壓軸題突破練21．(2022·菏澤模擬)已知函數(shù)f(x)＝ex－1－ax.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)－x2≥eq\f(a2,4)對(duì)于任意x≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)f′(x)＝ex－1－a，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；②當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋lna，當(dāng)x∈(－∞，1＋lna)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，1＋lna)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1＋lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(1＋lna，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)由f(x)－x2≥eq\f(a2,4)，得ex－1≥x2＋ax＋eq\f(a2,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2，對(duì)于任意x≥0恒成立，因此SKIPIF1<0記h(x)＝SKIPIF1<0由h′(x)＝SKIPIF1<0得x＝1＋2ln2，當(dāng)x∈[0,1＋2ln2]時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[1＋2ln2，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝1－2ln2，因此a≤2－4ln2；記t(x)＝SKIPIF1<0易知t(x)單調(diào)遞減，所以t(x)max＝t(0)＝SKIPIF1<0所以a≥SKIPIF1<0綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<02．(2022·石家莊模擬)如圖，已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，過點(diǎn)P(1,1)向雙曲線C作兩條切線，切點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<0，x2>0.(1)證明：直線PA的方程為eq\f(x1x,3)－y1y＝1.(2)設(shè)F為雙曲線C的左焦點(diǎn)，證明：∠AFP＋∠BFP＝π.證明(1)顯然直線PA的斜率存在，設(shè)直線PA的方程為y－1＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,y－1＝kx－1，))消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，則Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋2)＝0，化簡得k2＋k－1＝0.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)相等實(shí)根，故切點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x1＝－eq\f(－6kk－1,23k2－1)＝eq\f(3k2－3k,3k2－1)，得y1＝eq\f(k－1,3k2－1)，則eq\f(x1,y1)＝3k，故直線PA的方程為y＝eq\f(x1,3y1)(x－x1)＋y1，則yy1＝eq\f(xx1,3)－eq\f(x\o\al(2,1),3)＋yeq\o\al(2,1)，即eq\f(x1x,3)－y1y＝1.(2)由(1)同理可得lPB：eq\f(xx2,3)－yy2＝1，又lPA與lPB均過點(diǎn)P(1,1)，所以eq\f(x1,3)－y1＝1，eq\f(x2,3)－y2＝1.故lAB：eq\f(x,3)－y＝1，F(xiàn)(－2,0)，eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＝(3,1)·(x1＋2，y1)＝3x1＋6＋y1，eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3,1)·(x2＋2，y2)＝3x2＋6＋y2，又因?yàn)閤1<0，x2>0，所以x1≤－eq\r(3)，x2≥eq\r(3)，則cos〈eq\o(FP,\s\up6(→))，eq\o(FA,\s\up6(→))〉＝eq\f(3x1＋y1＋6,\r(32＋12)·\r(x1＋22＋y\o\al(2,1)))＝eq\f(\f(10,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3,2))),\f(2\r(10),\r(3))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(3,2))))＝－eq\f(\r(30),6)，cos〈eq\o(FP,\s\up6(→))，eq\o(FB,\s\up6(→))〉＝eq\f(3x2＋y2＋6,\r(32＋12)·\r(x2＋22＋y\o\al(2,2)))＝eq\f(\f(10,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2))),\f(2\r(10),\r(3))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2))))＝eq\f(\r(30),6)，故