在相互繞行的過程中，質(zhì)量較大的恒星上的物質(zhì)會(huì)逐漸被吸入到質(zhì)量較小的黑洞中，從而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的過程也被稱之為“潮汐瓦解事件”。天鵝座X-1就是這樣一個(gè)由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。在剛開始吞噬的較短時(shí)間內(nèi)，恒星和黑洞的距離不變，則在這段時(shí)間內(nèi)，下列說法正確的是()A．它們間的萬(wàn)有引力大小變大B．它們間的萬(wàn)有引力大小不變C．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度變大D．恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度變大【典例2】[直線“三星”模型]在宇宙中，單獨(dú)存在的恒星占少數(shù)，更多的是雙星、三星甚至多星系統(tǒng)。如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)化的直線三星系統(tǒng)模型：三個(gè)星球的質(zhì)量均為m，a、b兩個(gè)星球繞處于二者中心的星球c做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知引力常量為G，忽略其他星體對(duì)他們的引力作用，則下列說法正確的是(

)A.星球a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為2Gmr2

B.星球a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為Gmr

C.星球b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為4πr35Gm

D.若因某種原因中心星球【典例3】[等邊三角形“三星”模型](多選)三顆質(zhì)量均為M的星球(可視為質(zhì)點(diǎn))位于邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。如圖所示，如果它們中的每一顆都在相互的引力作用下沿等邊三角形的外接圓軌道運(yùn)行，引力常量為G，下列說法正確的是(????)A.其中一顆星球受到另外兩顆星球的萬(wàn)有引力的合力大小為3GM22L2

B.其中一顆星球受到另外兩顆星球的萬(wàn)有引力的合力指向圓心O

C.【典例4】[直線“四星”模型]宇宙中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的四顆恒星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用。穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在多種形式，其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；另一種如圖所示，四顆恒星始終位于同一直線上，均圍繞中點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知萬(wàn)有引力常量為G，求：

(1)已知第一種形式中的每顆恒星質(zhì)量均為m，正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，求其中一顆恒星受到的合力；(2)已知第二種形式中的兩外側(cè)恒星質(zhì)量均為m，兩內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量均為M，四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等．求內(nèi)側(cè)恒星質(zhì)量M與外側(cè)恒星質(zhì)量m的比值Mm【典例5】[正方形“四星”模型]如圖所示為某星座的示意圖，α、β、γ、δ四顆星分別位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，觀察發(fā)現(xiàn)，四顆星都圍繞正方形的中心O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中四個(gè)星的相對(duì)位置保持不變，忽略四顆星與其他天體之間的萬(wàn)有引力。下列判斷正確的是（）A.α、β、γ、δ四顆星的質(zhì)量相同

B.β星和δ星的質(zhì)量相同，α星和γ星的質(zhì)量相同，α星和β星的質(zhì)量可能不同

C.α星和β星的動(dòng)能之比為Ekα:Ekβ=1:4

D.【典例6】[等邊三角形“四星”模型]假設(shè)在離其它恒星較遠(yuǎn)的空間中存在四個(gè)質(zhì)量均相等的星體A、B、C、D(周邊星體對(duì)它們的引力可以忽略不計(jì))，其中A、B、C位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，D恰好處在這個(gè)三角形的中心，A、B、C以D為圓心，沿外接于三角形的圓形軌道運(yùn)行，運(yùn)行過程中保持相對(duì)位置不變。通過觀測(cè)得出了這個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T，AD之間距離為L(zhǎng)，如下圖所示。通過以上條件計(jì)算：(已知引力常量為G，結(jié)果可以用根式表示)

(1)B、C對(duì)A的引力的合力是D對(duì)A的引力的幾倍?(2)每個(gè)星體的質(zhì)量是多少?【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)01】美國(guó)科學(xué)家宣布探測(cè)到引力波．雙星的運(yùn)動(dòng)是產(chǎn)生引力波的來源之一，假設(shè)宇宙中有一雙星系統(tǒng)由a、b兩顆星體組成，這兩顆星繞它們連線的某一點(diǎn)在萬(wàn)有引力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得a星的周期為T，a、b兩顆星的距離為l，a、b兩顆星的軌道半徑之差為Δr(a星的軌道半徑大于b星的)，則(????)A.b星的周期為l?Δrl+ΔrT B.a星的線速度大小為πl(wèi)+ΔrT

