專題24.34圓錐的側(cè)面積（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解圓錐的有關(guān)概念.2.掌握圓錐的側(cè)面展開圖.3.理解并掌握圓錐的側(cè)面積計(jì)算方法.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：圓錐的概念以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。該直角邊叫圓錐的軸。要點(diǎn)二:圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.特別說明：扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長就是圓錐底面圓的周長.因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.【典型例題】類型一、求圓錐的側(cè)面積1、如圖，圓錐的底面半徑，高，求該圓錐的側(cè)面積．【答案】【分析】先求出母線的長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式解題．解：由題意得，在中，答：該圓錐的側(cè)面積為．【點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖是一圓錐，底面圓的半徑為AO＝1，高PO．求側(cè)面展開圖面積．【答案】圓錐的側(cè)面展開圖面積為2π【分析】先利用勾股定理求出母線AP的長，然后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求解即可．解：∵圓錐，底面圓的半徑為AO＝1，高，∴，∴，∴圓錐的側(cè)面展開圖面積為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理和圓錐側(cè)面展開圖面積，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握圓錐側(cè)面展開圖的面積公式．類型二、求圓錐的底面半徑2、如圖，正方形的邊長為4，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓弧得到扇形（陰影部分，點(diǎn)在對角線上）．若扇形正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，求圓錐的底面圓的半徑．【答案】【分析】根據(jù)圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等列式計(jì)算即可．解：∵正方形的邊長為4∴∵是正方形的對角線∴∴∴圓錐底面周長為，解得∴該圓錐的底面圓的半徑是【點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．舉一反三：【變式】如圖，有一直徑是的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個圓周角是90°的最大扇形ABC．(1)求AB的長；(2)用該扇形鐵皮圍成一個圓錐，求所得圓錐的底面圓的半徑．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）連接BC，根據(jù)90°圓周角所對的弦是直徑，可得，進(jìn)而勾股定理求得的長，（2）根據(jù)（1）可得，進(jìn)而根據(jù)弧長公式求解即可解：（1）連接BC，如圖∵，∴BC為⊙O的直徑，其，∴；（2）設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查了90°圓周角所對的弦是直徑，弧長公式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．類型三、求圓錐的高3、用鐵皮制作圓錐形容器蓋，其尺寸要求如圖所示．（1）求圓錐的高；（2）求所需鐵皮的面積（結(jié)果保留）．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的母線、高和底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可求解；（2）根據(jù)圓錐的底面圓周長是扇形的弧長，圓錐的母線長是扇形的半徑進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）如圖，設(shè)為圓錐的高，為圓錐的母線，為底面圓的半徑，∴，，，∴有中，∴圓錐的高為．（2）圓錐的底面周長為：，∵圓錐的底面周長是側(cè)面展開得到的扇形的弧長，∴扇形的弧長為，∴扇形的面積為，∴所需鐵皮的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查圓錐的計(jì)算．正確理解圓錐的高、母線與底面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，圓錐的側(cè)面與它的側(cè)面展開圖扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，要正確理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長．舉一反三：【變式】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為多少？【答案】cm【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，根據(jù)扇形的面積公式得到2πr＝，解得r＝6，然后利用勾股定理計(jì)算這個圓錐的高．解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝6，所以這個圓錐的高＝（cm）．【點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，解題關(guān)鍵是掌握圓錐相關(guān)知識．類型四、求圓錐側(cè)面展形圖的圓心角4、如圖是一個圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：cm），計(jì)算這個圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)【答案】120°【分析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)勾股定理得到圓錐的母線長，利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角．解：∵圓錐的底面半徑為1，∴圓錐的底面周長為2π，∵圓錐的高是，∴圓錐的母線長為，設(shè)扇形的圓心角為n°，∴，解得：．即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°．【點(diǎn)撥】本題考查了圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，且扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．理解題意，將扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，已知圓錐的底面半徑為，母線長為．求它的側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)和它的全面積．【答案】90°，【分析】根據(jù)由圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開扇形的弧長可求．解：由圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開扇形的弧長可知：，，∴側(cè)面展開扇形的圓心角的度數(shù)是90°．全面積＝底面積＋展開側(cè)面積，全面積為：．【點(diǎn)撥】本題考查了圓錐全面積和展開圖圓心角的度數(shù)，解題關(guān)鍵是明確圓錐的底面圓的周長等于側(cè)面展開扇形的弧長，根據(jù)題意列方程求解．類型五、圓錐的實(shí)際問題5、一個圓錐形小麥堆.底面直徑是米，高分米.把這些小麥裝在底面半徑為米的圓柱形糧倉里，能裝多高？【答案】高米.【分析】先根據(jù)圓錐的體積公式求出谷堆的體積．因?yàn)檫@些谷子的體積是不變的，利用谷堆的體積除以圓柱的底面積就是堆成的圓柱形谷堆的高度．解：分米=米（米）答：高米.【點(diǎn)撥】解答此題的關(guān)鍵是求圓錐形谷堆的體積和糧囤的底面面積．舉一反三：【變式】把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是1∶4，母線長10cm.求：圓錐的母長．【答案】圓錐的母線長為cm.【分析】根據(jù)題目信息，作出圖形，設(shè)大圓錐的母線長為l，圓臺的上下底面半徑分別為r，R，接下來結(jié)合已知中線段之間的關(guān)系，據(jù)此即可表示出小圓錐的母線長；然后利用平行線分線段成比例定理可得，據(jù)此即可求出l的長，問題便可解答.解：設(shè)圓錐的母線長為，圓臺上、下底半徑為.

答：圓錐的母線長為cm.【點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于圓錐的相關(guān)計(jì)算的題目，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握圓錐與圓臺的相關(guān)知識；類型六、圓錐側(cè)面的最短路徑6、如圖是一個圓錐與其側(cè)面展開圖，已知圓錐的底面半徑是1，母線長是4．（1）求這個圓錐的側(cè)面展開圖中∠ABC的度數(shù)．（2）如果A是底面圓周上一點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，求這只螞蟻爬過的最短距離．【答案】（1）90°；（2）4【分析】（1）利用側(cè)面展開圖是以4為半徑，2π為弧長的扇形，由弧長公式求圓心角，進(jìn)而即可求解；（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點(diǎn)之間線段最短得螞蟻爬行的最短距離為AC的距離，進(jìn)而即可求解．解：（1）設(shè)∠ABC的度數(shù)為n，底面圓的周長等于2π×1＝，解得n＝90°；（2）連接AC，過B作BD⊥AC于D，則∠ABD＝45°．∴是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AD＝BD＝4÷=2，∴AC＝2AD＝4，即這只螞蟻爬過的最短距離4．【點(diǎn)撥】此題考查了圓錐的側(cè)面展開圖弧長的計(jì)算；得到圓錐的底面圓的周長和扇形弧長相等是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC上，問它爬行的最短路線是多少？【答案】【分析】結(jié)合題意進(jìn)行曲面展開，通過在