專題15解三角形（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u專題15解三角形（解答題壓軸題） 1①三角形中線問題 1②三角形角平分線問題 6③三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（定值） 15④三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（最值，范圍問題） 18⑤三角形面積（定值） 28⑥三角形面積（最值，范圍問題） 32①三角形中線問題1．（2023春·江西·高一校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為的面積.(1)若，求；(2)已知為上一點(diǎn)，從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求線段長(zhǎng)度的最大值.①為的平分線；②為邊上的中線.注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，所以，由三角形的面積公式可得，所以，所以，又，所以.因?yàn)?，所以為銳角，，所以，由正弦定理得，即，所以.（2）選擇條件①：在中由余弦定理得，即，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.選擇條件②：由點(diǎn)為的中點(diǎn)得，平方得，在中由余弦定理得，即，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故有，從而，故的最大值為.2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）在中，內(nèi)角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且滿足．(1)求；(2)若是的中線，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1），所以，由正弦定理得：，又，得，即（2），，得，由余弦定理得：，由于是的中線，所以,,所以3．（2023春·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，函數(shù)，角滿足．(1)求的值；(2)若，且在下列兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求邊上的中線長(zhǎng)度．①的周長(zhǎng)為；

②的面積為．【答案】(1)(2)【詳解】（1），由得，因?yàn)?，所以，所以?）,由正弦定理邊化角得,所以或得（舍）或所以，選①，因,所以周長(zhǎng)，解得,設(shè)邊上的中線為，由余弦定理得,為中點(diǎn)，即.選②因，所以三角形面積，解得，設(shè)邊上的中線為，由余弦定理得,為中點(diǎn)，,,即.4．（2023春·湖北孝感·高一校聯(lián)考期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足.(1)求角；(2)若，，是中線，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可知：，由，故，∴∴，∴，又，所以；?）根據(jù)數(shù)量積的定義，由，得，又，在中由余弦定理得：∵，∴，所以5．（2023春·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，其面積為為邊上的中線.(1)證明：；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）方法一：為邊上中線，，，在中，由余弦定理得：，，，.方法二：為邊上中線，在中，，在和中，由余弦定理得：，即，，即；（2），，在中，由余弦定理得：，由（1）知：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為2.②三角形角平分線問題1．（2023春·遼寧沈陽·高一沈陽二中?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)中的角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c，AD為∠BAC的角平分線，已知，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于點(diǎn)G，且的面積是面積的一半.

(1)求邊BC的長(zhǎng)度；(2)設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，求k的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解：由，得,又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，過D分別作DM∥AC,DN∥AB,交AB,AC于點(diǎn)M，N，

所以，，所以,所以,又因?yàn)?所以；（2）解：因?yàn)?，，，的面積是面積的一半，所以，所以①，，由，得，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，所以，又，所以，又因?yàn)?，所以②，由①②解得，所?2．（2023春·河北保定·高一校聯(lián)考期中）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足(1)求角；(2)是的角平分線，若的面積為，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理得，又，則；（2）由面積公式得，解得；即，所以．3．（2023春·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求和的值；(2)設(shè)點(diǎn)在邊上，且，是的角平分線，求的最小值.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即，由余弦定理，又，所?（2）因?yàn)?，解得或（舍去），又是的角平分線，，所以，即，即，所以，所以且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.4．（2023春·甘肅隴南·高一統(tǒng)考期末）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．(1)求A；(2)若AD為的角平分線，，且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．又，則．（2）因?yàn)?，所以．由，得，得．又，解得，，則，所以的周長(zhǎng)為．5．（2023春·云南·高一校聯(lián)考期末）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)求角A；(2)若為的中點(diǎn)，且的角平分線交于點(diǎn)，且，求邊長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，?）因?yàn)椋慕瞧椒志€交于點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以所以由余弦定理得，所以

