2023~2024學(xué)年度（上）階段性考試（二）高2021級數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）在每小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則集合、的關(guān)系是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將兩個集合分別化簡，從而可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】集合，集合，因為，表示被除余的數(shù)，，表示被除余的數(shù)，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則以下判斷正確的是（）A.復(fù)數(shù)的模為1 B.復(fù)數(shù)的模為C.復(fù)數(shù)的虛部為 D.復(fù)數(shù)的虛部為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算即可求得，根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式和虛部定義即可判斷結(jié)果.【詳解】由可得；即復(fù)數(shù)的虛部為1，所以CD錯誤；則復(fù)數(shù)的模為，即A錯誤，B正確；故選：B3.記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a6＝16，S5＝35，則{an}的公差為（）A.3 B.2 C.－2 D.－3【答案】A【解析】【分析】由題得a3＝7，設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解.【詳解】解：由等差數(shù)列性質(zhì)可知，S5＝×5＝5a3＝35，解得a3＝7，設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解之得.故選：A.4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角余弦公式可得，即可求值.【詳解】由題意有：，∴，又，∴.故選：A.5.函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用定義判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，可排除A，再求出判斷正負，可排除BD.【詳解】，是奇函數(shù)，故A錯誤；，故BD錯誤.故選：C.【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.6.如圖為某幾何體的三視圖（圖中網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為），則該幾何體的體積等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】分析：由題意首先確定該三視圖對應(yīng)的幾何體，然后結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)求解該組合體的體積即可.詳解：由三視圖可知該幾何體是一個組合體，從下到上依次為：長寬高分別為的長方體；半徑為的半球；底面半徑為，高為的圓錐；據(jù)此可得該幾何體的體積為：.本題選擇A選項.點睛：(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解．7.北京時間2023年2月10日0時16分，經(jīng)過約7小時的出艙活動，神舟十五號航天員費俊龍、鄧清明、張陸密切協(xié)同，圓滿完成出艙活動全部既定任務(wù)，出艙活動取得圓滿成功.載人飛船進入太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產(chǎn)生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中大于0的常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓.聲壓級的單位為分貝，聲壓的單位為帕.若人正常說話的聲壓約為，且火箭發(fā)射時的聲壓級比人正常說話時的聲壓級約大，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定的模型，列出火箭發(fā)射時的聲壓級和人正常說話時的聲壓級表達式，聯(lián)立求解即可.【詳解】令人正常說話時的聲壓級為，火箭發(fā)射時的聲壓級為，則，而人正常說話的聲壓，火箭發(fā)射時的聲壓為，于是，，兩式相減得，解得，所以火箭發(fā)射時的聲壓約為.故選：D8.已知單位向量，滿足，若向量，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】計算出，及，從而利用向量余弦夾角公式計算得到，再利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系求出.【詳解】因為，是單位向量，所以，又因為，，所以，，所以，因為，所以．故選：B．9.已知函數(shù)的定義域為R，，且在上遞增，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可得關(guān)于直線對稱，根據(jù)可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)圖象，根據(jù)圖象列不等式求解集即可.【詳解】解：函數(shù)，滿足，則關(guān)于直線對稱，所以，即，又在上遞增，所以在上遞減，則可得函數(shù)的大致圖象，如下圖：所以由不等式可得，或，解得或，故不等式的解集為.故選：D.10.已知分別為雙曲線的左、右焦點，過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，若，則雙曲線的離心率為（）A.3 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，運用雙曲線的定義和條件可得，，，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到所求值．【詳解】設(shè)過與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點，由雙曲線的定義可得，由，可得，，，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化簡可得，所以雙曲線的離心率．故選：C．11.函數(shù)的部分圖像如圖所示，且，對不同的，若，有，則（）A.在上單調(diào)遞減B.關(guān)于直線對稱C.關(guān)于點對稱D.在上是單調(diào)遞增【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的解析式后，以代入法驗證選項AD的單調(diào)性說法，以代入法驗證選項BC的對稱性說法即可.【詳解】由圖像可知，又對不同的，若，有則有，即，即，又，則.故選項A：若，則，則在上單調(diào)遞減.判斷正確；選項B：，則不關(guān)于直線對稱.判斷錯誤；選項C：，則不關(guān)于點對稱.判斷錯誤；選項D：，，則故有，，但，則在上不單調(diào)遞增.判斷錯誤.故選：A12.已知，，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性即可判斷的大小；，可構(gòu)造函數(shù)判斷與的大小，構(gòu)造函數(shù)判斷與的大小，從而可判斷的大?。驹斀狻苛?，，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，又，所以在上恒成立，又，所以，即．令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，令，則，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，所以在上恒成立，令，則，所以，綜上所述，．故選：D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知隨機變量，且，則的展開式中常數(shù)項為______.【答案】60【解析】【分析】首先根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)對稱性求出參數(shù)，然后由二項式定理計算即可.【詳解】由題意隨機變量服從正態(tài)分布，且，所以，解得，所以的展開式中的常數(shù)項為.故答案為：60.14.2022年3月成都市連續(xù)5天的日平均氣溫如下表所示：日期89101112平均氣溫(℃)22由表中數(shù)據(jù)得這5天的日平均氣溫關(guān)于日期的線性回歸方程為，據(jù)此預(yù)測3月15日成都市的平均氣溫為_______℃．【答案】【解析】【分析】求出樣本中心點，代入回歸直線方程，求得，繼而可求得答案.【詳解】由題意得：，，故，則3月15日成都市的平均氣溫為（℃），故答案為：15.正方形ABCD邊長為3，P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點，且，則動點P的軌跡長度為______．