C.a、b兩顆星的半徑之比為ll?Δr D.【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)02】據(jù)天文學(xué)家推測(cè)，存在這樣的平面四星系統(tǒng)，四顆恒星分別位于菱形的四個(gè)頂點(diǎn)，繞菱形的中心點(diǎn)、在菱形所在的平面內(nèi)做角速度相同的圓周運(yùn)動(dòng)，位于對(duì)角的兩顆恒星質(zhì)量相等。根據(jù)測(cè)量可知菱形的一個(gè)頂角為2θ，位于該頂角的恒星的質(zhì)量為m1，位于相鄰頂角的恒星的質(zhì)量為m2，則m1m2A.8sin3θ?18cos3θ?1tan3【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)03】2019年初，中國(guó)科幻電影《流浪地球》講述了地球逃離太陽(yáng)系的故事，假設(shè)人們?cè)谔与x過程中發(fā)現(xiàn)一種四顆星組成的孤立系統(tǒng)，四顆星的質(zhì)量相等，穩(wěn)定分布在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，每顆星均做半徑為r、周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。已知萬(wàn)有引力常量為G，忽略星體的自轉(zhuǎn)，關(guān)于這種四星系統(tǒng)，則每顆星的質(zhì)量為（）A.16(22?1)π2r37GT2【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)04】進(jìn)行科學(xué)研究有時(shí)需要大膽的想象，假設(shè)宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)(忽略其他星體對(duì)它們的引力作用)，這四顆星恰好位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于正方形的圓形軌道運(yùn)行，若此正方形邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼囊话?，要使此系統(tǒng)依然穩(wěn)定存在，星體的角速度應(yīng)變?yōu)樵瓉淼?????)A.1倍 B.2倍 C.12倍

D.2

【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)05】（多選）太空中存在離其他恒星很遠(yuǎn)、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對(duì)它們的引力．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)A——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)B——三顆星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上．已知某三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星體中心間的距離都為R；某三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體與三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等．引力常量為G，則(????)A.三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運(yùn)動(dòng)的角速度大小為ω=12R5GmR

B.三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運(yùn)動(dòng)的線速度大小為v=GmR

C.三星系統(tǒng)B的運(yùn)動(dòng)周期為T=4πR【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)06】（多選）天文觀測(cè)已經(jīng)證實(shí)，三星系統(tǒng)是常見的，甚至在已知的大質(zhì)量恒星群中占主導(dǎo)地位。如圖所示，質(zhì)量均為M的P、O、S三顆星始終位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行。已知引力常量為G，忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，下列說法正確的是A.P星所受合外力大小為5GM24R2 B.O星所受合外力大小為5GM24R2

C.【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)07】（多選）觀測(cè)到宇宙中有如圖所示的一個(gè)三星系統(tǒng)：三顆星體A，B，C始終處于一條直線上，A，C兩顆星圍繞中間星體B做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)；AB之間和BC之間間距均為L(zhǎng)；已知B的質(zhì)量為m，A，C的質(zhì)量未知。三顆星體受到其他星體的作用力忽略不計(jì)，萬(wàn)有引力常量G已知，則下列判斷中正確的是(????)A.可以比較星體A、C的線速度大小關(guān)系

B.可以比較三顆星體的質(zhì)量大小關(guān)系

C.可以求得星體A、C做圓周運(yùn)動(dòng)的周期

D.可以比較三顆星體所受合力的大小關(guān)系【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)08】雙星系統(tǒng)的兩個(gè)星球A，B相距為L(zhǎng)，質(zhì)量都是m，它們正圍繞兩者連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知萬(wàn)有引力常量為G．(1)求星球A，B組成的雙星系統(tǒng)周期T0(理論值(2)實(shí)際觀測(cè)該系統(tǒng)的周期T要小于按照力學(xué)理論計(jì)算出的周期理論值T0，且TT0=kk<1于是有人猜測(cè)這可能是受到了一顆未發(fā)現(xiàn)的星球C的影響，并認(rèn)為C位于雙星A、B的連線正中間，星球A、B圍繞C做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求星球C的質(zhì)量(結(jié)果用k和【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)09】由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其它星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬(wàn)有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況).若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，求：

(1)A星體所受合力大小FA；(2)B星體所受合力大小FB；

(3)C星體的軌道半徑RC；(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期【點(diǎn)對(duì)點(diǎn)1