6．（2023春·廣東梅州·高二統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為，求內(nèi)角A的角平分線長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，因?yàn)锳D為角A的角平分線，所以，又，所以，所以，不妨設(shè)，，則，故，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接，則，又，所以，故，，則，，則，，在中，由余弦定理，得，即，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，故.所以長(zhǎng)的最大值為.7．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足(1)求角C；(2)CD是的角平分線，若，的面積為，求c的值.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由正弦定理得，即，整理得，化簡(jiǎn)得，由余弦定理得，又，則；（2）由面積公式得，解得，又CD是的角平分線，則，即，則，所以，即，整理得，又，解得，則，由（1）知，則.8．（2023春·山西大同·高一大同一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，分別是角的對(duì)邊，，若為上一點(diǎn)，且滿足____________，求的面積.請(qǐng)從①；②為的中線，且；③為的角平分線，且.這三個(gè)條件中任意選一個(gè)補(bǔ)充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)，③三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（定值）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，是，B，所對(duì)應(yīng)的分邊別為，，，且滿足.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，則，2．（2023春·貴州黔西·高一?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角C的大?。?2)若，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，?．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？计谥校┮阎膬?nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，向量，且，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得，因?yàn)槭侨切蝺?nèi)角，所以，∴，，因?yàn)锳是三角形內(nèi)角，∴.（2）∵，，又由余弦定理得，，，即的周長(zhǎng)為．4．（2023春·廣東惠州·高一?？计谥校┰谥?，角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求角的大?。?2)若的面積為且，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，整理可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，?（2）解：，解得，由余弦定理可得，解得，因此，的周長(zhǎng)為.5．（2023春·安徽淮南·高一淮南第三中學(xué)?？计谀┰谥?，角、、的邊分別為、、，且．(1)求角；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，因?yàn)?、，則，，故.（2）解：由三角形的面積公式可得，由余弦定理得：，可得，因此，的周長(zhǎng)為.④三角形周長(zhǎng)（邊長(zhǎng)）（最值，范圍問題）1．（2023春·云南紅河·高二開遠(yuǎn)市第一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且有(1)求角的值；(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)2．（2023春·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，向量，，且，若的外接圓直徑為2．(1)求角；(2)請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答，如果多選，則按第一個(gè)解答計(jì)分．①求周長(zhǎng)的最大值；②求面積的最大值．【答案】(1)；(2)選①：周長(zhǎng)的最大值為；選②：面積的最大值為.3．（2023春·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）記鈍角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)若，求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知得，，即，即，即．若，則，因?yàn)?，故．從而．?）由得，若，則，即，與為鈍角三角形矛盾．4．（2023春·河北邢臺(tái)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.問題：銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知______.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）若選①，，∵；若選②，，∵；若選③∵，而.（2）因?yàn)?，所以由正弦定理得：，，∵是銳角三角形，∴,∴,∴∴∴.5．（2023春·甘肅武威·高一?？茧A段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，向量，，且．(1)求A的值；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，則，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，，，則，所以三角形的周長(zhǎng)的取值范圍為.6．（2023春·遼寧朝陽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求B；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理，且，則，，由，則，，由，則，，，，，由銳角中，，則.（2）由（1）可知，則，在中，由正弦定理可得：，由，則，解得，，，由，且，則，，由銳角，，，則，解得，由余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，解得.7．（2023春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知銳角三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，所以，，所以，，即，所以，，又因?yàn)?，則，所以，，又因?yàn)椋瑒t，所以，，故.（2）解：由正弦定理知，則，，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，且，則，解得，所以，，則，所以，，因此，的取值范圍是．8．（2023春·新疆·高一兵團(tuán)第三師第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且滿足．(1)求角A；(2)若，求周長(zhǎng)的最大值；(3)求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，故，所以，因?yàn)椋?，故，解得；?）由（1）知，又，由余弦定理得，即，所以，由基本不等式可知，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的周長(zhǎng)最大值為；（3）由（1）知，則，令，因?yàn)?，所以，，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.9．（2023春·高一單元測(cè)試）在中，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，求周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）；（2）12.【詳解】解：（1）由題意，，，由余弦定理可得，，，的最大值為；（2），，又，，，周長(zhǎng)為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為12.10．（2023春·福建南平·高一?？计谀┰谥?，設(shè)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長(zhǎng).，，周長(zhǎng)的取值范圍是.⑤三角形面積（定值）1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，平分交于點(diǎn)，且．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由正弦定理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)槠椒纸挥邳c(diǎn)，且，所以，即，①所以，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，在中由正弦定理得，得，所以，所?在中由余弦定理得，得，②由①②解得，所以的面積為.

2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)D，且，．

(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，又由余弦定理得，因?yàn)?，所以，?）解：因?yàn)?，所以，由?）知，，所以，又因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，所以，又因?yàn)?，所以，所以的面積為.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，若滿足，.(1)求角；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所?解得或，又，所以，即．（2）由正弦定理得，解得，因?yàn)椋?，所以，所以的面積．4．（2023·江蘇無錫·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，且，若，求的面積.【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期為.令，得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因?yàn)?，所以，從而有，得，則5．（2023春·高一單元測(cè)試）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿足，(1)求；(2)是線段邊上的點(diǎn)，若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，即，又，所以，又，所以，則，故，又，所以.（2）設(shè)，，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又，，所以，，整理得①，在中，由余弦定理得，則②，由①－②得，故，將代入①式得，所以的面積..⑥三角形面積（最值，范圍問題）1．（2023春·安徽滁州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.(1)已知為線段上一點(diǎn)，且滿足，若，求的長(zhǎng)；(2)若為銳角三角形，求面積的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，又，則，又，則為等邊三角形，故，

由，則，所以（負(fù)值舍），故.（2）由題意，則，又，則，所以，由，而，所以.2．（2023春·江西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角中，角的對(duì)邊分別是，且.(1)求；(2)若外接圓的半徑是1，求面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，則所以，所以；（2）因?yàn)橥饨訄A的半徑是1，所以，則，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則，故面積的取值范圍是.3．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谀╀J角中，內(nèi)角的邊分別對(duì)應(yīng)，已知.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫淼?，所以，因?yàn)椋?（2）解：設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)椋?，可得，由正弦定理可得，，又因?yàn)?，可得，所?因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，所以，可得，所以，所以.4．（2023春·山西大同·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，，，.

(1)求；(2)若，，，四點(diǎn)共圓，求四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以.又，所以，則（2）因?yàn)椋?，，四點(diǎn)共圓，所以，.在中，由余弦定理得，即，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的面積.又，則四邊形的面積.故四邊形面積的最大值為.5．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且，，.(1)用k，表示DE，DF；(2)若為等腰直角三角形，求k的取值范圍；(3)若，求面積的最小值.【答案】(1),.(2)(3)【詳解】（1）由，，不妨設(shè)，則.在等邊中，，所以.因?yàn)?，所以，所?所以.在中，，，，，由正弦定理得：，所以.同理可求：（2）要使為等腰直角三角形，只需.所以，整理得：.因?yàn)椋?，所?（3）由可得：，則.所以令，則，其中.所以，解得：.所以當(dāng)時(shí)，存在，使得，所以6．（2023春·江蘇南京·高一南京師大附中校考期中）在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求的最大值；(2)若，，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1