類型十六、因式分解的新定義【解惑】同類型三?！救跁?huì)貫通】1．若一個(gè)正整數(shù)是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)的乘積，即，其中為正整數(shù)，則稱為“半平分?jǐn)?shù)”，為的“半平分點(diǎn)”．例如，，則35是“半平分?jǐn)?shù)”，5為35的半平分點(diǎn)．(1)是80的“半平分點(diǎn)”，則______；的“半平分?jǐn)?shù)”“半平分點(diǎn)”為1，則______；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，整數(shù)______．(2)把“半平分?jǐn)?shù)”與“半平分?jǐn)?shù)”的差記為，其中，，例如，，，則．若“半平分?jǐn)?shù)”的“半平分?jǐn)?shù)”為，“半平分?jǐn)?shù)”的“半平分點(diǎn)”為，當(dāng)時(shí)，求的值．2．若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”．(1)求證：對(duì)任意“好數(shù)”，一定為20的倍數(shù)．(2)若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對(duì)為“友好數(shù)對(duì)”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的的最大值．3．材料一：一個(gè)三位數(shù)M，若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足十位上的數(shù)字的平方等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之積的k倍（k為整數(shù)），則稱M為“k階比例中項(xiàng)數(shù)”；材料二：一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，規(guī)定；例如：244，因?yàn)?，其中?是整數(shù)，所以244是“2階比例中項(xiàng)數(shù)”，；又如：321，因?yàn)椋皇钦麛?shù)，所以321不是一個(gè)“階比例中項(xiàng)數(shù)”，．(1)363是“___________階比例中項(xiàng)數(shù)”；最大的“3階比例中項(xiàng)數(shù)”為_(kāi)__________；(2)若（其中，，，均為正整數(shù)，且為偶數(shù)）是一個(gè)“階比例中項(xiàng)數(shù)”，且被7除余1，求出所有滿足條件的N．4．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，則稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”，將的百位數(shù)字調(diào)到個(gè)位可以得到一個(gè)新的三位數(shù)，不斷重復(fù)此操作共可得到兩個(gè)不同的新三位數(shù)，把這兩個(gè)新數(shù)與原數(shù)的和與111的商記為．例如，456是“幸福數(shù)”，不斷將456的百位數(shù)字調(diào)到個(gè)位可得564，645，．(1)求，．(2)已知，（，，為整數(shù)），若、均為“幸福數(shù)”，且可被6整除，求的值．5．一個(gè)兩位數(shù)M，若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N，當(dāng)N＞0時(shí)，我們把N放在M的右邊將所構(gòu)成的新數(shù)叫做M的“疊加數(shù)”．例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“疊加數(shù)”為4715；M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26沒(méi)有“疊加數(shù)”．(1)請(qǐng)判斷3420和5846是否為某個(gè)兩位數(shù)的“疊加數(shù)”，并說(shuō)明理由；(2)兩位數(shù)M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)）有“疊加數(shù)”，且12a－M－N能被13整除，求所有滿足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”．6．對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M．如果M滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，它的百位上的數(shù)字比千位上的數(shù)字大1．個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，則稱M為“進(jìn)步數(shù)”．對(duì)于一個(gè)“進(jìn)步數(shù)”，它的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為．十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，將這兩個(gè)兩位數(shù)求和記作t；它的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，將這兩個(gè)兩位數(shù)求和記作s，規(guī)定：．例如：，因?yàn)?，，故?shù)M是一個(gè)“進(jìn)步數(shù)”．，則．(1)請(qǐng)判斷2367，1257是不是“進(jìn)步數(shù)”，說(shuō)明理由．若是，請(qǐng)求出的值；(2)若四位數(shù)N為“進(jìn)步數(shù)”，N的千位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為．當(dāng)與N各數(shù)位上的數(shù)字之和能被13整除時(shí)，求出所有滿足條件的“進(jìn)步數(shù)”N的值．7．如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱數(shù)M為“團(tuán)圓數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過(guò)程，稱為“歡樂(lè)分解”．例如：∵，22和26的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，∴572是“團(tuán)圓數(shù)”．又如：∵，18和13的十位數(shù)字相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于8，∴234不是“團(tuán)圓數(shù)”．(1)判斷195，621是否是“團(tuán)圓數(shù)”？并說(shuō)明理由．(2)把一個(gè)“團(tuán)圓數(shù)”M進(jìn)行“歡樂(lè)分解”，即，A與B之和記為P（M），A與B差的絕對(duì)值記為Q（M），令，當(dāng)G（M）能被8整除時(shí)，求出所有滿足條件的M的值．8．