專題02一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的四種考法【知識點(diǎn)精講】應(yīng)用模型：一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a表示基數(shù)，x表示平均增長率（降低率），n表示變化的次數(shù)，b表示變化n次后的量；②利潤問題：利潤=售價-成本；利潤率=利潤/成本×100%；③傳播、比賽問題：④面積問題：a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程；b.將不規(guī)則圖形通過割補(bǔ)或平移形成規(guī)則圖形，運(yùn)用面積之間的關(guān)系列方程.注意：運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題時，方程一般有兩個實(shí)數(shù)根，則必須要根據(jù)題意檢驗(yàn)根是否有意義.類型一、增長率問題例．電影《我和我的祖國》講述了普通人與國家之間息息相關(guān)密不可分的動人故事，一上映就獲得全國人民的追捧，第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達(dá)10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練1】在“雙減政策”的推動下，某校學(xué)生課后作業(yè)時長有了明顯的減少．去年上半年平均每周作業(yè)時長為分鐘，經(jīng)過去年下半年和今年上半年兩次調(diào)整后，現(xiàn)在平均每周作業(yè)時長比去年上半年減少了，設(shè)每半年平均每周作業(yè)時長的下降率為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練2】某藥店一月份銷售口罩500包，一至三月份共銷售口罩1820包，設(shè)該店二、三月份銷售口罩的月平均增長率為，則根據(jù)題意可列出方程為（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練3】某市政府決定改善城市面貌，綠化環(huán)境，計劃經(jīng)過兩年時間綠化面積增加，這兩年平均每年綠化面積的增長率為（

）A． B． C． D．類型二、利潤問題例1.某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原售價每千克50元．(1)連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，且要盡快減少庫存，那么每千克應(yīng)漲價多少元？例2.今年某村農(nóng)產(chǎn)品喜獲豐收，該村村委會在網(wǎng)上直播銷售A、B兩種優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品禮包．(1)已知今年7月份銷售A種農(nóng)產(chǎn)品禮包256包，8、9月該禮包十分暢銷，銷售量持續(xù)走高，在售價不變的基礎(chǔ)上，9月份的銷售量達(dá)到400包．若設(shè)8、9兩個月銷售量的月平均增長率為x，求x的值；(2)若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包成本價為16元，當(dāng)售價為每包30元時，每月銷量為200包．為了盡快減少庫存，該村準(zhǔn)備在10月進(jìn)行降價促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包每降價1元，月銷售量可增加20包，當(dāng)B種農(nóng)產(chǎn)品禮包每包降價多少元時，該村銷售B種農(nóng)產(chǎn)品禮包在10月份可獲利2860元?【變式訓(xùn)練1】第19屆亞運(yùn)會即將在杭州舉行，某商店購進(jìn)一批亞運(yùn)會紀(jì)念品進(jìn)行銷售，已知每件紀(jì)念品的成本是30元，如果銷售單價定為每件40元，那么日銷售量將達(dá)到100件．據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每提高1元，日銷售量將減少2件．(1)若銷售單價定為每件45元，求每天的銷售利潤；(2)要使每天銷售這種紀(jì)念品盈利1600元，同時又要讓利給顧客，那么該紀(jì)念品的售價單價應(yīng)定為每件多少元？【變式訓(xùn)練2】服裝店購進(jìn)一批甲、乙兩種款型的時尚T恤衫，甲種款型共用了10400元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的2倍，甲種款型每件的進(jìn)價比乙種款型每件的進(jìn)價少30元.(1)甲、乙兩種款型的T恤衫各購進(jìn)多少件？(2)該服裝店第一個月甲種款型的T恤衫以200元/件的價格售出20件、乙種款型的T恤衫以250元/件的價格售出10件；為了促銷，第二個月決定對甲、乙兩種款式的T恤衫都進(jìn)行降價a元銷售，其中甲種款型的T恤衫的銷售量增加4a件、乙種款型的T恤衫的銷售增加a件，結(jié)果第二個月的銷售總額比第一個月的銷售總額增加了1000a元，求第二個月的銷售利潤．類型三、工程問題例．建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率．(2)2022年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用約為每個80萬元．2023年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費(fèi)用增加10%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2023年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【變式訓(xùn)練1】公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護(hù)行動，帶動了市場頭盔的銷量．某頭盔經(jīng)銷商5至7月份統(tǒng)計，某品牌頭盔5月份銷售2250個，7月份銷售3240個，且從5月份到7月份銷售量的月增長率相同．請解決下列問題．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；(2)為了達(dá)到市場需求，某工廠建了一條頭盔生產(chǎn)線生產(chǎn)頭盔，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)一條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是900個/天，但如果每增加一條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將減少30個/天，現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)頭盔3900個，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大），應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？【變式訓(xùn)練2】“端午臨中夏，時清日復(fù)長”．臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定由甲、乙兩組共同完成．已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋．兩組同時開工，甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單．(1)求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；(2)兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的工作效率不變．經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成任務(wù)．已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計劃多萬元．求a的值．類型四、幾何圖形問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)及點(diǎn)、作矩形，的平分線交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿射線方向移動；同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿軸正方向移動．設(shè)移動時間為秒．(1)填空：_______，_______（用含的代數(shù)式表示）(2)設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)為何值時，的值為．(3)求當(dāng)為何值時，為直角三角形．【變式訓(xùn)練1】等邊，邊長為，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q以向點(diǎn)A運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，