【答案】【解析】【分析】先求出點軌跡，又因為P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點，所以動點P的軌跡長度為圓弧，求出圓弧對應(yīng)的圓心角，由弧長公式即可求出答案.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，又因為，所以，化簡為：即，所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.又因為P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點，所以動點P與軸正半軸的交點為，動點P與軸正半軸的交點為，則動點P的軌跡長度為圓弧，在三角形中，，所以，，所以圓弧.故答案為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個不同解，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用的單調(diào)性以及已知條件得到，代入，令，利用導(dǎo)數(shù)的求得的值域，從而得解.【詳解】因為，所以在上單調(diào)遞增，值域為，在上也單調(diào)遞增，值域為，又的兩根為，所以，從而，令，則，．因為，所以，所以在上恒成立，從而在上單調(diào)遞增．又，所以，即的取值范圍是，故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍求得的值域，由此得解.三、解答題（本大題共7小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為,．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)椋腔吋纯傻玫?，再結(jié)合可得，，利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為,結(jié)合余弦定理，得，即，所以．【小問2詳解】由，即，即即，又，所以，，所以.18.2023年7月28日，第三十一屆世界大學(xué)生夏季運動會在成都隆重開幕.為慶祝大運會的到來，有，，，，共10位跳水愛好者自發(fā)組建了跳水訓(xùn)練營，并邀請教練甲幫助訓(xùn)練.教練訓(xùn)練前對10位跳水員測試打分，得分情況如圖中虛線所示；集訓(xùn)后再進行測試，10位跳水員得分情況如圖中實線所示，規(guī)定滿分為10分，記得分在8分以上的為“優(yōu)秀”.優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計訓(xùn)練前訓(xùn)練后合計（1）將上面的列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練是否有關(guān)；（2）跳水員將對“5米、米和10米”這三種高度進行集訓(xùn)，且在訓(xùn)練中進行了多輪測試.規(guī)定：在每輪測試中，都會有這3種高度，且至少有2個高度的跳水測試達到“優(yōu)秀”，則該輪測試才記為“優(yōu)秀”.每輪測試中，跳水員在每個高度中達到“優(yōu)秀”的概率均為，每個高度互不影響且每輪測試互不影響.如果跳水員在集訓(xùn)測試中要想獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)平均值達到3次，那么理論上至少要進行多少輪測試？附：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握認為跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練有關(guān)（2）12輪【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題目圖中所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，然后根據(jù)卡方計算公式計算并和比較大小即可.（2）由題意跳水員在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，即，從而只需，故只需算出跳水員在一次集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的概率即可.【小問1詳解】列聯(lián)表為：

優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計訓(xùn)練前2810訓(xùn)練后8210合計101020所以有99%的把握認為跳水員的優(yōu)秀情況與訓(xùn)練有關(guān).【小問2詳解】設(shè)跳水員每輪測試為優(yōu)秀的概率為，則.設(shè)測試次數(shù)為，則優(yōu)秀的次數(shù)，故，故至少需進行12輪測試.19.如圖，在四棱錐中，，，，是棱的中點，且平面（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，，，證明故面，，得到答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，得到平面法向量和平面法向量，根據(jù)向量夾角公式計算得到答案.【小問1詳解】取中點，連接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中點，故，，平面，故面，，故面.【小問2詳解】如圖所示以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面法向量為，，取，，設(shè)平面法向量為，，取，，，設(shè)二面角的平面角為，.20.已知橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，A，B分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓C上，且直線與的斜率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓分別相交于M，N兩點，直線（O為坐標(biāo)原點）與橢圓的另一個交點為E，求的面積S的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點坐標(biāo)，結(jié)合斜率的計算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；（2）由題意，利用三角形中線性質(zhì)，分割三角形，整理三角形面積表達式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達定理，求得面積表達式中的變量，利用基本不等式，可得答案.【小問1詳解】由已知得，且，即，因此有，得．因此，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】顯然直線經(jīng)過x軸上的定點，設(shè)，，則由橢圓的對稱性得，聯(lián)立，消去x得．恒成立，所以，．．令，顯然有，于是，當(dāng)，即時取等號．因此的面積S的最大值為．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，通過討論函數(shù)單調(diào)性決定函數(shù)零點個數(shù)即可；（2）首先將原不等式轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，通過研究的單調(diào)性判斷出，從而求解取值范圍即可.【小問1詳解】由得，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且無限趨近于0時，，又，故只有1個零點；當(dāng)時，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時，，所以函數(shù)無零點，當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)無零點，綜上所述，當(dāng)時，無零點，當(dāng)時，只有一個零點；【小問2詳解】由已知有，所以，所以，構(gòu)造函數(shù)，則原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，，記，所以，令，解得，令，解得，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，即單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，令，解得，令，解得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故的最小值為，故的取值范圍是.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進行整合，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考的地方.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.?作答時，用2B鉛筆在答題