先閱讀下列材料，然后解答后面的問(wèn)題：材料：一個(gè)三位自然數(shù)（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c），若滿足a+c=b，則稱這個(gè)三位數(shù)為“歡喜數(shù)”，如374，因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7，所以374是“歡喜數(shù)”(1)直接寫出：最小的“歡喜數(shù)”是，最大的“歡喜數(shù)”是；(2)求證：任意“歡喜數(shù)”一定能被11整除；(3)若“歡喜數(shù)”m為奇數(shù)，且十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大5，求所有符合條件的“歡喜數(shù)”m．【知不足】9．如果一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，那么稱這個(gè)正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，如33，787，1221，20211202都是“對(duì)稱數(shù)”，最小的“對(duì)稱數(shù)”是11，但沒(méi)有最大的“對(duì)稱數(shù)”．下面給出一個(gè)正整數(shù)的記法：若一個(gè)四位正整數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c、d，則可以把這個(gè)四位正整數(shù)記為，同理，若三位正整數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z，則可以把這個(gè)三位正整數(shù)記為．(1)若四位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，證明式子的值能被11整除；(2)若三位正整數(shù)是“對(duì)稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子的值能被13整除，求這個(gè)三位正整數(shù)．10．如果一個(gè)自然數(shù)M能分解成A×B，其中A和B都是兩位數(shù)，且A與B的十位數(shù)字之和為10，個(gè)位數(shù)字之和為9，則稱M為“十全九美數(shù)”，把M分解成A×B的過(guò)程稱為“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美數(shù)”；∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美數(shù)”．(1)判斷2100和168是否是“十全九美數(shù)”?并說(shuō)明理由；(2)若自然數(shù)M是“十全九美數(shù)”，“全美分解”為A×B，將A的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差，與B的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和求和記為：將A的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，與B的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差求差記為．當(dāng)能被5整除時(shí)，求出所有滿足條件的自然數(shù)M．11．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)c都可以進(jìn)行這樣的分解：c=a×b（a,b是正整數(shù)，且a≤b），在c的所有這些分解中，如果a，b兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱a×b是c的最優(yōu)分解并規(guī)定：M（c）=，例如9可以分解成1×9，3×3，因?yàn)?-1＞3-3，所以3×3是9的最優(yōu)分解，所以M（9）==1（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)d（d=10x+y，x，y都是自然數(shù)，且1≤x≤y≤9），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)加上原來(lái)的兩位正整數(shù)所得的和為66，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中M（d）的最大值．12．一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上數(shù)字不全相等且均不為0．將的百位數(shù)字與后兩位交換位置得到新的三位數(shù)為．記．若能被7整除，則稱三位數(shù)為“7差數(shù)”．比如：三位數(shù)617，∵，且49能被7整除，∴617是“7差數(shù)”．三位數(shù)123，∵，而12不能被7整除，∴123不是“7差數(shù)”．（1）判斷756與342是不是“7差數(shù)”，并說(shuō)明理由．（2）若一個(gè)三位數(shù)是“7差數(shù)”，且百位數(shù)字等于十位與個(gè)位數(shù)字之和，求三位數(shù)．13．材料一：如果一個(gè)自然數(shù)右邊的數(shù)字總比左邊的數(shù)字大，我們稱它為“上升數(shù)”．如果一個(gè)三位“上升數(shù)”滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于個(gè)位數(shù)字，那么稱這個(gè)致為“完全上升數(shù)”．例如：A＝123，滿足1＜2＜3，且1＋2＝3，所以123是“完全上升數(shù)”：B＝346，滿足3＜4＜6．且3＋4≠6，所以346不是“完全上升數(shù)”．材料二：對(duì)于一個(gè)“完全上升數(shù)”m＝100a＋10b＋c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c為整數(shù)）交換其百位和個(gè)位數(shù)字得到新數(shù)m′＝100c＋10b＋a，規(guī)定：例如：m＝123為“完全上升數(shù)”m′＝321，F(xiàn)（m）＝．（1）判斷“上升數(shù)168，235是否為“完全上升數(shù)”，并說(shuō)明理由．（2）若m是“完全上升數(shù)”，且m與m′的和能被7整除，求F（m）的值．14．根據(jù)閱讀材料，解決問(wèn)題．材料1：若一個(gè)正整數(shù)，從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同，則稱為“對(duì)稱數(shù)”（例如：1、232、4554是對(duì)稱數(shù)）．材料2：對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字，得到三個(gè)新的數(shù)字，，，我們對(duì)自然數(shù)規(guī)定一個(gè)運(yùn)算：（A），例如：是一個(gè)三位的“對(duì)稱數(shù)”，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字分別是：2、8、2.則．