(1)求當(dāng)為直角三角形時的時間；(2)的面積能否為，若存在求時間，若不存在請說明理由．【變式訓(xùn)練2】如圖，在直角梯形中，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個單位的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線的方向以每秒1個單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)D，C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t（秒），當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

【變式訓(xùn)練3】如圖，在中，，，點(diǎn)從開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，與此同時，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動．點(diǎn)，同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．(1)填空：______，______；用含的代數(shù)式表示；(2)當(dāng)為幾秒時，的長度等于；(3)是否存在某一時刻，使四邊形的面積等于面積的？如果存在，求出的值，如果不存在，請說明理由．課后訓(xùn)練1.如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E和F同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)E以的速度沿的方向運(yùn)動，點(diǎn)F以的速度沿的方向運(yùn)動，兩點(diǎn)相遇時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為，的面積為，y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2，圖象經(jīng)過點(diǎn)，則n的值為．2．2022北京冬奧會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價和銷售價如下表：（注：利潤=銷售價-進(jìn)貨價）類別價格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價（元／件）3025銷售價（元／件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)？(2)冬奧會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，將銷售價定為每件多少元時，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？3．某水果店以相同的進(jìn)價購進(jìn)兩批櫻桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，兩批車?yán)遄尤渴弁?，店主共獲利960元．(1)求櫻桃的進(jìn)價是每千克多少元？(2)該水果店一相同的進(jìn)價購進(jìn)第三批櫻桃若干，第一天將櫻桃漲價到每千克20元出售，結(jié)果僅售出40千克；為了盡快售完第三批櫻桃，第二天店主決定在第一天售價的基礎(chǔ)上降價促銷，若在第一天售價基礎(chǔ)上每降價1元，第二天的銷售量就在第一天的基礎(chǔ)上增加10千克．到第二天晚上關(guān)店時櫻桃售完，店主銷售第三批櫻桃獲得的利潤為850元，求第二天櫻桃的售價是每千克多少元？4．某旅行社推出“跟團(tuán)游”和“定制游”兩種旅行方式供客戶選擇．已知6月份該旅行社“跟團(tuán)游”的銷售額為萬元，“定制游”的銷售額為萬元，“跟團(tuán)游”平均每單的費(fèi)用比“定制游”平均每單的費(fèi)用少萬元，“跟團(tuán)游”的訂單數(shù)是“定制游”訂單數(shù)的4倍，訂單按一人一單計算．(1)求“定制游”的單數(shù)為多少？(2)由于暑期是旅游旺季，消費(fèi)水平整體升高，該旅行社預(yù)計7月份“跟團(tuán)游”和“定制游”的訂單數(shù)分別比上月對應(yīng)訂單數(shù)多和，“跟團(tuán)游”和“定制游”平均每單的費(fèi)用分別比上月對應(yīng)每單多和，這樣預(yù)計7月份該旅行社總銷售額比上個月總銷售額的還多萬元，且，求a的值．5．由于疫情反彈，某地區(qū)開展了連續(xù)全員核酸檢測，9月7日，醫(yī)院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個大型小區(qū)設(shè)置了、兩個采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知點(diǎn)平均每人采樣720份，點(diǎn)平均每人采樣700份．(1)求、兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？(2)9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個商戶也納入這個小區(qū)采樣范圍，同時重新規(guī)劃，決定從點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)每減少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從點(diǎn)抽調(diào)了多少名醫(yī)護(hù)人員到點(diǎn)？6．2022年暑期，我區(qū)遭遇連續(xù)高溫和干