第二章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)任務(wù)1．會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01月亮，是中國(guó)人心目中的宇宙精靈，古代人們?cè)谏钪谐绨?、敬畏月亮，在文學(xué)作品中也大量描寫、吟詠月亮．有詩(shī)道：“明月四時(shí)有，何事喜中秋？瑤臺(tái)寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色．萬(wàn)象入吾眸，星斗避光彩，風(fēng)露助清幽．”如果把天空看作一個(gè)平面，在上面建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，那么月亮的坐標(biāo)方程如何表示？知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義圓是平面上到定點(diǎn)的距離________的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)稱為圓的____，____稱為圓的半徑．用集合表示為P＝{M|________}．等于定長(zhǎng)圓心定長(zhǎng)|MA|＝r(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個(gè)條件：圓心坐標(biāo)與半徑．提醒

相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時(shí)，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．(x－a)2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＝r2思考(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圓的方程嗎？(2)若方程表示圓，m滿足什么條件？此時(shí)圓的圓心和半徑分別是什么？提示：(1)當(dāng)m＝0時(shí)，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示點(diǎn)(－a，－b)．(2)當(dāng)m≠0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓的圓心為(－a，－b)，半徑為|m|．

位置關(guān)系d與r的大小點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r______________________點(diǎn)在圓上d＝r______________________點(diǎn)在圓內(nèi)d<r______________________(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．點(diǎn)P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是(

)A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi)

D．以上都不對(duì)×B

[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴點(diǎn)P(－2，－2)在圓外，故選B．]√2．若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，半徑為_(kāi)_______．3．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是___________________．(1，－5)

(x－1)2＋(y＋2)2＝9關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程類型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

類型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】

(源自北師大版教材)求經(jīng)過(guò)A(1，3)，B(4，2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x＋y－3＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

反思領(lǐng)悟

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心C(a，b)和半徑r，其求解方法：一是幾何法，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心”“兩條弦的中垂線交點(diǎn)必為圓心”等；二是待定系數(shù)法，由三個(gè)獨(dú)立的條件建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程，它是求圓的方程的常用方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4)；[解]

設(shè)圓心C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

試總結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法．提示：(1)幾何法：判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小；(2)代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊，判斷與r2的大小．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)點(diǎn)P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(

)A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外C．點(diǎn)P在圓上

D．不確定B

由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點(diǎn)P在圓外．√

[0，1)

學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031．圓心為(1，1)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝21234√

2．點(diǎn)P(1，3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(

)A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上

D．不確定1234√B

[由12＋32<24知，點(diǎn)P(1，3)在圓內(nèi)，故選B．]

1234(x－1)2＋(y＋3)2＝294．若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對(duì)稱，則k的值為_(kāi)___．2

[圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱軸，已知圓的圓心為(－1，3)，由題設(shè)知，直線kx＋2y－4＝0過(guò)圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2．]12342

回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．試寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．提示：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r或直接求出圓心(a，b)和半徑r．3．如何判斷點(diǎn)P(x0，y0)和圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系？提示：法一：(代數(shù)法)點(diǎn)P在圓外