請(qǐng)解答：（1）請(qǐng)你直接寫出最大的兩位對(duì)稱數(shù)：，最小的三位對(duì)稱數(shù)：；（2）如果將所有對(duì)稱數(shù)按照從小到大的順序排列，請(qǐng)直接寫出第1100個(gè)對(duì)稱數(shù)；（3）一個(gè)四位的“對(duì)稱數(shù)”，若（B），請(qǐng)求出的所有值．15．材料一：對(duì)于個(gè)位數(shù)字不為零的任意三位數(shù)M，將其個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字對(duì)調(diào)得到M'，則稱M'為M的“倒序數(shù)”，將一個(gè)數(shù)與它的“倒序數(shù)”的差的絕對(duì)值與99的商記為F（M）．例如523為325的“倒序數(shù)”，F(xiàn)（325）＝＝2；材料二：對(duì)于任意三位數(shù)滿足，c＞a且a+c＝2b，則稱這個(gè)數(shù)為“登高數(shù)”．（1）F（935）＝；F（147）＝；（2）任意三位數(shù)M＝，求F（M）的值；（3）已知S、T均為“登高數(shù)”，且2F（S）+3F（T）＝24，求S+T的最大值．16．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為a＝（b+1）（b﹣2），其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．．（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為：130的“十字點(diǎn)”為；（2）m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)m﹣n＝18時(shí)，求p+q的值．17．一個(gè)三位或者三位以上的整數(shù)，從左到右依次分割成三個(gè)數(shù)，記最左邊的數(shù)為a，最右邊的數(shù)為b，中間的數(shù)記為m，若滿足m＝a2+b2，我們就稱該整數(shù)為“空谷”數(shù)．例如：對(duì)于整數(shù)282．∵22+22＝8，∴282是一個(gè)“空谷”數(shù)，又例如：對(duì)于整數(shù)121451，∵122+12＝145∴121451也是一個(gè)“空谷”數(shù)．滿足m＝2ab，我們就稱該整數(shù)為“幽蘭”數(shù)；例如：對(duì)于整數(shù)481，∵2×4×1＝8，∴481是一個(gè)“幽蘭”數(shù)，又例如：對(duì)于整數(shù)13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一個(gè)“幽蘭”數(shù)．（1）若一個(gè)三位整數(shù)十位數(shù)字為9，且為“空谷”數(shù)，則該三位數(shù)為；若一個(gè)四位整數(shù)為“幽蘭”數(shù)，且中間的數(shù)為40，則該四位數(shù)為；（2）若是一個(gè)“空谷”數(shù)，是一個(gè)“幽蘭”數(shù)，求a2﹣b2的值．（3）若一個(gè)整數(shù)既是“空谷”數(shù)，又是“幽蘭”數(shù)，我們就稱該整數(shù)為“空谷幽蘭”數(shù)．請(qǐng)寫出所有的四位“空谷幽蘭”數(shù)．18．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2＋b2（a，b是正整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)?3＝32＋22，所以13是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)閍2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美數(shù)”．（1）請(qǐng)直接寫出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，這個(gè)“完美數(shù)”是；（2）判斷53（請(qǐng)?zhí)顚憽笆恰被颉胺瘛保椤巴昝罃?shù)”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整數(shù)，k是常數(shù)），要使M為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由；（4）如果數(shù)m，n都是“完美數(shù)”，試說(shuō)明mn也是“完美數(shù)”．19．在數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，若一個(gè)正整數(shù)是兩個(gè)相差為3的數(shù)的乘積，即，其中為正整數(shù)，則稱為“如意數(shù)”，為的“如意起點(diǎn)”．例如：，則18是“如意數(shù)”，3為18的“如意起點(diǎn)”．（1）若是88的“如意起點(diǎn)”，則______；若的“如意起點(diǎn)”為1，則______．（2）把“如意數(shù)”與“如意數(shù)”的差記作，其中，，例如：，，則．若“如意數(shù)”的“如意起點(diǎn)”為，“如意數(shù)”的“如意起點(diǎn)”為，當(dāng)時(shí)，求的最大值．【一覽眾山小】20．若一個(gè)四位自然數(shù)滿足個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字相同，十位數(shù)字與千位數(shù)字相同，我們稱這個(gè)四位自然數(shù)為“雙子數(shù)”．將“雙子數(shù)”的百位、千位上的數(shù)字交換位置，個(gè)位、十位上的數(shù)字也交換位置，得到一個(gè)新的雙子數(shù)，記為“雙子數(shù)”的“雙11數(shù)”．例，，，則（1）計(jì)算3636的“雙11數(shù)”__________．（2）已知兩個(gè)“雙子數(shù)”、，其中，（其中，，，且、、、都為整數(shù)），若的“雙11數(shù)”能被17整除，且、的“雙11數(shù)”滿足，令，求的值．21．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如．（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為；130的“十字點(diǎn)”為；（2）若b是a的“十字點(diǎn)”，且a能被整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求a的值；（3）m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)時(shí)，求的值．22．閱讀下列材料，解答下列問(wèn)題：材料一：一個(gè)三位以上的自然數(shù)，如果該自然數(shù)的末三位表示的數(shù)與末三位之前的數(shù)字表示的數(shù)之差是11的倍數(shù)，我們稱滿足此特征的數(shù)叫“網(wǎng)紅數(shù)”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，稱65362是“網(wǎng)紅數(shù)”．材料二：對(duì)任的自然數(shù)p均可分解為P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均為整數(shù)）如：5278＝52×100+10×7+8，規(guī)定：G（P）＝．（1）求